Стереометрия

1. Стереометрия Введение (шесть уроков) по учебнику для 10-11 классов средней школы Авторы Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др.

2. Поурочное планирование • Предмет и аксиомы стереометрии. • Следствия из аксиом. • Решение задач на построение. • Решение задач на построение • Решение задач на построение. • Практическая работа.

3. Предмет и аксиомы стереометрии. СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» - объёмный, пространственный и «метрео» - измерять. Первый дошедший до нас учебник – руководство по математике под названием «Начала», созданное древнегреческим ученым Евклидом в III в. до н. э. В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге.

4. Точка есть то, что не имеет частей. Прямая есть длина без ширины. Плоскость есть то, что имеет только длину и ширину. Точка Прямая Поверхность Принадлежность Между Конгруэнтность Неопределяемые понятия иотношения Формулировки Евклида: Современная концепция:

5. Простейшие геометрические тела. Геометрическое тело – это предмет, от которого отняты все его свойства, кроме пространственных.

6. Геометрические фигуры • Геометрические тела, как и другие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. • Изучая свойства геометрических пространственных фигур мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов.

7. Условные изображения пространственных фигур. Условное изображение пространственной фигуры – это её проекция на плоскость. Обычно выбирают то изображение, которое создаёт правильное представление о форме фигуры.

8. Условные обозначения • Точки - прописными латинскими буквами (A, B, C, D, E, F, G, H, ...) • Прямые – строчными латинскими буквами (a, b, c, d, e, f, g, h, ...) • Плоскости – строчными греческими буквами (a, b, g, d, e, z, h, q, i, k, l, m, n, x, o, p, r, s, t, u, f, c, y,w)

9. A a - альфа B b -бета G g -гамма d - дельта e -эпсилон Z z -дзета H h -каппа Q q -тэта N n -ню X x -кси O o -омикрон P p -пи R r - ро S s-сигма T t -тау U u -ипсилон Ff -фи Cc - хи Y y -пси W w - омега Греческий алфавит I i –йота K k – каппа M m –мю L l -лямбда

10. Точка А принадлежит плоскости a Точка В не принадлежит плоскостиa Прямая с не лежит в плоскостиa Прямая k лежит в плоскости a Прямая m пересекает плоскость a в точке А Условные изображения и обозначения прямых, точек и плоскостей Плоскости a и b пересекаются по прямой а

11. Что такое аксиома? • АКСИОМА – это высказывание, истинность которого принимается без доказательства (аксиома - греческое слово, означающее «бесспорное положение»). • Аксиомы были сформулированы Евклидом ( III в. До н. э.) в его знаменитом сочинении «Начала».

12. Вспомним известные вам аксиом планиметрии: Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Если две фигуры совмещаются наложением, то говорят, что они равны.

13. А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна. ВОПРОСЫ: -всегда ли три точки лежат в одной плоскости? -всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости? -всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна? -сколько плоскостей можно провести через две точки?

14. А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. ВОПРОСЫ: верно ли утверждение: -если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? -если три точки окружности лежат в в этой плоскости? -если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника?

15. А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей ВОПРОСЫ: могут ли две плоскости иметь: -только одну общую точку? -только две общие точки? -только одну общую прямую? -могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?

16. Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 ВОПРОСЫ: а) назовите точки, которые лежат в плоскости DCC1, ABC, ADD1; б) назовите плоскости, которым принадлежат точки М, К, P1, R, S, N; в) назовите плоскости , в которых расположены прямые KP, С1D1, RP, MK; г) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DD1C1, BB1C1 и AA1B1, AA1D1 и A1B1C1;

17. Рассмотрим куб ABCDА1B1C1D1 ВОПРОСЫ: д) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и KPN, RPK и DСС1, BDC1 ; е) назовите точки пересечения прямых DS и CC1, AD и PC, MR и AD, KP и AD, DC1 и RP1; ж) назовите общие точки плоскостей CDD1 и BCC1, ABC и АА1D1, BDC иABB1.BDС1 и RSP;

18. Проверим выполнение задания. а) RDCC1, P  DCC1, S DCC1, КABC, K1ABC, P  ABC, P1 ABC, M  ADD1, R ADD1, K ADD1, P1  ADD1; б) M ABB1, M  ADD1, K1 ABC, K ABB1, P1ABC, P1 DCC1, R  ADD1, R DCC1, S  DCC1, N  A1B1C1, N  BCC1; в) KP  ABC, C1D1CDD1, C1D1A1B1C1, RP  CDD1, MK  AA1B1; г) ABC ∩ DD1C1=DC, BB1C1 ∩ AA1B1=BB1, AA1D1 ∩ A1B1C1=A1D1; д) ABC ∩ KPN = KP, RPK ∩ DCC1 = RP, BDC1 ∩ RSP = DC1; е) DS ∩ CC1=C1, AD ∩ PC=D, MR ∩ AD=P1, KP ∩ AD=K1, DC1∩ RP1=; ж) C,C1  (CDD1∩BCC1), A1,D1,K1, P1  (ABC∩AA1D1), A,K,B (BDC∩ABB1). ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: устно п. 1-2, письменно № 1 (перечертить чертеж и ответ записать с помощью символики), № 11.