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精彩的三角板 回民中学付灵强

B D F A C E 你可以说出这副三角板所反映的直角三角形性质吗？畅所欲言

A A D D F B B E C C 图2 图1 1.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合图1.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转. （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图2），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；牛刀小试

A D F B E C 图2 解：（1）BE=CF 证明：在△ABE和△ACF中， ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠CAF. ∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF(ASA） ∴BE=CF. 牛刀小试

F A D E C B 图3 （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图3），你在（1）中得到的结论（BE=CF）还成立吗？简要说明理由. 解：（2）BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE和△ACF全等，BE和CF是它们的对应边.所以BE=CF仍然成立. 牛刀小试

2.如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按逆时针方向旋转．2.如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按逆时针方向旋转．（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想； D C O A B 图2 F D( F ) C N O G M A( G ) B( E ) 图1 E

F N D C G M O E A B 图2 解：（1）BM=FN．证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴ ∠ABD =∠F =45° OB = OF．又∵∠BOM=∠FON， ∴△OBM≌△OFN． ∴ BM=FN．

N D C F O E A M B G 图3 （2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想(BM=FN)还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由

N D C F O E A M B G 图3 （2）BM=FN仍然成立．证明： ∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN． ∴ BM=FN．

图1 细心试一试你仍然可以将两块全等的含30°角的三角尺按如图1摆放在一起，设较短直角边为1． (1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．

答： __________________ ___________________ ____．图1 图2

A B C D

A D M E B N C 图1 F 我们一起来.如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。 (1)在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。 ①证明DM＝DN；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； A D M E B N C 图1 F

A D N B C M E F 图2 (2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

F A E D M B C N 图3 (3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。答： DM＝DN仍然成立

G F A B C 图1 开动脑筋就会成功在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；解；（1）BF=CG；证明：在△ABF和 △ACG中， ∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC， AB=AC， ∴△ABF≌△ACG（AAS） ∴BF=CG．

F （2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； G A ＨＥ B C Ｄ图２

F G A ＨＥ B C Ｄ图２（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图２）． ∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG， ∴四边形EDHG为矩形， ∴DE=HG，DH∥BG． ∴∠GBC=∠HDC． ∵AB=AC， ∴∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∵∠F=∠DHC=90°， CD=DC， ∴△FDC≌△HCD（AAS）， ∴DF=CH． ∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．

F （3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由） G A ＥＨ B C Ｄ图3

F F （4）当三角尺在（3）的基础上沿射线AC方向继续平移到图4所示的位置（点F在线段AC的延长线上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）Ｅ G A B C Ｄ图4

F F F F Ｅ G A H B C Ｄ图4 Ｅ G A B C Ｄ H 图4

中考赏析 F F C E C 45° C E (N) C F F E N M M N M 60° E A A G H B D D B A B A G G D D H B H 图④ 图③ 图① 图② 第24题图第24题图（07武汉本题10分）已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。

中考赏析 河北省05年 23题、（本小题满分8分）如图14―1，14―2，四边表ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。 ⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时： ①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是； ②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是； ③请证明你的上述两猜想。 ⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。

课后絮语 三角板是我们数学课经常用的作图工具，如果我们将三角板进行简单的组合或者进行旋转、平移变换，这时最简单、最基本的几何问题会变得精彩起来！尤其是我们河北省从2004年起每年都有一个有关三角板的考题，只要我们能抛开三角板的物理性质，抓住其几何性质，相信每一名同学会揭开其神秘的面纱，考出理想的成绩！祝同学们学业有成

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