Задача №10(6):

1. Задача№10(6): В тетраэдре ABCD длина каждого из рёбер AB и CD равна 4, длина остальных равна 3. В этот тетраэдр вписана сфера. Найти: а) радиус вписанной сферы; б) объём тетраэдра с вершинами в точках касания.

2. I) Радиус вписанной в многогранник сферы вычисляется по формуле R = 3V / Sп, где V – объём пирамиды, а Sп – площадь полной поверхности пирамиды. А Сперва найдём площадь полной поверхности пирамиды. D B C

3. Все грани данной пирамиды равны, так как это треугольники, у которых одна сторона равна 4, а две других равны 3 (признак равенства по трём сторонам) А Площадь одной грани найдём по формуле Герона: 4 3 3 D B Площадь полной поверхности: 3 4 3 C

4. Теперь найдём объём пирамиды. Рассмотрим треугольник CAD. Проведём в нём высоту AF к стороне CD. А Поскольку этот треугольник – равнобедренный, то AF также является медианой. Следовательно, FD = 2. D B Найдём длину AF из треугольника AFD. Он прямоугольный, поэтому воспользуемся теоремой Пифагора: F C

5. Теперь рассмотрим треугольник BCD. В нём проведём отрезок BF,который также является медианой и высотой. Рассуждения аналогичны только что приведённым, поэтому BF = √5. А D B F C

6. На этот раз рассмотрим треугольник ABF. Он также равнобедренный (AF = BF = √5). Проведём в нём высоту FM к стороне AB. Найдём её длину из треугольника AMF: А М Теперь вычислим площадь треугольника ABF: D B F C

7. Теперь в этом же треугольнике проведём высоту к стороне BF и найдём её длину: А АО также является высотой пирамиды, так что мы можем найти её объём: М D B Теперь у нас есть всё, чтобы найти радиус вписанной сферы: О F C

8. II) Теперь найдём объём тетраэдра с вершинами в точках касания – O2KK`K``. O2 – центр окружности, вписанной в треугольник BCD, О1 – центр сферы, вписанной в тетраэдр. К, К`, К`` - точки касания сферы . Отрезки O2K, O2K`, O2K`` - длины боковых рёбер тетраэдра. Они равны. А M S Центр сферы лежит на пересечении биссектрис О1F и O1L углов AFB и ALD. K`` K O1 K` D B O2L=O2F, т.к. это радиусы окружности, вписанной в треугольник BCD. O2 F L C

9. А K M S K`` K O1 K` O1 B P O2 F L O2 F C ∆O1O2F = ∆O1KF = ∆O2LO1 = ∆LK`O1 (по двум катетам) Следовательно, в треугольнике O2KF (O2F = KF) PF является биссектрисой и высотой. Имеем:

10. А M S K`` K O1 K` B O2 F L C , боковое ребро тетраэдра равно Для тетраэдра с равными боковыми рёбрами имеет место следующее соотношение: L2 = 2RH, где L – длина бокового ребра, R – радиус описанной сферы, H – высота тетраэдра. Найдём радиус окружности, описанной около основания тетраэдра:

11. А M S K`` K O1 K` B O2 F L C

12. Ответ: