1 / 10

Maatriksi astak

Maatriksi astak. k -järku miinorit tähistused:. 1) M k. 2). Miinorid. Definitsioon. Maatriksi A k -järku miinoriks nimetatakse k -järku determinanti, mis on leitud maatriksi A suvalisest k reast ja k veerust. Näide. Maatriksi. kolmandat järku miinorid on. Miinorid (II).

andra
Download Presentation

Maatriksi astak

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Maatriksi astak

  2. k-järku miinorit tähistused: 1) Mk 2) Miinorid Definitsioon Maatriksi Ak-järku miinoriks nimetatakse k-järku determinanti, mis on leitud maatriksi A suvalisest k reast ja k veerust.

  3. Näide Maatriksi kolmandat järku miinorid on Miinorid (II) Kolm teist järku miinorit (18-st):

  4. Teoreem Kehtib nn Laplace’i valem: kusjuures paremal seisev summa tuleb leida üle kõigi k-ndat järku miinorite, mida saab moodustada fikseeritud ridadest ja on maatriksist A miinori Mk moodustamisel kasutatud ridade ning veergude kustutamisel saadud maatriksi determinandi korrutis arvuga Laplace’i arendusteoreem Laplace‘i arendusteoreem on üldistuseks determinandi arendamisele rea või veeru järgi.

  5. Leiame Laplace‘i arendusteoreemi abil determinandi On ilmne, et esimesest kolmest reast saab moodustada vaid ühe nullist erineva kolmandat järku miinori Laplace’i arendusteoreem. Näide Laplace‘i arendusteoreemi põhjal on otsitav determinant:

  6. Definitsioon Maatriksi Aastakuks nimetatakse suurimat naturaalarvu k, mille korral maatriksil leidub nullist erinev k-järku miinor. Näide Leiame maatriksi astaku. Maatriksi astak Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või ka r(A). Kuna maatriksi esimene ja teine rida on lineaarselt sõltuvad (teine rida on esimese kahekordne), siis iga kolmandat järku miinor võrdub nulliga. Teist järku miinoritest on nullist erinev näiteks Seega on maatriksi A astak rank(A) = 2.

  7. Teoreem 1 Kui maatriks B on saadud maatriksist A ridade ja veergude elementaarteisenduste teel, siis nende maatriksite astakud on võrdsed. Näide astaku. Leiame maatriksi -2II =II =I +I -2I Teoreeme maatriksi astakust (I) Kasutades maatriksi ridade elementaarteisendusi, teisendame maatriksit: Kuna saadud maatriksi viimane rida koosneb nullidest, on ainus kolmandat järku miinor 0. Teist järku miinorite seas esineb aga vähemalt üks nullist erinev: Maatriksi astak on seega kaks.

  8. Kolmas järeldus kõlab, et aritmeetilised vektorid on lineaarselt sõltumatud parajasti siis, kui nendest moodustatud maatriksi astak on m. Teoreeme maatriksi astakust (II) Teoreem 2 Maatriksi A astak on k parajasti siis kui maatriksil A leidub k lineaarselt sõltumatut rea(veeru)vektorit, mille lineaarse kombinatsioonina avalduvad kõik maatriksi A rea(veeru)vektorid. Selle teoreemi tõttu võib maatriksi astaku defineerida ka kui tema lineaarselt sõltumatute rea(veeru)vektorite maksimaalarvu. Teiseks järelduseks teoreemist 2 on see, et determinant võrdub nulliga parajasti siis, kui tema rea(veeru)vektorite seas esineb lineaarselt sõltuvaid.

  9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahenduvus Teoreem 3 Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi astak on võrdne laiendatud maatriksi astakuga. Näide Võrrandisüsteem ei ole lahenduv, kuna

  10. Lineaarse võrrandisüsteemi lahenduvus Näide Võrrandisüsteem on lahenduv, kuna Teoreem 4 Lineaarse võrrandisüsteem on üheselt lahenduv parajasti siis, kui 1) võrrandisüsteemi maatriksi astak on võrdne laiendatud maatriksi astakuga ja 2) see astak on võrdne tundmatute arvuga võrrandisüsteemis.

More Related