KFY/PMFCH

1. Lekce 11Metoda Monte Carlo IIMetropolisův algoritmus Osnova 1. Řešený problém 2. Základní pojmy 3. Markovovy řetězce 4. Konstrukce matice přechodu 5. Metropolisův algoritmus pro kanonický soubor KFY/PMFCH Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II

2. Řešený problém Výpočet konfigurační části integrálů, kterými statistická termodynamika definuje vztah mezi mikroskopickými a makroskopickými parametry pomocí vhodně generovaných posloupností konfigurací Nedořešená otázka z předchozí lekce Jak generovat konfigurace ? Ukážeme v této lekci, nejdříve ale ještě jeden krátký výlet do teorie pravděpodobnosti. KFY/PMFCH Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II

3. Základní pojmy Pro jednoduchost předpokládáme, že konfigurační prostor studovaného systému je konečný,S = {s1,…,sN}. Mikrostav element konfiguračního prostoru, konfigurace (si). Makrostav normované rozdělení (distribuce) pravděpodobnosti nalezení systému v jednotlivých mikrostavech Vlastnosti : Pravděpodobnostní distribuce statistické termodynamiky jsou jednoznačně určeny vybranými makroskopickými parametry definujícími makrostav systému, můžeme je proto s makrostavem ztotožnit. KFY/PMFCH Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II

4. Základní pojmy Matice přechodu (stochastická matice) matice , jejíž element pijudává pravděpodobnost přechodu systému z mikrostavu si do mikrostavu sj. Implicitní předpokladSystém nemá paměť, pravděpodobnost přechodu závisí jen na aktuálním mikrostavu, ne na mikro-stavech, v nichž se systém nacházel dříve. Vlastnosti matice přechodu Změna makrostavu KFY/PMFCH Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II

5. Základní pojmy Postulát ergodicity Pravděpodobnost dosažení mikrostavu sj z mikrostavu si je pro každou dvojici (i, j) nenulová v konečném počtu kroků. Přesněji Rovnovážná distribuce Platí kde  je libovolná distribuce. KFY/PMFCH Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II

6. Markovovy řetězce Náhodné posloupnosti mikrostavů {s(1),s(2),…,s(n)} vygenerované pomocí jisté matice přechodu . Pravděpodobnost přechodu s(i ) s(i +1) závisí jen na s(i), ne na stavech předcházejících(s(i -1),…, s(i +1))! Věta Pro n + jsou mikrostavy s(i) rozloženy ve stavovém (konfiguračním) prostoru Ss relativními četnostmi odpovídajícími rovnovážné distribuci 0 matice přechodu , tj. Jak tedy generovat konfigurace během MC výpočtu? Jako Markovovy řetězce pomocí jakékoli matice přechodu, jejíž rovnovážnou distri-bucí je distribuce odpovídající danému statisticko-termodynamickému souboru. KFY/PMFCH Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

7. Konstrukce matice přechodu Problém při použití Markovových řetězců v MC výpočtech: Neznáme matici přechodu, jen její rovnovážnou distribuci. Je možno matici přechodu pro danou rovnovážnou distribuci zkonstruovat? Ano, a to dokonce více způsoby. Matematicky to znamená řešit soustavu rovnic Obvykle se používá silnější verze - princip detailní rovnováhy KFY/PMFCH Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

8. Konstrukce matice přechodu Metropolisovo řešení a) pij =ij ij, b) ij … matice pravděpodobnosti návrhu nového mikrostavu, c) ij… matice pravděpodobnosti přijetí nového mikrostavu, d) Obvykle volíme ij = ji, pak platí KFY/PMFCH Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

9. Metropolisův algoritmus pro kanonický soubor Postup při generování konfigurace z konfigurace předcházející, • konfiguraci změníme přičtením náhodných posunutí • kde volíme náhodně z nějaké izotropní distribuce kolem počátku souřadnic (např. náhodné izotropní posunutí uvnitř koule o daném poloměru), • b) určíme a (W (i) známe z předcházejícího kroku), • je-li W  0, položíme • je-li W> 0, položíme s pravděpodobností a • s pravděpodobností KFY/PMFCH Lekce 10 – Metoda Monte Carlo I

10. Doporučená literatura I. NEZBEDA, J. KOLAFA, M. KOTRLAÚvod do počítačových simulací, kap. 4Karolinum, Praha 2003 D. P. LANDAU, K. BINDERA Guide to MC Simulations in Statistical PhysicsCambridge University Press, Cambridge 2005 M. M. WOOLFSON, G. J. PERTAn Introduction to Computer Simulation, kap. 4Oxford University Press, New York 1999 KFY/PMFCH Lekce 11 – Metoda Monte Carlo II