第二章导数与微分

第二章 导数与微分辽宁地质工程职业学院李蔓莉

§2-5. 函数的微分 回忆一下讲复合函数求导法则时的一个定理：若y = f (x)在点x0处有(有限)导数，则 y  f (x0) x

反之, 若在 x0 点处y =f (x)的增量y可以表示为 一个线性函数与一个高级无穷小量之和的形式 y =Ax +o(x) x0 那么, 我们自然要问A = ?

就是说, 在点x0处用关于自变量的增量x的线性函数代替函数的增量y时, 其关系式一定是y = f (x0)x +o(x), 我们称f (x0)x (或 Ax)为函数在点x0处增量的线性主部, 通常将它记为dy = f (x0)x (dy =Ax).

一、函数的微分 1. 微分的概念设y =f (x)在U(x0)有定义, 给x0以增量x, x0+x  U(x0).如果函数相应的增量可表示为 y =Ax + o(x) 则称y的线性主部为f (x)在点x0处的微分, 记为dy =Ax, 其中, A叫微分系数. 此时, 称f (x)在点x0处可微.

2. 可微与可导的关系 定理: f (x)在点x0可微 f (x)在x0可导, 且 A=f (x0). 也就是说, f (x)在点x0处可微性与可导性是等价的, 且 f (x)可微, 则 y = f (x0)x + o (x) dy = f (x0)x

例1. y=x, 求dy. 解: 由于 y=x, 所以 dy = dx = x

该例说明: 自变量的增量就是自变量的微分. 函数的微分可以写成: dy= f (x)dx 或 d f (x)= f (x)dx 此外, 当x为自变量时, 还可记x2=dx2, xn = dxn 等.

当 dy = f (x)dx, 有 , 即函数 f (x)在点x处的导数等于函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 的商, 故导数也可称为微商.

3. 微分的几何意义 函数y = f (x)在点 x 处的微分在几何上表示为: 相应于自变量 x 的改变量 x, 曲线 y = f (x)在点P(x, y)的切线上纵坐标的改变量.

二、微分的运算法则 1. 微分的基本公式可微可导, 故微分的基本公式与导数的基本公式相似.

2. 一阶微分形式不变性 (复合函数微分法则) 设 y =f (u), u= (x)可构成复合函数y =f ( (x)). 若u= (x)在点 x0处可微, 而y =f (u)在相应点u0= (x0)处可微, 在f ( (x))在U(x0)有定义, 则y =f ( (x))在点 x0 处可微. 按微分的定义但 du =  (x)dx, 故 dy =f (u) (x)dx = f (u)du (u为中间变量)

我们发现y =f (u), 当u为中间变量时的微分形式与u为自变量时的微分的形式相同, 均为 dy =f (u)du, 这种性质称为函数的一阶微分形式不变性.

例2.求y=x3在x=2处的微分, 以及当x=0.1时在x=2处的微分. 解: 故

例3.已知y =f (x)的反函数是x =  (y), f (x)在 I内单调, 可导, 且f (x) 0, 则存在, 由微分的概念和性质: (作为商来看)

例4. 解:

例5. 解:

三、二阶微分 类似于二阶导数的做法可以定义函数的二阶微分. 1. 设函数y =f (x)二阶可导, 当x为自变量时, 其二阶微分为

由此看出, 当x为自变量时, 类似可定义n阶微分:

2. 设函数y =f (x), x =(t)都具有相应的可微性, 且可构成复合函数 y =f ((t)), 则

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