Vícekriteriální rozhodování

1. Vícekriteriální rozhodování RNDr. Jiří Dvořák, CSc. dvorak@uai.fme.vutbr.cz

2. Vícekriteriální úlohy Problém vícekriteriálního rozhodování: Je dána nějaká množina možných variant (rozhodnutí, řešení) a máme vybrat variantu, která je co nejlepší vzhledem k dané množině kritérií (hledisek, charakteristik). Typy vícekriteriálních úloh: • Úlohy vícekriteriálního hodnocení variant (přípustné varianty jsou vymezeny explicitně). • Úlohy vícekriteriálního programování (přípustné varianty jsou vymezeny implicitně soustavou podmínek a všechna kritéria jsou kvantitativní).

3. Typy kritérií Uvažovaná kritéria bývají obvykle konfliktní. Mohou se mezi nimi vyskytnout jak kritéria kvantitativní (kardinální), tak kritéria kvalitativní (ordinální). V případě současného výskytu kvalitativních i kvantitativních kritérií se provádí přechod k jednomu typu kritérií, buď ke kvalitativním nebo ke kvantitativním. Kvantitativní kritéria umožňují pro každou variantu stanovit hodnoty kritérií. Tato kritéria bývají často nesouměřitelná v důsledku vyjádření v různých jednotkách. U některých metod pro řešení vícekriteriálních úloh je třeba tuto nesouměřitelnost odstranit určitou normalizací (např. přechodem k ukazatelům, které vyjadřují procenta plnění původních ukazatelů). Kvalitativní kritéria dovolují pouze stanovit, zda je nějaká varianta podle určitého kritéria lepší či horší než jiná, nebo zda jsou podle tohoto kritéria obě srovnávané varianty rovnocenné.

4. Úloha vícekriteriálního programování kde Tento zápis neurčuje úlohu vícekriteriálního programování jednoznačně, neboť význam operátoru max pro vektory není přesně definován. Úkolem je najít takový vektor x, který splňuje omezující podmínky a v němž kriteriální funkce f1(x), f2(x), … , fp(x) nabývají co možná největších hodnot.

5. Dominovaná a nedominovaná řešení Nechť x1 a x2 jsou přípustná řešení. Řekneme, že řešení x1dominuje řešení x2 , jestliže pro všechna k = 1, … , p platífk(x1)  fk(x2), přičemž existuje r takové, že fr(x1) > fr(x2). To znamená, že x1 musí být lepší alespoň podle jednoho kritéria, přičemž podle žádného není horší. Řekneme, že řešení x je nedominované(paretovsky optimální), jestliže neexistuje žádné přípustné řešení, které by je dominovalo. Řešení splňuje podmínku paretovské optimality, jestliže žádné kritérium nelze zlepšit, aniž by došlo ke zhoršení jiného kritéria.

6. Metody vícekriteriálního programování Tyto metody jsou založeny na jednorázovém nebo opakovaném použití metod jednokriteriální optimalizace a můžeme je členit takto: • Metody založené na apriorních informacích o preferencích rozhodovatele: • agregace kritérií • lexikografická optimalizace • minimalizace vzdálenosti od ideálního vektoru • Interaktivní metody: • doplňující informace o preferencích rozhodovatele jsou zadávány až v průběhu řešení úlohy

7. Metody agregace kritérií Ze zadaných kritérií se pomocí vhodné agregační funkce konstruuje skalární kritérium. Nejčastějším případem agregační funkce je vážený součet kritérií: kde vk > 0 jsou váhy kritérií. Obvykle se ještě požaduje, aby

8. Lexikografická optimalizace Předpokládejme, že je dáno pořadí kritérií podle klesající důležitosti. Množinu přípustných řešení zužujeme tak, že na ni postupně aplikujeme jednotlivá kritéria v daném pořadí. Tedy nejprve řešíme úlohu jednokriteriální optimalizace při použití prvého kritéria, na získanou množinu optimálních řešení této úlohy pak aplikujeme druhou účelovou funkci, atd. Tento postup končí získáním jediného optimálního řešení, nebo vyčerpáním všech kritérií, nebo zjištěním, že optimální řešení neexistuje.

9. Minimalizace vzdálenosti od ideálního vektoru (cílové programování) Je dán vektor ideálních hodnot jednotlivých kritérií (tento vektor může být také určen optimalizací jednotlivých účelových funkcí na množině přípustných řešení). Při použití nějaké vhodné metriky se hledá takové řešení, v němž je vzdálenost vektoru hodnot kritérií od ideálního vektoru h minimální. Řešíme tedy úlohu Příklady metrik (vk > 0 jsou váhy kritérií):

10. Úloha vícekriteriálního hodnocení variant Předpokládejme, že všechna kritéria jsou kvantitativní. Pak je úloha vícekriteriální hodnocení variant charakterizována kriteriální maticí kde yij je hodnota j-tého kritéria pro i-tou variantu. Ideální varianta (nemusí reálně existovat) je reprezentována vektorem nejlepších hodnot jednotlivých kritérií. Bazální varianta (nemusí reálně existovat) je reprezentována vektorem nejhorších hodnot jednotlivých kritérií.

11. Dominované a nedominované varianty Nechť všechna kritéria jsou maximalizační a nechť ai = (yi1, yi2, … , yip) a aj = (yj1, yj2, … , yjp) jsou hodnoty kritérií pro i-tou a j-tou variantu. Řekneme, že varianta idominuje variantu j, jestliže pro všechna k = 1, … , p platíyik  yjk, přičemž existuje r takové, že yir > yjr. To znamená, že varianta i musí být lepší alespoň podle jednoho kritéria než varianta j, přičemž podle žádného není horší. Řekneme, že varianta je nedominovaná(paretovsky optimální), jestliže neexistuje žádné jiná varianta, která by ji dominovala. Varianta splňuje podmínku paretovské optimality, jestliže žádné kritérium nelze zlepšit, aniž by došlo ke zhoršení jiného kritéria.

12. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Metody vícekriteriálního vyhodnocování variant můžeme členit obdobně jako metody vícekriteriálního programování podle toho, zda jsou či nejsou dány nějaké doplňující informace a zda jsou dány předem nebo až v průběhu výpočtu. Je zde také možno najít obdobné výpočetní metody (metoda agregace kritérií, lexikografická metoda, metoda minimalizace vzdálenosti od ideálního vektoru). Kromě toho zde však existují i metody specifické, využívající konečnost množiny variant a schopné pracovat s kvalitativními kritérii. K takovým patří také metody založené na teorii fuzzy množin (mlhavých množin). V těchto metodách se na základě dílčích preferencí rozhodovatele konstruuje mlhavá relace, z níž se pak pomocí prahů preference a indiference resp. dispreference získává výsledná nemlhavá preferenční relace, podle které lze pak varianty nějakým způsobem uspořádat.

13. Metoda TOPSIS Jedná se o výběr varianty, která je co nejblíže k ideální variantě reprezentované vektorem (H1, H2, … , Hp) a co nejdále od bazální varianty reprezentované vektorem (D1, D2, … , Dp). 1. Konstruuje se normalizovaná kriteriální matice R = (rij), kde 2. Vypočteme váženou kriteriální matici W = (wij), kde wij = vj rij a vj je váhaj-tého kritéria. 3. Určíme ideální a bazální variantu:

14. 4. Vypočteme vzdálenosti i-té varianty od ideální a bazální varianty: 5. Vypočteme relativní ukazatele vzdálenosti i-té varianty od bazální varianty: Varianty uspořádáme podle klesajících hodnot ukazatele ci.

15. Metody odhadu vah kritérií • Přímé určení vah • Ordinální srovnání kritérií • všech najednou (metoda pořadí) • párové (Fullerova metoda) • Kardinální srovnání kritérií • všech najednou (bodovací metoda) • párové (Saatyho metoda) • Srovnání variant (metoda entropie)

16. Metoda pořadí Mějme p kritérií a q expertů. Kritéria jsou uspořádána přiřazením přirozených čísel p, p – 1, … , 1. Nejdůležitějšímu kritériu je přiřazeno číslo p, nejméně důležitém číslo 1. Nechť aij je číslo přiřazené i-tému kritériu j-tým expertem. Váha i-tého kritéria podle j-tého experta: Výsledná váha i-tého kritéria:

17. Bodovací metoda Mějme p kritérií a q expertů. Pro zvolenou bodovací stupnici musí j-tý expert ohodnotit i-té kritérium hodnotou aij ležící v dané stupnici. Čím je kritérium důležitější, tím je bodové ohodnocení větší. Váha i-tého kritéria podle j-tého experta: Výsledná váha i-tého kritéria:

18. Fullerova metoda Mějme p kritérií a q expertů. Každý expert postupně srovnává každá 2 kritéria mezi sebou, takže tedy provede srovnání. Srovnání se mohou provádět v tzv. Fullerově trojúhelníku, v němž jsou zachyceny všechny možné dvouprvkové kombinace kritérií. Experti u každé dvojice zakroužkují to kritérium, které pokládají za důležitější. Nechť aij je počet zakroužkování i-tého kritéria u j-tého experta. Váha i-tého kritéria podle j-tého experta: Výsledná váha i-tého kritéria: