Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции Учитель математики КОУ «Заливинская СОШ» Зубкова Екатерина Михайловна 12.03.2013

2. Цель занятия: • решение задач на нахождение точек максимума и минимума; • решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции; • решение задач на исследование функций без помощи производной.

3. На данном занятии мы рассмотрим: • исследование степенных и иррациональных функций; • исследование рациональных функций; • исследование произведений и частных; • исследование логарифмических функций; • исследование тригонометрических функций.

4. Правила дифференцирования

5. Таблица производных

6. Функция y = f(x) принимает на множестве Х наименьшее значение в точке x0, если x0 принадлежит Х и f(x0) ≤ f(x) для всех xиз Х. • Функция y=f(x) принимает на множестве Х наибольшее значение в точке x0, если x0 принадлежит Х и f(x0) ≥ f(x) для всех xиз Х.

7. Наибольшее значение функции на отрезке[а;b] называют максимумом функции на данном отрезке. • Наименьшее значение функции на отрезке [а;b] называют минимумом функции на данном отрезке. • Точку отрезка [а;b], в которой функция достигает максимума (минимума) на этом отрезке называют точкой максимума (минимума). Значение функции в этой точке – максимум (минимум) функции на отрезке.

8. Внутренние точки отрезка, в которых производная функции f(x) равна нулю или не существует, называют критическими точками функции f(x) на этом отрезке. • Стационарные точки функции - точки в которых производная равна нулю. • Если производная функции на интервале (a;b) положительна, то функция y=f(x)возрастает на данном интервале. • Если производная функции на интервале (a;b) отрицательна, то функция y=f(x)убывает на данном интервале.

9. Признаки максимума и минимума Признак максимума:если функция f(x) непрерывна в точке x0 , производная положительна на интервале (a;x0) и производная отрицательна на интервале (x0 ; в), то х0 – точка максимума функцииf(x) (упрощенная формулировка: если в точке x0 производная меняет знак с плюса на минус, тоx0 – точка максимума). • Признак минимума:если в точке x0 производная меняет знак с минуса на плюс, тоx0 – точка минимума.

10. Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции • Находим ООФ. • Находим производную функции f’(x). • Находим нули производной (их ещё называют стационарными точками) путём приравнивания производной к нулюf’(x)=0, решаем полученное уравнение. • Отмечаем полученные значения на числовой прямой и определяем знаки производной на этих интервалах, путём подстановки значений из интервалов в выражение производной. • Далее делаем вывод.

11. Алгоритм решения задач на нахождение наибольшего или наименьшего значения функции непрерывной на отрезке: • находим ООФ и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [а, в]; • находим критические точки, принадлежащие заданному отрезку; • вычисляем значение функции на концах отрезка и во всех критических точках принадлежащих отрезку [а, в]; • из полученных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значение функции.

12. Если уравнение f’(x)=0 не будет иметь решения или на заданном отрезке нет точек экстремума, это значит, что на этом промежутке производная принимает значения одного знака, т.е функция является монотонной на нём. В y наиб. C y наиб. А yнаим. D yнаим. а b а b

13. I. Исследование степенных и иррациональных функций Задача 1. Найти точку максимума функции Решение 1. ООФ: x ≥ 0. 2. Находим производную функции: 3. Находим критические точки:

14. y’ + - 4. Отметим на числовой оси критические точки, определим знак производной на каждом промежутке. y x 0 9 max Ответ: 9

15. II. Исследование рациональных функций Задача 2. Найти точку минимума функции Решение 1. ООФ: 2. Находим производную функции:

16. 3. Находим критические точки: • 4.Отметим на числовой оси критические точки, определим знак производной на каждом промежутке. y’ + - + y x -1 1 max min Искомая точка минимума х=1. Ответ: 1.

17. III. Логарифмические функции Задача 3. Найти наибольшее значение функции Решение 1. ООФ: 2. Находим производную функции: 3. Находим критические точки:

18. 4. Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: y’ + - y x -4 0 -4,5 max

19. 5. Вычислим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку. Ответ: 20.

20. IV. Тригонометрические функции Задача 4. Найти наименьшее значение функции Решение 1. Найдем производную 2. Найдемкритические точки

21. 3. Найдем значение функции на концах отрезка Ответ: наименьшее значение 16. 2 способ. Производная всегда, следовательно функция возрастает на заданном отрезке, следовательно наименьшее значение функция будет принимать в нуле.

22. 1. Найдем производную функции Задача 5. Найти наибольшее значение функции 2. Найдем критические точки 3. Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках Ответ: 1.

23. V. Исследование произведений и частных Задача 6. Найти точку минимума функции Решение 1. ООФ: 2. Находим производную функции: 3. Находим критические точки:

24. y’ + - + 4. Определим знаки производной функции и изобразим на числовой оси: y x 0 2 max min Ответ: 2.

25. VI. Исследование функций без помощи производной Задача 7. Найти точку минимума функции Решение. Функция График – парабола. Так как а=1>0, то ветви параболы направлены вверх. Минимум в точке Функция вида возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает минимума в той же точке, в котором достигает минимума подкоренное выражение. Ответ: 3.

26. Решите самостоятельно 1. Найдите наибольшее значение функции Ответ: 25. 2. Найти наименьшее значение функции Ответ: 12. 3. Найти точку минимума функции Ответ: -6. 4. Найти точку максимума функции Ответ: 0,5.

27. Спасибо за внимание!