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电 磁 学

电 磁 学. 朱炯明 上海师范大学 数理信息学院. 电磁学. 第一章 静电场的基本规律 第二章 导体周围的静电场 第三章 静电场中的电介质 第四章 恒定电流和电路 第五章 恒定电流的磁场 第六章 电磁感应与暂态过程 第七章 磁介质 第八章 交流电路 第九章 电磁场和电磁波. 第八章 交流电路. §1. 简谐交流电 §2. 三种理想元件电压与电流的关系 §3. 复数法与矢量法 §4. 复阻抗 §5. 功率与功率因数 §6. 谐振现象. i. I m. o. t. §1. 简谐交流电.

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  1. 电 磁 学 朱炯明 上海师范大学 数理信息学院

  2. 电磁学 第一章 静电场的基本规律 第二章 导体周围的静电场 第三章 静电场中的电介质 第四章 恒定电流和电路 第五章 恒定电流的磁场 第六章 电磁感应与暂态过程 第七章 磁介质 第八章 交流电路 第九章 电磁场和电磁波

  3. 第八章 交流电路 • §1. 简谐交流电 • §2. 三种理想元件电压与电流的关系 • §3. 复数法与矢量法 • §4. 复阻抗 • §5. 功率与功率因数 • §6. 谐振现象

  4. i Im o t §1. 简谐交流电 • 稳恒电流（直流）：大小、方向 不变 脉动直流：大小变，方向不变 交变电流（交流）：大小、方向都变化 变化电流 • 简谐交流（正弦交流）：i = Imcos (  t + ) , u ,  • 三要素： • 峰值 Im （有效值 I = Im/ ） • 角频率  （ = 2 / T = 2f ） • 初相  （ 位相  t + ）

  5. 简谐交流电 • 简谐量的特征： • 求导、积分后仍是简谐量 • 任何周期函数可展开为不同频率简谐函数之和 • —— 谐波分析法（傅里哀级数展开） • 记号约定： • 瞬时值：小写 i , u • 有效值：大写 I , U • 峰值：下标 mIm, Um

  6. §2.三种理想元件电压电流的关系 • 一. 概述 • 二. 纯电阻 • 三. 纯电容 • 四. 纯电感

  7. 一. 概述 • 直流时 R对电流有作用 • L 短路 （理想，不计电阻） • C 开路（理想，不漏电） • 交流时 R、L、C 对电流都有作用 • L 自感电动势 • C 充放电 • 研究三种理想元件 i与 u的关系 • i = Imcos (  t + i) • u = Umcos (  t + u) 表现为： (1) U / I = ? (2) u- i = ? 有效值之比 初相之差

  8. i u R u i t 0 二. 纯电阻 • u(t) = i(t) R • 即 •  U = I R u = i • 即 U / I = R u - i = 0

  9. C i u u t 0 i 三. 纯电容 • 左板q = Cu •  I = UCi = u +  / 2 • 即 U / I = 1/C u - i = -  / 2 • 容抗：XC= 1/C 纯电容：电流比电压超前 / 2

  10. L u i 自 u i t 0 四. 纯电感 • L相当于一个无内阻的电源 u(t) = -自(t) •  U = LIu = i +  / 2 • 即 U / I = L u - i =  / 2 • 感抗：XL= L 纯电感：电流比电压落后 / 2

  11. 作业 • p.361 / 8 - 2 - 1, 2, 3

  12. §3. 复数法与矢量法 • 一. 复数基本知识 • 表示法 • 运算 • 二. 复数法 • 三. 矢量法 • 四. 电压电流关系的复数形式 • 纯电阻 • 纯电容 • 纯电感 五. 例题

  13. a = Re() 实部 b = Im() 虚部 +j (a,b) b r +1 0 a 复数表示法 • 代数式：= a + jb • 矢量法：r = |  | 模 • a = r cos • b = r sin  • 三角式：  = r cos + j rsin • 指数式：  = r ej • （欧勒公式：ej = cos + j sin ）

  14. 复数运算 • 加减法： 1  2 = ( a1 a2 )+ j ( b1  b2 ) • （平行四边形法则） • 乘法： • 除法：

  15. 二. 复数法 • 瞬时值： i = Imcos ( t + ) = Re[ Ime j ( t + ) ] • 其中 Ime j ( t + ) • 复有效值 • 定义： • 包含信息：有效值、初相 • 运算步骤： • i, u  的运算结果  i, u的结果 • 实数 复数 复数运算 取实部 • 四条定理：（ Next page ）

  16. 四条定理 • (ki)的复有效值 （ k：任意实常数） • ( i1 i2 )的复有效值 • di/dt 的复有效值 • idt 的复有效值 • 证： i = Imcos ( t + ) • di/dt = Imcos ( t +  + /2 ) • di/dt 的复有效值 = I e j e j/2 •  idt = (1/)Imcos ( t +  - /2 ) •  idt 的复有效值 = I e j e -j/2 /

  17. +j +1 0 三. 矢量法 • 复有效值 矢量 • 矢量的模 = I（有效值） • 矢量的辐角 = （初相）  • 平行四边形法则 • di/dt 的复有效值 • 矢量 长度为  倍，逆时针转 /2 • idt 的复有效值 • 矢量 长度为 1/倍，顺时针转 /2

  18. 四. 电压电流关系的复数形式 • 纯电阻 • 纯电容 • 纯电感

  19. i u R 0 纯电阻 • 瞬时值： u = i R • 复有效值： • 即 •  U = I R • u = i

  20. C i u 0 纯电容 • 瞬时值： 或 • 复有效值： • 即 • U = I /C • u = i-  / 2 • 实际上 1/jC 已包含了 u, i关系的 • 全部信息（ 即 有效值之比 和 初相之差 ） • 称为 复容抗 - j XC= - j /C

  21. L u i 自 0 纯电感 • 瞬时值： • 复有效值： • 即 •  U = LI • u = i +  / 2 • 复感抗 j XL= jL

  22. i u1 R +j u u2 L +1 0 L R 例题1（p.330/[例1]）(1) • RL串联二端网络的 u与 i的关系。 • 解：u = u1+ u2 指数式： 其中 若已知 i = Imcost 则可得 u = zImcos(t+) z 

  23. 与 同相 比 超前  / 2 0  例题1（p.330/[例1]）(2) • 矢量法： • 先作 • 再作 • 且 U2 /U1= L/R • 再作 • 于是得

  24. u1 u2 R u ~ L 例题2（p.332/[例2]） • 日光灯：灯管R，镇流器 L，串联，电源 220 伏， • 灯管 U1 =110 伏，求镇流器 U2 。 • 解：  U22 = U2- U12 = 220 2- 110 2 = 3  110 2 

  25. i i2 i1 u 与 同相 比 超前  / 2 R C  0 例题3（p.332/[例3]） • RC并联，求 i1与 i2的关系。 • 解：矢量法 • 并联，先作 且 I2 /I1 = CR i2比i1超前  / 2

  26. 0 例题4（p.332/[例4]） • 例题 3 中， RC并联，求 i与 i1的位相差。 • 解： I2/I1= CR • i2比i1超前 /2 当 R = 138 k = 1.38  10 5  C= 1000 pF = 10-9 F  = 2f = 2  2000 时 CR 1.73   /3（i超前 i1）

  27. §4. 复阻抗 • 一. 理想元件 • 二. 无源二端网络 • 三. 指数式和代数式 • 指数式 • 代数式 • 阻抗三角形

  28. 一. 理想元件 • 纯电阻u = Ri • 纯电容 • 纯电感 • 引进 复阻抗Z使 • Z取决于元件参数 R、L、C和  ，与 U、I无关 • Z 包含了 i , u的关系（ U/I 和u-i）

  29. i i i2 u u i1 二. 无源二端网络 • 或 • 例1：RL 串联 • 例2：RC 并联 i = i1+i2

  30. 三. 指数式和代数式 • 指数式：Z = ze j • z 阻抗 —— 复阻抗 Z的模 •  阻抗角 —— 复阻抗 Z的辐角 • 可见Z 包含了 i , u的关系（ U/I 和u-I） • 代数式： Z = r + j x • r 等值电阻 永远 > 0 但不一定 = R 例如 • x 等值电抗 > 0 电感性网络 < 0 电容性网络 = 0 电阻性网络

  31. Z +j jx +1 0 r 阻抗三角形 • Z = ze j • Z = r + j x z  z x  r

  32. 交流电路定律的复数形式 • 一. 欧姆定律 • 直流： U = IR U = - IR （含源，端压） • 交流： • 串联： Z = Z1 + Z2 + ··· • 并联： • 二. 基尔霍夫定律 • 直流： ( I ) = 0  (  ) =  ( IR ) • 交流：

  33. i2 i3 i1 C L R2 R1 A B C R3 i4 G R4 D ~ 例题（p.336/[例]） • 交流电桥平衡的条件。 • 解：uAC = uAD 同理 又 即 • 称为 Maxwell 电桥, • 用来测电感 L

  34. 作业 • p.362 / 8 - 4 - 3, 5, 6, 15

  35. §5. 功率与功率因数 • 一. 瞬时功率、平均功率和功率因数 • 二. 提高功率因数的意义 • 三. 提高功率因数的方法

  36. 一. 瞬时功率、平均功率和功率因数 • 直流：P = IU 不随时间变化 • 交流：p(t) = i(t)u(t) 瞬时功率 • （对于 f = 50 Hz的交流，感受到的是平均） • 平均功率 • 纯电阻 • 纯电感 • 纯电容 • 任意无源二端网络

  37. p P I u i 0 t T 纯电阻 • 纯电阻： i = Imsin t u = iR p = iu = i2R • 纯电阻：非储能元件，吸收能量  焦耳热

  38. p i u T 0 t 外界能量 磁场能量 并不消耗掉！ 纯电感 • 纯电感：电压比电流超前 /2 • i = Imsin t u = Umsin( t + /2) = Umcos t • 0 T/4 和 T/2  3T/4： • p > 0 吸收能量 储存于线圈中的磁场（ ） • T/4  T/2 和 3T/4T： • p < 0放出能量 磁场消失（ i： Im0 ）

  39. p i u t 0 T 外界能量 电场能量 并不消耗掉！ 纯电容 • 纯电容：电流比电压超前 /2 • u = Umsin t i = Imcos t • 0 T/4 和 T/2  3T/4： • p > 0 吸收能量 储存于电场（） • T/4  T/2 和 3T/4T： • p < 0放出能量 电场消失（ u：  Um0 ）

  40. p u t 0 T i 任意无源二端网络 • u = Umsin t i = Imsin( t -) • （三角公式：cos(- )- cos(+ ) = 2sin sin） • 纯电阻：  = 0 P = IU • 纯电感：  =  /2 P = 0 • 纯电容：  =-  /2 P = 0 cos——功率因数

  41. I R ~ Z R 二. 提高功率因数的意义 • S = IU视在功率 • P = IUcos有功功率 • Q = IUsin无功功率 • 输电线上损失 (1) 电压 U’ = IR (2) 功率 P’ = I2R • 减小损失： • R减小，导线加粗，成本提高，有限度 • I减小，但不能减小用户用电功率 P = IUcos —— 提高功率因数 cos • 例如：电感性负载 i比 u 滞后   • 无功电流：I 无= I sin • 有功电流：I 有= I cos

  42. i’ iC i u ’  三. 提高功率因数的方法 • 无功电流：I 无= I sin • 有功电流：I 有= I cos • 则 P = IUcos = I 有U • I 无= I sin 对 P并无贡献 • 但对总电流 I却有贡献 • 从而对输电线上损耗 P’ = I2R有贡献 • 提高功率因数 cos 可减小 I 无 • 电感性网络 并联电容 • cos’ > cos • P = IUcos = I’Ucos’

  43. 作业 • p.365 / 8 - 5 - 1, 5

  44. L C R uR uL uC u 谐振 §6. 谐振现象 • 串联谐振： RLC 串联 • 以 I为参考矢量 UL = UC u 与 i 同相 电阻性 UL > UC u 超前 i 电感性 UL < UC u 滞后 i 电容性

  45. 串联谐振（1） • 电流 • 复阻抗： 阻抗： 电流： 谐振： 电流极大值： RLC串联电路的 固有频率： u () 的频率为 = 0时，I = I 0最大 谐振

  46. 串联谐振（2） • L与 C上的电压 • UL = IL UC = I/C • 谐振：UL0 = I00L UC0= I0/0C 令 则UL0 = QU UC0 = QU • 当R << 0L 时，Q 值很大 ～ 10 2 （有利，有弊） • UL0 = UC0 = QU > U • 品质因数：

  47. I I0 0  0 ~ ~ ~ 串联谐振（3） • 谐振曲线： • 在 R、L、C、U一定时， • I ~ 关系 —— 谐振曲线 • 选择性： • 可用来选择需要的信号 • —— 收音机调谐 • 调节 C 改变 • 当 0调到某一信号频率时 • 如 0 = 1 • 则 I1 >> Ii（ i  1）

  48. 作业 • p.367 / 8 - 7 - 1

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