Multiple Integrals

Chapter 12 Multiple Integrals 170 121 Engineering Mathematics II 5ธันวาคม 2546

Integrals Integration หมายถึงการรวมกัน ซึ่งตรงข้ามกัน differentiation หรือการ แตกส่วนย่อยที่เรียกว่า อนุพันธ์ นั่นเอง ความหมายของการอินทีเกรตในเชิงเรขาคณิต ในกรณีของฟังก์ชันตัวแปรเดียว สูตรการอินทีเกรตทางคณิตศาสตร์คือ f(x) f(x) เราจะเห็นว่ามี dx อยู่ในสูตรซึ่งหมายถึงช่วงน้อยๆ ของ xส่วน f(x) ก็คือความสูงของกราฟดังนั้น f(x)dxก็คือแท่ง 1 แท่งในรูป ซึ่งเป็นส่วนน้อยๆ ของพื้นที่ใต้กราฟ และการอินทีเกรตของ f(x)dx ก็คือการนำเอาส่วนน้อยๆของพื้นที่ใต้กราฟมารวม กัน เราจะได้พื้นที่ใต้กราฟออกมา หลักการนี้สามารถ ขยายผลไปใช้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรได้ x dx

Multiple Integrals Multiple integrationเป็นวิธีการอินทีเกรตสำหรับฟังก์ชันหลายตัวแปร ซึ่งเราใช้สัญลักษณ์ดังนี้ วิธีการอินทีเกรตสำหรับฟังก์ชันหลายตัวแปร มีข้อแตกต่างจากการอินทีเกรตตัวแปรเดียวดังนี้ - เนื่องจากเรามีตัวแปรอิสระหลายตัว แต่การอินทีเกรตทำได้ทีละตัวแปร ดังนั้นการอินทีเกรตฟังก์ชันหลายตัวแปร จะเป็นการอินทีเกรตทีละตัวแปร หลายๆครั้งจนครบทุกตัวแปร ซึ่งการปฏิบัติจะยากกว่าการอินทีเกรตฟังก์ชันตัวแปรเดียว ที่มีการอินทีเกรตเพียงครั้งเดียว

Double Integrals over Rectangles Multiple integral แบบที่ง่ายที่สุดคือการอินทีเกรตแบบสองชั้นซึ่งใช้กับฟังก์ชัน สองตัวแปรโดยเฉพาะ เราเรียกว่า Double integral ที่มาของDouble integral เป็นดังนี้ สมมุติว่ามี ที่ประกาศไว้ พื้นที่ย่อยในแต่ละช่องคือ ในช่วง เมื่อแบ่ง R ออกเป็นตารางย่อยๆดังรูป เราสามารถหาผลรวม Rieman sum d c เมื่อให้ จะได้ a b

Geometrical Interpretation of Double Integrals ความหมายทางเรขาคณิตของการอินทีเกรตของฟังก์ชันตัวแปรเดียว ก็คือการหาพื้นที่ ใต้กราฟ 1 มิติ แต่สำหรับ Double integral ให้เราจิตนาการว่า function f(x,y) คือหลังคาโดม แล้ว Double integral จะหมายถึงการหาปริมาตรใต้หลังคาโดมดังรูป (ให้จินตนาการว่าเป็นหลังคาโดม) z ปริมาตรในช่องว่างจากพื้นห้อง ถึงหลังคาโดมคือค่าที่ได้จาก การทำ Double integral ระนาบ XY คือพื้นห้อง x y

Geometrical Interpretation of Double Integrals (cont.) การหาผลรวมใน Slide แผ่นที่ 2 เปรียบได้กับการประมาณปริมาตรใต้หลังคาห้อง โดยใช้ปริมาตรของแท่งปริซึ่มในรูปมารวมกัน แท่งแต่ละแท่งมีปริมาตรเท่ากับ ผลรวมของปริมาตรทุกแท่งจะได้ z เมื่อแบ่งปริมาตรให้ละเอียดขึ้น โดยใช้แท่งปริซึ่มที่มีพื้นที่ฐานเล็กลง แต่มีจำนวนแท่งมากขึ้น ในที่สุดเราจะได้ x y

Properties of Double Integrals 1. 2. 3. 4. 5. If R1 R2 R =

Fubini’s Theorem for Calculating Double Integrals สมมุติว่าเราต้องการคำนวณปริมาตรของแท่งเหลี่ยมดังรูป พื้นผิวด้านบนสุด (หลังคา) คือระนาบ z = 4 - x - y ส่วนฐานของแท่งเป็นพื้นที่ในช่วง เราสามารถใช้สูตร Double intregral ดังนี้ ปริมาตร อินทีเกรตชั้นแรก พิจารณาเฉพาะ โดยมอง x = ค่าคงที่ เราจะได้ พื้นที่หน้าตัด อินทีเกรตชั้นต่อมาได้

Examples: Fubini’s Theorem ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราเปลี่ยนลำดับการอินทีเกรต โดยให้อินทีเกรตเทียบกับตัวแปร x ก่อน เราจะได้ ปริมาตร อินทีเกรตขั้นแรก พิจารณาเฉพาะ โดยให้คิดว่า y = ค่าคงที่ จะได้ = พื้นที่หน้าตัด อินทีเกรตชั้นต่อมาได้ ซึ่งจะได้ผลเหมือนเดิม ซึ่งจะได้ทฤษฎีของ Fubini เป็น

หลักในการทำ Double Integrals เนื่องจากฟังก์ชันที่เราจะทำการอินทีเกรตนั้นมีตัวแปรอิสระ 2 ตัวคือ x และ y ดังนั้น เราจะต้องอินทีเกรตเทียบกับตัวแปรทีละตัวดังนี้ 1. คำนวณ เทียบกับตัวแปรตัวแรก (y) โดยคิดว่า x เป็นค่าคงที่ ผลลัพธ์การอินทีเกรต จะได้เป็น function ของ x อย่างเดียว(เนื่องจาก y ถูกแทนค่าด้วย c และ d ไปแล้ว) 2. ทำการอินทีเกรตผลลัพธ์ที่ได้ในข้อ1 เทียบกับตัวแปรที่เหลือ (คือตัวแปร x) ในทางกลับกัน เราสามารถอินทีเกรต f(x,y) เทียบกับ x ก่อน แล้วจึงอินทีเกรต เทียบกับ y ทีหลังก็ได้ ตามทฤษฎีของ Fubini ซึ่งจะได้ผลเหมือนกัน

Double Integrals over Bounded Nonrectangular Regions ในกรณีที่ขอบเขตการอินทีเกรตไม่ได้เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังรูป เราก็สามารถทำ Double Integration ได้โดยการแบ่งพื้นที่ออกเป็นสี่เหลี่ยมเล็กๆ แล้วหาผลรวม Rieman เมื่อเราแบ่งให้สี่เหลี่ยมละเอียดขึ้น โดยให้ขนาดเล็กลง และเพิ่มจำนวนขึ้น จะได้ โดย สรุป ขอบเขตการอินทีเกรตจะเป็นรูป ทรงใดก็ได้ ส่วนตัวอนุพันธ์ เราจะใช้ dA ซึ่งหมายถึงว่าเราอินทีเกรต f(x,y) เทียบ กับพื้นที่ฐานในระนาบ XYนั้นเอง

Double Integrals over Bounded Nonrectangular Regions รูปนี้แสดงถึงการทำ Double integral โดยขอบเขตการอินทีเกรตไม่ได้เป็น สี่เหลี่ยมผืนผ้า เราอาจจะจินตนาการว่า เรามีหลังคาโดม เป็น f(x,y) และมี พื้นห้องเป็นรูปวงรี ดังรูป การทำ Double integral ก็คือการหาปริมาตรของช่องว่าง ระหว่างหลังคากับพื้นห้องนั่นเอง

Fubini’s Theorem ทฤษฎีของ Fubini สำหรับการทำ Double integral ที่ขอบเขตการอินทีเกรต เป็นรูปทรงใดๆ มีดังนี้ ให้ f(x,y) ต่อเนื่องบน พื้นที่ (region) R 1. ถ้า Region R ประกาศไว้ในช่วง โดย ต่อเนื่องในช่วง [a,b] จะได้ 1. ถ้า Region R ประกาศไว้ในช่วง โดย ต่อเนื่องในช่วง [c,d] จะได้

Double Integral in dy dx Order ในกรณีที่ 1: Region R: ในกรณีนี้ ค่า yจะอยู่ระหว่าง g1(x) และ g2(x) เราจะต้องอินทีเกรตเทียบกับตัวแปร y ก่อน เพื่อจะกำจัด yออกไป จากนั้นจึงค่อยอินทีเกรต ผลลัพธ์ที่ได้เทียบกับตัวแปร x 1. คำนวณ ได้เป็น 2. แทนค่า (เพื่อกำจัด y) ได้ผลลัพธ์เป็น H(x) ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ x ตัวแปรเดียว 3. อินทีเกรตผลในข้อ 2 เทียบกับ x

Example: Double Integral in dy dx Order z y x y ขอบด้านบน เส้นy = x ขอบด้านล่าง เส้นy = 0 x 0 1 จงหาปริมาตรของแท่งปริซึ่มที่มีด้านบนเป็นระนาบ z = 3- x - y และพื้นที่ฐานเป็น สามเหลี่ยมดังรูป วิธีทำ 1. หาขอบเขตการอินทีเกรต 1.1 หาขอบเขตของค่า y จากรูป จะเห็นว่าสามเหลี่ยมประกอบ ด้วยขอบล่างเป็นเส้นตรง y = 0 และขอบบนเป็น y = x ระนาบ z = 3-x-y 1.2 หาขอบเขตของค่า x จากรูป จะเห็นว่าค่า x เริ่มจาก x = 0 จนถึงค่า x = 1 พื้นที่ฐานรูปสามเหลี่ยม จะได้สูตร ปริมาตร พื้นที่ฐานสามเหลี่ยม เมื่อมองจากด้านบน

Example: Double Integral in dy dx Order (continued) z y x y เส้นy = x x 0 1 ปริมาตร ระนาบ z = 3-x-y 2. อินทีเกรตในชั้นแรก พื้นที่ฐานรูปสามเหลี่ยม 3. อินทีเกรตในชั้นที่สอง เส้นy = 0

Procedure for Finding Limit of Integration in dy dx Order การเริ่มต้นการทำ Multiple integral เริ่มจากการเขียนสูตรการอินทีเกรตซึ่งมีความสำคัญมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งการหาขอบเขตการอินทีเกรต ซึ่งสามารถทำเป็นขั้นตอนได้ดังนี้ ตัวอย่าง กำหนดให้ ขอบเขตการอินทีเกรตเป็น พื้นที่ระหว่างส่วนโค้งของวงกลม x2+y2 = 1 กับเส้นตรง x+y = 1 ดังในรูป 1. เราต้องกำหนด ลำดับการอินทีเกรต ว่าจะทำกับตัวแปรใดก่อน ในข้อนี้เป็นการอินทีเกรตเทียบกับ y ก่อน 2. เมื่อเป็นการอินทีเกรตเทียบกับ y ก่อน ต้องพยายามหาขอบบนและขอบล่างของพื้นที่ ในรูปฟังก์ชันของตัวแปร x (ขอบล่างเป็นสมการ y = g1(x) ส่วนขอบบนเป็น y = g2(x)) ในข้อนี้จะได้ ขอบล่างเป็น ขอบบนเป็น 3. หาขอบเขตของ x ในรูปตัวเลขค่าต่ำสุดและสูงสุดของ x ในข้อนี้จะได้ ค่าต่ำสุด x = 0 ค่าสูงสุด x = 1 ได้สูตรการอินทีเกรต

Double Integral in dx dy Order ในกรณีที่ 2: Region R: ในกรณีนี้ ค่า xจะอยู่ระหว่าง h1(y) และ h2(y) เราจะต้องอินทีเกรตเทียบกับตัวแปร x ก่อน เพื่อจะกำจัด xออกไป จากนั้นจึงค่อยอินทีเกรต ผลลัพธ์ที่ได้เทียบกับตัวแปร y 1. คำนวณ ได้เป็น 2. แทนค่า (เพื่อกำจัด x) ได้ผลลัพธ์เป็น G(y) ซึ่งเป็นฟังก์ชันของ y ตัวแปรเดียว 3. อินทีเกรตผลในข้อ 2 เทียบกับ y

Example: Double Integral in dx dy Order z y x จงหาปริมาตรของแท่งปริซึ่มที่มีด้านบนเป็นระนาบ z = 3- x - y และพื้นที่ฐานเป็น สามเหลี่ยมดังรูป วิธีทำ 1. หาขอบเขตการอินทีเกรต 1.1 หาขอบเขตของค่า x จากรูป จะเห็นว่าสามเหลี่ยมประกอบ ด้วยขอบซ้ายเป็นเส้นตรง x = y และขอบขวาเป็น x = 1 1.2 หาขอบเขตของค่า y จากรูป จะเห็นว่าค่า y เริ่มจาก y = 0 จนถึงค่า y = 1 จะได้สูตร ปริมาตร y 1 ขอบด้านขวา เส้นx = 1 ขอบด้านซ้าย เส้นx = y x 0 1

Example: Double Integral in dx dy Order (continued) z y x ปริมาตร 2. อินทีเกรตในชั้นแรก 3. อินทีเกรตในชั้นที่สอง y x 0 1

Procedure for Finding Limit of Integration in dx dy Order ในกรณีที่ลำดับการอินทีเกรตเริ่มที่ x ก่อน เรามีวิธีการดังนั้น ตัวอย่าง ให้ขอบเขตการอินทีเกรตเป็น พื้นที่ระหว่างส่วนโค้ง x2+y2 = 1กับเส้นตรง x+y = 1 1. เมื่อเป็นการอินทีเกรตเทียบกับ x ก่อน ต้องพยายามหาขอบซ้ายและขอบขวาของพื้นที่ ในรูปฟังก์ชันของตัวแปร y (ขอบซ้ายเป็นสมการ x = h1(y) ส่วนขอบขวาเป็น x = h2(y)) ในข้อนี้จะได้ ขอบซ้ายเป็น ขอบขวาเป็น 2. หาขอบเขตของ y ในรูปตัวเลขค่าต่ำสุดและสูงสุดของ y ค่าต่ำสุด y = 0 ค่าสูงสุด y = 1 ได้สูตรการอินทีเกรต

Example: Double Integral y เส้นy = x R x 0 1 จงคำนวณค่า โดย R เป็น Region ดังในรูป วิธีทำ 1. กำหนดลำดับการอินทีเกรต ในข้อนี้ให้ทำกับ y ก่อน 2. หาขอบเขตการอินทีเกรตได้ 3. เขียนสูตร 4. อินทีเกรตชั้นแรก 5. อินทีเกรตชั้นที่สอง

Example: Double Integral (continued) y เส้นy = x R x 0 1 จงคำนวณค่า โดย R เป็น Region ดังในรูป โดยกำหนดให้อินทีเกรตเทียบกับ x ก่อน 1. หาขอบเขตการอินทีเกรตได้ 2. เขียนสูตร 3. อินทีเกรตชั้นแรก ทำได้ยากกว่าตัวอย่างที่แล้วมาก 4. อินทีเกรตชั้นที่สองต่อไป ….. ข้อนี้จะเห็นว่า ลำดับการอินทีเกรตมีผลต่อความยากง่ายของรูปสมการ ซึ่งต้องอาศัยประสบการณ์ ในการเลือกลำดับการอินทีเกรต

Example 2: Double Integral 4.5 (3,4) 4 3.5 3 2.5 2 R 1.5 1 (0,1) 0.5 0 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 เส้นตรง จงคำนวณ โดย R เป็น Region ระหว่างเส้นตรง และ เส้นโค้ง ดังรูป 1. กำหนดลำดับการอินทีเกรตและหาขอบเขต วิธีทำ ในข้อนี้ถ้า อินทีเกรต y ก่อน เราจะได้ขอบเขตดังนี้ 1.1 ขอบบนได้สมการ 1.2 ขอบล่างได้สมการ หาขอบเขตของ x จากรูปจุดตัดระหว่าง เส้นทั้งสองคือจุด (0,1) และ (3,4) ดังนั้นค่าต่ำสุดของ x คือ 0 และค่าสูงสุดคือ 3 ได้สูตร

Example 2: Double Integral (continued) 4.5 (3,4) 4 3.5 3 2.5 2 R 1.5 1 (0,1) 0.5 0 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 เส้นตรง 2. อินทีเกรตชั้นแรก 3. อินทีเกรตชั้นที่สอง

Example 3: Double Integral 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 จงคำนวณ โดย R เป็น Region ระหว่างเส้นตรง และ เส้นโค้ง ดังรูป โดยกำหนดให้อินทีเกรตเทียบกับ x ก่อน ในข้อนี้ถ้าอินทีเกรต x ก่อน เราจะต้องแบ่งพื้นที่เป็น 2 ส่วนดังนี้ (3,4) พื้นที่ R1 ขอบซ้ายได้สมการ ขอบขวาได้สมการ ขอบเขตของ y ได้ R2 พื้นที่ R2 (0,1) ขอบซ้ายได้สมการ R1 ขอบขวาได้สมการ ขอบเขตของ y ได้ เส้นตรง ได้

Example 3: Double Integral (continued) 2. อินทีเกรตชั้นแรก พื้นที่ R1 พื้นที่ R2 3. อินทีเกรตชั้นที่สอง

Areas of Bounded Regions in the Plane ในกรณีที่เราให้ f(x,y) = 1 เมื่อเราทำ Double integrals เราจะได้ผลลัพธ์เป็นพื้นที่ R ออกมา เริ่มจาก เราแบ่ง R ออกเป็นสี่เหลี่ยมเล็ก แล้วหาผลรวม ผลรวม Snนี้คือการประมาณพื้นที่ของ R เมื่อเราแบ่งให้สี่เหลี่ยมละเอียดขึ้น โดยให้ขนาดเล็กลง และเพิ่มจำนวนขึ้น จะได้ สูตรนี้ใช้หาพื้นที่ของรูปทรงใดๆ

Example 1: Areas of Bounded Regions in the Plane y (1,1) R y (0,0) จงหาพื้นที่ของ R ในรูป วิธีทำ 1. หาขอบเขตการอินทีเกรต จากรูปจะเห็นว่า ขอบบนคือสมการ ขอบล่างคือสมการ ส่วนค่า x อยู่ระหว่าง Area ได้

Example 2: Areas of Bounded Regions in the Plane y (2,4) R (-1,1) x จงคำนวณหาพื้นที่ R ที่อยู่ระหว่างเส้นโค้ง y = x2และ เส้นตรง y = x+2 วิธีทำ 1. หาจุดตัดระหว่างเส้นโค้ง และ เส้นตรง จัดรูปให้สองสมการเท่ากัน ได้ ได้คำตอบ และ ได้จุดตัด (-1,1) และ (2,4) 2. หาขอบเขตการอินทีเกรต จากรูปจะเห็นว่า ขอบบนคือสมการ ขอบล่างคือสมการ ส่วนค่า x อยู่ระหว่าง 3. คำนวณ Area

Example 2: Areas of Bounded Regions in the Plane (cont.) ในกรณีที่เราให้ลำดับการอินทีเกรตเป็น dx dy เราจะต้องทำดังนี้ y เนื่องจากเราไม่สามารถเขียนขอบเขตการอินทีเกรตชุดเดียวครอบ คลุมพื้นที่ได้หมด จึงจำเป็นต้องแบ่งพื้นที่เป็น 2 ช่วง (2,4) ในช่วง R1ได้พื้นที่ R2 (-1,1) x R1 ในช่วง R2ได้พื้นที่ ได้พื้นที่รวม

Average Value การหาค่าเฉลี่ยของ f(x,y) ใน Domain R เราสามารถใช้สูตร ตัวอย่าง จงหาค่าเฉลี่ยของ f(x,y) = xcos(xy) ในบริเวณ R: วิธีทำ 1. คำนวณ 2. คำนวณค่าเฉลี่ย =

Moments and Centers of mass การประยุกต์ใช้งานอย่างหนึ่งของ Double integrals คือการหา Moment และจุดศูนย์กลางมวล ของวัตถุแผ่นบางดังสูตรต่อไปนี้ ให้ เป็นความหนาแน่นของวัตถุแผ่นบาง (มีหน่วยเป็น น้ำหนักต่อพื้นที่) เราสามารถคำนวณมวลได้ดังนี้ First order moments เทียบกับแกน x : เทียบกับแกน y : Center of Mass (จุดศูนย์กลางมวล) โดย วัตถุแผ่นบาง

Moments and Centers of mass (continued) Moment of inertia (second order moment) เทียบกับแกน x = เทียบกับแกน y = เทียบกับจุด (0,0) = Moment of inertia about a line L โดย r(x,y) คือระยะทางจากจุด (x,y) ถึงเส้นตรง L Radii of Gyration (รัศมีของไจเรชัน) รัศมีเทียบกับแกน x = รัศมีเทียบกับแกน y = รัศมีเทียบกับจุด (0,0) =

Example: Moments and Centers of mass y = 2x y (1,2) x 1 0 มีโลหะแผ่นบางเป็นรูปสามเหลี่ยมดังรูป และมีความหนาแน่นที่จุด (x,y) เป็น 6x+6y+6 kg/m2 มวล = First order moment Center of Mass

Example: Moments and Centers of mass (continued) y = 2x y (1,2) x 1 0 Moment of inertia Radii of Gyration

Centroids of Geometric Figures y (1,1) R y (0,0) ในกรณีที่ความหนาแน่นของวัตถุแผ่นบางเป็นค่าคงที่ เราจะเรียกจุดศูนย์กลางมวลว่าจุด Centroids ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่าง จงหาจุด Centroid ของ Region R วึ่งอยู่ระหว่าง เส้นโค้ง y = x2และเส้นตรง y = x ได้

Polar Coordinate System Polar coordinate system เป็นระบบบอกตำแหน่งชนิดหนึ่งใน 2 มิติซึ่งประกอบมุม ที่วัดจากแกน x (โดยกำหนดให้ค่าของมุมเป็นบวก เมื่อมุมนั้นอยู่ในทิศทวนเข็มนาฬิกา) และค่ารัศมี คือค่าระยะทางจากจุด (0,0) ถึงจุดที่เราอยู่ จุด (1,1) ในระบบ Rectangular coordinate system สามารถแปลง เป็นระบบ Polar coordinate system ได้ดังนี้ ตัวอย่าง y (1,1) ได้จุด ในระบบ Polar coordinate x สรุปสูตรการแปลงระหว่าง Rectangular และPolar coordinate

Polar Coordinate System วิธีใช้ระบบ Polar coordinate เราจะต้องคุ้นเคยกับการใช้มุม ดังตัวอย่างต่อไปนี้ Reflection of a point about the x-axis ใน Rectangular coordinate นั้นจุด (x,y) จะมี จุด (x,-y) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับแกน x ใน Polar coordinate นั้นจุด (r,q) จะมี จุด (r,-q) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับแกน x Reflection of a point about the y-axis ใน Rectangular coordinate นั้นจุด (x,y) จะมี จุด (-x,y) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับแกน y ใน Polar coordinate นั้นจุด (r,q) จะมี จุด (r,p-q) หรือ(-r,-q) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับแกน y

Polar Coordinate System Reflection of a point about the origin ใน Rectangular coordinate นั้นจุด (x,y) จะมี จุด (-x,-y) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับจุด Origin ใน Polar coordinate นั้นจุด (r,q) จะมี จุด (-r,q) หรือจุด (r,p+q) เป็นจุด “สะท้อน” โดยเทียบกับจุด Origin เส้นตรงและวงกลมใน Polar coordinate เส้นตรง q = c หมายถึงส่วนของเส้นตรงที่เริ่มจากจุด (0,0) และทำมุมกับแกน x เป็นมุม c เส้นโค้งr = c หมายถึงวงกลมรัศมีเท่ากับ c และมีจุดศูนย์กลาง ที่ (0,0) Polar coordinate ใช้ได้ดีกับรูปทรงที่เป็นส่วนของวงกลม หรือรูปทรงที่อธิบายโดยฟังก์ชันทาง ตรีโกณมิติในระบบ Rectangular coordinate

Polar Graphs Polar graph มักจะอยู่ในรูป r = function of qซึ่งเราสามารถวาดรูปกราฟเหล่านี้ ได้โดยอาศัยหลักการดังนี้ 1. กำหนดช่วงของ q 2. คำนวณ r = f(q) แล้วเก็บเป็นตาราง 3. Plot จุด (r,q) โดย ให้มุม = qและระยะทาง จากจุด (0,0) เท่ากับ r กราฟ r = 1 - cos(q)

Advantage of Polar Coordinate System ระบบ Rectangular coordinate (x,y) เหมาะสำหรับการ อธิบายรูปทรงที่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่จะไม่เหมาะที่จะอธิบายรูปทรง ที่เป็นส่วนโค้งของวงกลมดังรูป B A C ถ้าเราใช้ Rectangular coordinate เราจะต้องแบ่งพื้นที่ ออกเป็น 3 ส่วนดังนี้ -1 1 2 -2 (0,0) R2 = 2 ส่วน A R1 = 1 ส่วน B ส่วน C ถ้าเราใช้ระบบ Polar coordinate เราสามารถอธิบายรูปทรงนี้ได้ดังนี้ ซึ่งจะง่ายกว่าใช้ระบบ Rectangular coordinate มาก

Double Integrals in Polar Form ในการทำ Double integral ในรูป ของระบบ Rectangular Coordinate นั้น เราทำการแบ่ง R เป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมย่อยๆ แล้วจึง หาผลรวม จะได้ การทำ Double integral ในระบบ Polar coordinate ก็เช่นเดียวกัน เราสามารถแบ่ง R ออกเป็นพื้นที่ย่อยๆตามรูปแล้วหาผลรวม ซึ่งเมื่อ Take limit ให้ จะได้

Double Integrals in Polar Form ในระบบ Rectangular coordinate เราจะได้ ข้อแตกต่างระหว่างสูตร Double integral ในระบบ Rectangular coordinate กับของระบบ Polar coordinate คือ DA หรือdAคำนวณมาจากคนละสมการ ในระบบ Polar coordinateDA คำนวณได้จาก พื้นที่ของ Large sector - พื้นที่ของ small sector เราจะได้สูตรการอินทีเกรตสำหรับ Polar coordinate เราจะได้

Finding Limits of Integration in Polar Form ในการหาขอบเขตของการอินทีเกรตในระบบ Polar coordinate เรานิยมกำหนดให้ ขอบเขตของrอยู่ในรูปของ function ของ qและให้ขอบเขตของ qเป็นค่าคงที่ เพื่อความสะดวก 1. เราจะกำหนดขอบเขตของ r เป็น รัศมีวงใน และ รัศมีวงนอก โดย รัศมีวงใน รัศมีวงนอก 2. กำหนดขอบเขตของมุม q มุมเริ่มต้น มุมสิ้นสุด ได้สูตรการอินทีเกรตเป็น

Finding Limits of Integration in Polar Form ขั้นตอนในการหาขอบเขตการอินทีเกรตในระบบ Polar coordinate เป็นดังนี้ 1. หาขอบเขตของ r คือ รัศมีวงนอก และรัศมีวงใน โดยมากโจทย์มักจะกำหนดขอบเขต Region อยู่ในรูปฟังก์ชัน ในระบบ Rectangular coordinate ดังนั้นเราจึงต้องแปลง ให้อยู่ในรูป Polar coordinate ก่อน โดยใช้สูตร เขียนในรูป Polar form ได้ รัศมีวงนอก มีสมการ ได้ หรือ r = 2 เขียนในรูป Polar form ได้ รัศมีวงในมีสมการ หรือ

Finding Limits of Integration in Polar Form (continued) วิธีการหาว่าขอบใดของ Region คือรัศมีวงใน ขอบใดคือรัศมีวงนอก ให้ดูที่ ระยะทางจากจุด (0,0) ถึงขอบนั้นๆ - ถ้าขอบใดใกล้จุด (0,0) มากที่สุดให้ถือว่าขอบนั้นเป็นขอบใน - ถ้าขอบใดไกลจุด (0,0) มากที่สุดให้ถือว่าขอบนั้นเป็นขอบนอก ขอบนี้อยู่ไกลกว่า ให้ถือว่าเป็นรัศมีวงนอก ขอบนี้อยู่ใกล้กว่า ให้ถือว่าเป็นรัศมีวงใน

Finding Limits of Integration in Polar Form (continued) 2. ขั้นตอนต่อมาคือการหาขอบเขตของ qโดยดูจากมุมที่เล็กที่สุด และมุมที่โตที่สุดที่เส้นตรงในแนวรัศมีสัมผัสกับ Region มุมที่เล็กที่สุดในข้อนี้คือ (1,1) มุมที่โตที่สุดในข้อนี้คือ 3. ขั้นตอนสุดท้ายคือการเขียนสูตรการอินทีเกรต ในข้อนี้เราจะได้ ระวังอย่าลืมใส่ r ตรงนี้ !

Example: Finding Limits of Integration in Polar Form จงเขียนสูตรการอินทีเกรตฟังก์ชัน f(r,q) = rcosqในรูป Polar form ของ Region ในภาพ 1. หาขอบเขตของ rในที่นี้ในบริเวณ Region R จะเห็นว่า r1จะอยู่ใกล้กว่า r2 ดังนั้นจะได้ r1เป็นรัศมีวงใน r2เป็นรัศมีวงนอก 2. หาขอบเขตของมุม qโดยดูจากจุดตัดของ สมการทั้งสอง จุดตัดด้านล่างอยู่ที่มุม รัศมีวงนอก จุดตัดด้านบนอยู่ที่มุม 3. ได้สูตร R รัศมีวงใน

Area in Polar Coordinates ในกรณีที่เรากำหนดให้ f(r,q) = 1 เราจะได้สูตรการอินทีเกรตเป็น ซึ่งจะได้พื้นที่ออกมา Area = ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของวงปิด ในข้อนี้เราจะแบ่งพื้นที่ออกเป็น 4 ส่วน แล้วหาพื้นที่เพียงส่วนเดียวแล้วคูณด้วย 4 1. หาขอบเขตของ r ในข้อนี้จะเห็นว่าเราไม่มีรัศมีวงใน ดังนั้นรัศมีวงในคือ 0 ส่วนรัศมีวงนอกคือ 2. หาขอบเขตของ q มุมที่เล็กที่สุดคือมุม q = 0 มุมที่โตที่สุด: เนื่องจากเส้นโค้ง ผ่านจุด (0,0) ที่จุดนี้ได้ r = 0 ได้ เราได้ หรือ หรือ

Multiple Integrals