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6.2 维数、基、坐标. 向量的线性相关、线性无关 线性空间的维数、基、坐标. 一 . 向量的线性相关（无关）. * 不经声明， v 均表示数域 P 上的线性空间. 二 . 维数、基、坐标. 定义 5 V 中有 n 个线性无关的向量，且无多余 n 个的向量线性 无关，则称 V 是 n 维的记成 dimV=n ；若 V 中有任意多个向量线性 无关，则称 V 是无限维的，记成 dimV=∞. 线性空间 V 的维数即 V 作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组所含向量的个数 .
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6.2 维数、基、坐标 向量的线性相关、线性无关 线性空间的维数、基、坐标
一. 向量的线性相关（无关） * 不经声明，v均表示数域 P 上的线性空间.
二. 维数、基、坐标 定义5 V中有n个线性无关的向量，且无多余n个的向量线性 无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性 无关，则称 V是无限维的，记成dimV=∞. • 线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组所含向量的个数. 例1 (1) V2：两相交矢量确定此平面 → dimV2=2； V3：三相交矢量确定此空间 → dimV3=3. (2) Pn ={(a1,a2,…,an)|ai∈P,i=1,2,…,n}是n维的，e1,e2,…,en是Pn的一个极大无关组. (3) R[x]={f(x)|f(x)是实系数多项式}. 当 f(x)=a0+…+anxn , 且k0+…+knxn=0时有k0==kn=0成立，故 1,x,…,xn,…是R[x]的一个极大无关组 → dimR[x]=∞. • 本教材仅讨论无限维线性空间.
定义6 dimV= n，如果ε1，ε2，…,εn线性无关，则称ε1,ε2, …,εn为V的一组基（或一个基）； α∈V，α＝a1ε1+ a2ε2 + … + anεn, 称 a1, a2,…,an为α在基 ε1，ε2，…,εn下的坐标，记为（a1, a2,…,an）. • 基是 V 中一个极大无关组 → V 中有多个基，但维数是唯一确定的； • 对任意的α∈V，α可由基ε1，ε2，…,εn唯一线性表示 → （这即说：向量α 在该基ε1，ε2，…,εn下的坐标唯一确定）. 证明： 据维数及基的定义 → α，ε1，ε2，…,εn线性相关，即 存在不全为0的 b1,b2,…,bn ,使 b1ε1+ b2ε2+ … + bnεn+ bn+1α=0 → bn+1≠0 (否则，由ε1，ε2，…,εn线性无关将推出b1=b2=…=bn =0， 矛盾) → α= bn+1-1((-b1)ε1+ … +(-bn)εn)= a1ε1+ a2ε2 + … + anεn,即α可由基ε1，ε2，…,εn线性表示.
设α＝a1ε1+ a2ε2 + … + anεn＝b1ε1+ b2ε2 + … + bnεn → (a1-b1)ε1+ (a2-b2)ε2 + … +(an-bn)εn＝0 → 由基ε1，ε2，…,εn 线性无关可知 a i=b i (i=1,2,…,n),即表示唯一. □ • 基相当于V中的一个度量标准，坐标是V中客观对象（即向量）在给定标准下的一种量的刻画. 定理1 α1,α2,…,αn 是 V 的基 α1,α2,…,αn线性无关，且 对任意的α∈V， α可由α1,α2,…,αn线性标出.
6.1.作业习题解疑： P267. 习题3 （5）：
