SAYISAL ÇÖZÜMLEME

1. SAYISAL ÇÖZÜMLEME The Solution of Linear Systems(Doğrusal Sistemlerin Çözümü, AX=B ) Hazırlayan 098001116 M.Hanefi CALP

2. Triangular Systems and Back Substitution We will now develop the back-substitution algorithm, which is useful for solving a linear system of equations that has an upper-triangular matrix.

3. a. Upper-Triangular Matrix (Üst Üçgen Matris): An nxn matrix A= [ai,j] is called upper-triangular provided that the elements satisfy ai,j=0 whenever i>j.  If A is an upper-triangular matrix, then AX=B is said to be an upper-triangular system of linear equations.

4. (1)

5. Özetle; Matrisin köşegeni altındaki elemanları sıfıra eşitse, bu matrislere Upper-Triangular Matrix (Üst Üçgen Matris) denir. Örneğin, gibi.

6. Theorem (Back Substitution): Suppose that   AX=B  is an upper-triangular system with the form given above in (1).  If ai,i≠0 for i=1,2,….,n then there exists a unique solution.

7. The back substitution algorithm Back-substitution metoduyla AX=B üst üçgen sistemini çözmek için; tüm köşegen elemanları sıfırdan farklı ise ilk olarak,

8. and then use the rule   for  

9. Or, use the "generalized rule"   for

10. Konuyla Alakalı Alt Program Mathematica Subroutine (Back Substitution).

11. Pedagogical version for "printing all the details."

12. Example Use the back-substitution method to solve the upper-triangular linear system  

13. Solution Use the menu "Input" then submenu "Create Table/Matrix/Palette" to enter matrix A and vector B.

15. Sistemin çözümü; Sonra back-substitution gerçeklerştirelim.

18. Çözümü doğrulayalım.

19. b. Lower-Triangular Matrix (Alt Üçgen Matris): Tanım: An nxn matrix A= [ai,j] is called lower-triangular provided that the elements satisfy ai,j=0 whenever i<j.   If A is an lower-triangular matrix, then AX=B is said to be a lower-triangular system of linear equations.

20. (2)

21. Özetle; Matris köşegeni üstündeki elemanları sıfıra eşitse bunun gibi matrislere Lower-Triangular Matrix (alt üçgen matris) denir. Örneğin, gibi.

22. Theorem (Forward Substitution): Suppose that AX=B is an lower-triangular system with the form given above in (2).   If ai,i≠0 for i=1,2,….,n then there exists a unique solution.

23. The forward substitution algorithm Forward-substitution metoduyla AX=B alt üçgen sistemini çözmek için; tüm köşegen elemanları sıfırdan farklı ise ilk olarak, hesaplarız.

24. and then use the rule  

25. Konuyla Alakalı Alt Program Mathematica Subroutine (Forward Substitution)

26. Example Use the forward-substitution method to solve the lower-triangular linear system  

27. Solution Use the menu "Input" then submenu "Create Table/Matrix/Palette" to enter matrix A and vector B.

29. Sistemin çözümü; Sonra forward-substitution gerçekleştirelim.

30. Çözümü doğrulayalım; Does AX=B?

31. 2.  Gauss-Jordan Elimination and Pivoting Theorem (Unique Solutions): Assume that A is an nxn matrix.The following statements are equivalent.

33. Not: Bu yöntem, Gauss Eliminasyon Yöntemiyle aynı esasa dayanmaktadır. Ancak Gauss Eliminasyon yönteminde katsayılar matrisi üst üçgen matris haline getiriliyordu. Bu yöntemde ise katsayılar matrisi birim matris haline getirerek çözüme gidiyoruz. Birim matris ise, köşegen üzerindeki elemanları 1 olan matrise denir.

34. Konuyla Alakalı Alt Programlar Mathematica Subroutine (Limited Gauss-Jordan Elimination)

35. Mathematica Subroutine (Complete Gauss-Jordan Elimination)

36. Mathematica Subroutine (Concise Gauss-Jordan Elimination)

37. Example Use the Gauss-Jordan elimination method to solve the linear system

38. Solution Use the menu "Input" then submenu "Create Table/Matrix/Palette" to enter matrices A and M and vector B.

40. Sistemin çözümü; .   İlk olarak arttırılmış matris;

41. Sonra Gauss-Jordan elimination gerçekleştirelim.

42. Çözümü doğrulayalım.

44. Pivoting (Yok etme) Gauss eliminasyonun uygulanması esnasında köşegen üzerinde sıfır değerli eleman bulunması problem olacaktır. Bu durumda sıfıra bölme söz konusu olacağından sonuca gidilemeyecektir. Bu problemi önlemek için pivot elemanın en büyük olacak şekilde eşitlikler arasında değişikliğe gidilir. Hem köşegen üzerindeki sıfır elemanlar varsa o giderilir hem de yuvarlatma hataları sıfıra/aza indirilmiş olur.

45. Sadece pivot elemanın büyük yapılması durumuna veya sadece satırların(veya sütunların) yer değiştirmesi durumuna kısmi pivotlama, bütün satırlar dikkate alınarak büyük elemanlar seçilmesi durumuna veya hem satırların hem de sütunların kendi aralarında yer değiştirmeleri durumuna ise tam pivotlama denir. Ancak, çoğunlukla kısmi pivotlama kullanılır.

46. Example: Aşağıda verilen denklem sistemini Gauss eleminasyon yöntemi ile çözünüz?

47. Solution: Denklem sistemi dizey notasyonunda yazılırsa,

48. Adım 1: Dizeyin ve karşılık gelen vektörün birinci satırı a1,1’ e bölünür.

49. Adım 2: İkinci satırın birinci elemanı, a2,1 dizeyin ve karşılık gelen vektörün birinci satır ile çarpılarak ikinci satırdan çıkartılır.

50. Adım 3: Üçüncü satırın birinci elemanı, a3,1 birinci satır ve karşılık gelen vektörün birinci satırı ile çarpılarak üçüncü satırdan çıkartılır.