专 题 篇

1. 专 题 篇 C1. 流体的平衡 C2. 不可压缩无粘性流体平面势流 C3.不可压缩粘性流体内流 C4. 不可压缩粘性流体外流 C5. 可压缩流体流动基础

2. C1 流体的平衡 平衡的条件 压强分布 任 务 总压力 相对平衡 浮体稳定性 流体静力学 固壁受力分析 液缸,水坝,闸门等 液压系统原理 水压机,油压系统等 应 用 压力仪器设计 比重计,测高仪,分离器等 浮体稳定性分析 舰船,浮吊,气艇等 C1 流体的平衡 C1.1 引言

3. C1 流体的平衡 C1.2.1欧拉平衡方程 0 0 C1.2流体平衡微分方程 由N-S 方程 可得欧拉平衡方程 说明作用在单位体积流体上的体积力与压强梯度平衡。 分量式为 压强全微分式为 说明体积力向任何方向的投影为该方向的压强增量

4. C1 流体的平衡 由 ,可得等压面方程： C1.2.2等压面 • 等压面上的体积力特征：体积力处处与等压面垂直. • 静止流体中等压面为水平面 • 旋转流体中等压面为旋转抛物面。

5. C1.2 流体平衡微分方程 成立，均质流体（ρ=常数）和正压流体（ρ=ρ(p)）必须满足体积力有势的条件： ，π称为势函数。 C1.2.3流体平衡的条件 • 为保证欧拉平衡方程 • 重力是有势力。在重力场中 1. 均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）可以保持平衡，等压面、等势面、等密度面三者重合： 2. 斜压流体（ρ=ρ(p,T)，如大范围的大气、海水）不能 保持平衡，等压面、等密度面不重合，要引起对流。

6. p = RρT (B1.4.5) 设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相同，但由于太阳光照射强度不同，两处温度相 差悬殊，由（B1.4.5）式相应的密度不相同，因此大气密度除了沿高度变化外还随地球纬度改变而改变，等压面与等密度面（虚线）不重合(见右图），造成大气层的非正压性，不满足流体平衡条件。这样形成在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在北极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面自北向南吹的风称为贸易风。 [例C1.2.3] 贸易风：流体平衡条件 设大气满足完全气体状态方程

7. C1 流体的平衡 重力势能 位置水头 总势能 压强势能 总水头 （测压管水头） 压强水头 C1.3流体静力学基本方程 • 单位质量流体机械能守恒式 • 水头形式 • 常用形式 限制条件: （1）均质，（2）重力，（3）连通的同种流体。

8. C1 流体的平衡 当液体以等加速度a 作直线运动或以等角速度（向心加速度 )旋转并达到稳定时，液内象刚体一样运动，N-S方程可化为 C1.4.1等加速直线运动 C1.4均质液体相对平衡 fg为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同， fg – a 也是有势力。符合平衡条件，称为液体的相对平衡。 设液体以等加速度a 沿水平方向作直线运动 • 体积力分量 fx = -a ,f y = 0 , fz= -g 压强全微分式

9. C1.4.1 等加速直线运动 a x + g z = C 用淹深表示 • 压强分布式 在图示坐标系中 • 说明液内压强在x、z方向均为线性分布。 • 　说明垂直方向压强分布与静止液体中一样。 3. 等压面方程 • 等压面为一簇与自由液面平行的斜平面，处处与体积力合力 　垂直

10. [例C1.4.1] 匀加速直线运动液体的相对平衡 已知: 用汽车搬运一玻璃缸。缸长×宽×高=l×b×h=0.6×0.3×0.5m3， 静止时缸内水位高d=0.4m。设鱼缸沿汽车前进方向纵向放置。 求: (1)为不让水溢出，应控制的汽车最大加速度am； (2)若鱼缸横向放置时的最大加速度am'。 解：建立坐标系oxz 如图示。设鱼缸加速度为a，体积力分量为 fx= - a， fz= -g 等压面微分方程为 a x + g z = c 液面中点的坐标为（0 , d），c = g d。液面方程为 a x+ g z = g d

11. 可见 ，鱼缸横向放置水不易溢出。 [例C1.4.1] 匀加速直线运动液体的相对平衡 加速度表达式为 (1)当鱼缸纵向放置时，与后壁最高液位（-l / 2, h）相应的加速度为 (2)当鱼缸横向放置时，与后壁最高液位（- b / 2, h）相应的加速度为

12. C1.4.1 等加速直线运动 C1.4.2等角速度旋转运动 设液体以等角速度ω绕中心轴z 轴旋转 • 体积力分量 fx=ω2x ，fy=ω2y ，fz= －g 压强全微分式 • 压强分布式 在图示坐标系中 • 说明液内压强在z方向为线性分布，在r方向为二次曲线分布。

13. C1.4.2 等角速度旋转运动 由 积分得 • 等压面 c不同值时得一簇旋转抛物面。 自由液面上c =－g z0。设自由液面垂直坐标为ｚs ， 方程为 代入压强分布式，令h = zs- z，可得 证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。

14. 解： 建立坐标系oxyz ,原点o在底部中心，静止时 z 0 = H 0 。 [例C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡 已知: 一封闭圆筒，高H = 2m，半径R=0.5m，注水高H0 = 1.5 m，压强为 p0=1000 N /m2。圆筒开始旋转并逐渐加速 求: (1）当水面刚接触圆筒顶部时的ω1、pc1 及pw1； (2 ) 当气体刚接触圆筒底部的ω2、pc 2 及pw 2。 (1)当边缘水位刚达顶部时，由自由面方程式

15. [例C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡 取 r = 0.5 m, zs = 2m, z0 =1m pc1= p 0 + ρg z0 = 1000 + 9807×1 = 10806 N/m2 p w1= p 0+ρg H =1000 + 9807×2 = 20612 N/m2 (2)当气体接触圆筒底部时，设顶部液面线的半径为r2，由空气容积不变

16. 在第二种情况中, 若没有顶盖限制，边缘水位将上升至 讨论： [例C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡 在自由面方程中z 0 = 0，z s = 2 m，r = 0.354m

17. C1 流体的平衡 C1.5均质液体对平壁的总压力 C1.5.1平壁总压力大小 • 工程 背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等；结构强度，安全性能，运动规律计算等。 • 条件：均质流体，体积力为重力。 图示斜平壁和坐标系oxy , o点在自由液面上，y轴沿斜平壁向下。 在面积A上取面元dA ，纵坐标y ，淹深为

18. C1.5 均质流体对平壁的压力 yc 为面积A形心的纵坐标, 为形心的淹深。 作用在dA 和A上的总压力 在几何上面积A 对x轴的面积矩 pc 为形心的压强。表明作用在面积A上的总压力大小等于形心压强乘以面积 。

19. C1.5 均质流体对平壁的压力 C1.5.2平壁总压力作用点 可得 可得 ， （纵向偏心距） 同理 ， （横向偏心距） 1、积分法 用力矩合成法 Ix为面积对x轴惯性矩。用平行移轴定理 rξ为面积A对ξ轴的回转半径。

20. [例C1.5.2A] 圆形平壁总压力 已知: 封闭油柜侧壁上有一圆形封盖, d= 0.8mh = 1.2 m ,ρ= 800 kg/m3 . 求: p0 分别为(1)5 kPa ; (2) 2 kPa时总压力F 和偏心距 e 。 解：(1)当p01 = 5kPa时，在封盖中心的压强为 p c1 = p 01+ρgh = 5 + 0.8×9.81×1.2 = 5 + 9.42 = 14.42 (kPa) h c 1 = 0.5 l sin30°= l / 4 = 1 m o1 点位于油面上方p 0 1 / ρ 处

21. [例C1.5.2A] 圆形平壁总压力 圆板 rξ2 = d 2 /16 =0.82/16=0.04 m2，偏心距为 (2)当 p0 2= -2kPa 时 p c2 = p 0 2+ρg h = -2 + 9.42 = 7.42(kPa) F2=pc 2 A= 7.42×0.503 = 3.73(kPa) o2 点位于油面上方 | p 0 2 |/ ρ处

22. C1.5.2 平壁总压力作用点 2.几何法 当一矩形平壁的一边平行于液面时，作用在平壁上的压强构成平面线性平行力系，得用几何合成法求解。 总压力 矩形面积 三角形面积 向A点取矩求压强中心 可得

23. C1 流体的平衡 C O B A C1.6均质液体对曲壁的总压力 二维曲壁的母线垂直某一坐标面归结为求端线ab(单位宽度)上的压强合力。分为水平分力和垂直分力。工程应用中以二维曲壁为主。 三维曲壁有三个投影面，三个投影面上的三个分力不一定共点，可化为一个合力，一个力偶，应用较少。

24. C1.6均质液体对曲壁的总压力 dF dF x dFh C1.6.1二维曲壁 以储液罐为例，曲壁ab沿水平方向的投影面积为Ax，沿垂直方向的投影面积为Ah。 • 水平分力 hx c为投影面积Ax形心的淹深。水平分力作用应按平壁计算。当投影面积有重叠部分时，该部分的合力为零。 • 垂直分力 τp称为压力体。压力体内液体重量构成垂直分力，作用线通过压力体的重心。

25. C1.6.1二维曲壁 当液体与压力体位于曲壁同侧，压力体为正(方向向下） 当液体与压力体位于曲壁异侧，压力体为负(方向向上） • 总压力 水平分力作用线按平壁总压力方法确定。垂直分力作用线通过压力体的重心。 • 压力体 压力体是指曲壁与自由液面之间的垂直空间的容积。当压力体内无水时（如图C1.6.4示）称为虚压力体，总压力的垂直分力 负号表示垂直分力方向向上。 压力体的虚实取决于大气压液面与壁面的相对位置，一种判别方法为

26. I [例C1.6.1.A] 二维曲壁总压力(二) 已知: 图示封闭容器α= 45°方孔,边长l = 0.4 m，盖有半圆柱形盖. H = 0.5 m,压强为p0 = 0.25 atm 求: 盖所受总压力大小与方向 。 解： 基准面离液面p0 / ρg，坐标系oxyh (1)盖ABE水平投影，实际面积Ax = l 2cos45°，水平方向合力分量为

27. (2)盖ABE垂直投影,AB段的压力体为负,BE段的压力体为正 ,分别与 组合 [例C1.6.1.A] 二维曲壁总压力(二) (3)总压力大小与方向

28. C1 流体的平衡 (物体重量) 沉体 当 C1.7浮力与稳定性 C1.7.1阿基米德浮力定律 • 第一浮力定律：沉体受到的浮力 等于排开的液体重量。 设沉体体积为τ

29. C1.7.1 阿基米德浮力定律 (物体重量) 潜体 当 (物体重量) 浮体 当 设浮体浸没部分体积为 • 第二浮力定律：浮体排开液体重量等于自身重量。 • 浮心：浸没部分液体的形心C • 浮轴：通过浮心的垂直轴

30. [例C1.7.1] 液体比重计 液体比重计如图，比重计插入蒸馏水(4℃)中，液面基准线(SG=1),排水体积为τ0 。 被测液体液面线将在基准线以下Δh位置处 SG为被测液体的比重，k为常数。当SG＞1时刻度线在基准线的下方，当SG＜1时刻度线在基准线的上方。

31. C1.7 浮力与稳定性 (3) G 在C上方：取决于稳心 高度 C1.7.2潜体与浮体的稳定性 潜体举例：水下舰艇、水雷、气艇、气球等。 浮体举例：水面舰船、船坞、浮吊、浮标等。 • 平衡条件：(1) 浮力＝重力； (2) 浮轴＝重力线 1、潜体(浮心不变)的稳定性 (1) G(重心)在C(浮心)下方：稳定平衡 (2) G 在C上方：不稳定平衡 (3) G 与C重合：随遇平衡 2、浮体(浮心改变)的稳定性 (1) G 与C重合：随遇平衡 (2) G 在C下方：稳定平衡

32. C1 流体的平衡 C1.8大气中的压强分布 p0 =101.3kPa (ab) T0= 228.15 K ρ0=1.225kg/m3 Μ0=1.789×10-5Pa·s 0～11km为对流层 欧拉平衡方程适用于可压缩流体（正压流体），但需补充ρ与p的关系式。 设大气满足状态方程 按国际标准大气模型规定(海平面上 z＝0)： 11～20km为同温层 T=T2≡216.5K

33. C1.8 大气中的压强 由欧拉平衡方程得 1、在对流层(0～11km) 2、在同温层(11～20km) 式中p1，z1为对流层与同温层交界面参数，T 2为同温层内温度。

34. [例C1.8.1] 大气压强与密度变化 已知: 上海市Z0= 0，T0 =288 K（15℃），p0 =101.3 k Pa (ab) ρ0 =1.225 kg/m3，拉萨市Z = 3658 m，T=279K（6℃）。 求: (1)按温度-高度线性关系计算拉萨市平均气压p； (2)按完全气体计算两地大气的密度比ρ/ρ0。 解：(1)由温度-高度关系T = T0-βZ

35. [例C1.8.1] 大气压强与密度变化 对流层压强与高度关系 说明拉萨的大气压强约为上海的64.3%。 (2) 按完全气体状态方程 说明拉萨的大气压强约为上海的66%。