MACCHINE DI TURING

1. MACCHINE DI TURING Le macchine di Turing sono dispositivi astratti per la manipolazione di simboli, ideati nel 1936 dal matematico e logico britannico Alan Mathison Turing. La loro descrizione si trova nel libro On the computable numbers with an application to the Entscheidungsproblem del 1937, che ha costituito il modello teorico del funzionamento di tutti i computer successivi. Sebbene il termine “macchine” faccia pensare a qualcosa di concreto, e lo stesso Turing abbia poi messo in pratica le sue teorie progettando - insieme a John von Neumann - il primo dispositivo elettronico di calcolo, si deve tenere presente che le macchine di Turing sono essenzialmente uno strumento concettuale per indagare i limiti della computazione meccanica. Lo studio delle loro proprietà astratte getta luce sui fondamenti dell’informatica e sulla teoria della complessità.

2. Una macchina di Turing in grado di simulare tutte le altre è detta “macchina di Turing universale”, o semplicemente “macchina”. Una definizione di tipo più matematico, dotata anch’essa di una natura “universale”, è stata introdotta dal matematico e logico americano Alonzo Church, il cui lavoro sul lambda calculus si intrecciò con quello di Turing, dando luogo a una teoria formale della computazione nota come tesi Church-Turing. Tale tesi stabilisce che le macchine di Turing catturano effettivamente la nozione informale di metodo efficace in logica e matematica, e forniscono una definizione rigorosa di “algoritmo” o “procedura meccanica”. La macchina di Turing è simile a una persona che esegua una procedura ben definita, cambiando il contenuto di un nastro di carta illimitato, suddiviso in quadrati che possono contenere un simbolo appartenente a un insieme finito.

3. La persona deve ricordare uno “stato” appartenente anch’esso a un insieme finito, e la procedura consiste in istruzioni di questo tipo: “Se il tuo stato è 18 e il simbolo che vedi è 0, sostituisci il simbolo con 1, cambia lo stato in 4 ed esamina il simbolo a destra”. • Quindi, una macchina di Turing consiste in: • un insieme finito di simboli detto alfabeto; • un nastro potenzialmente infinito nei due sensi e suddiviso in celle discrete, ciascuna delle quali può contenere un simbolo dell’alfabeto; • una testina mobile di lettura/scrittura; • una memoria capace di assumere un numero finito di stati diversi, ciascuno dei quali corrisponde a una diversa configurazione della macchina e determina l’esecuzione di attività diverse.

4. La macchina di Turing può compiere le seguenti operazioni elementari: • scrivere o leggere un simbolo in una cella; • variare il suo stato di memoria; • spostare la testina a destra o a sinistra di una cella. Attraverso queste operazioni la macchina può eseguire qualsiasi operazione di tipo computistico di cui sia capace l’uomo. L’attività di una macchina di Turing consiste interamente in passi discreti e istantanei, ciascuno dei quali è determinato dalla sua condizione iniziale; questa è costituita a sua volta dallo stato della macchina e dal simbolo che in quell’istante occupa la cella del nastro esaminata. • Data una certa condizione iniziale, la macchina riceve una istruzione per il passo successivo, in cui sono indicati: • il simbolo che la macchina deve lasciare nella cella esaminata; • lo stato successivo della macchina; • se la testina deve esaminare la cella a sinistra (S) o a destra (D) di quella appena esaminata.

5. Ad es., un’istruzione del tipo (1, II, D) indica alla macchina di scrivere il simbolo 1 nell’attuale posizione della testina, di assumere lo stato II e di spostare la testina nella cella adiacente a destra. Perciò le varie istruzioni che la macchina deve eseguire potrebbero venire scritte in una tabella del tipo

6. È tuttavia più comodo descrivere una macchina di Turing tramite una tabella a doppia entrata, come quella seguente, nella quale l’istruzione da eseguire si può leggere semplicemente identificando la condizione attuale della macchina, cioè la riga del suo stato e la colonna del simbolo letto sul nastro.

7. Macchina sommatrice Come esempio di macchina di Turing effettiva, consideriamone una che sommi i numeri 2 e 3 e si fermi. Supponiamo, per semplicità, che ciascun numero sia rappresentato in notazione monadica o unaria, cioè come una “parola” costituita da una successione di 1, delimitata a ciascuna estremità da uno 0. Pertanto, dalla situazione iniziale del nastro nella quale sono indicati i due addendi dovremo giungere a una finale che presenti una successione di cinque 1:

8. Ciò si otterrà cancellando lo 0 che separa le due parole nella situazione iniziale, e facendo scorrere di una cella verso destra la parola di sinistra, in modo che si unisca a quella di destra. La macchina non può spostare una parola di 1 tutta in una volta, dato che la testina si può spostare di un passo alla volta; perciò dovrà eseguire delle istruzioni simili a quelle indicate in tabella. Vediamone il funzionamento, supponendo che la macchina si trovi inizialmente nello stato I con la testina sulla prima cella:

9. Verranno eseguite nell’ordine le seguenti istruzioni: 1a istruzione (0, I, D) Commento: L’istruzione lascia inalterato lo 0, lo stato I della macchina e sposta la testina a destra; viene ripetuta finché si incontra il primo 1. 2a istruzione (0, II, D) Commento: Il primo 1 viene trasformato in 0, la macchina viene posta nello stato II e la testina si sposta a destra.

10. 3a istruzione (1, II, D) Commento: Il secondo 1 rimane inalterato, la macchina rimane nello stato II e la testina si sposta a destra 4a istruzione (1, III, D) Commento: Lo 0 successivo diventa 1, la macchina passa nello stato III e la testina si sposta a destra 5a istruzione Stop Commento: La computazione ha termine

11. Naturalmente la macchina di Turing di questo esempio permette di sommare due numeri qualsiasi, dato che la 3a istruzione viene ripetuta fino a che non si trova la fine della prima parola, cioè lo 0 che separa i due addendi.

12. Macchina copiatrice Sviluppiamo ora una macchina di Turing che permetta di copiare una parola di 1 immediatamente a destra dello 0 che ne delimita il termine. Essa richiederà più istruzioni della macchina sommatrice, e potrà essere usata a sua volta come parte di una macchina più complessa che fornisca il prodotto di due numeri. Non risulta conveniente risolvere il problema con una macchina che conti gli 1 della parola da copiare, dato che essa dovrebbe possedere tanti stati quanti sono gli 1, e ciò farebbe crescere indefinitamente il numero degli stati. Seguiremo invece una tecnica diversa, che illustriamo nel caso in cui la parola da copiare sia 1 1, cioè costituita da due 1.

13. Ciò significa che dalla dovremo giungere alla La tecnica consiste nell’esaminare il nastro finché si trova il primo 1 della parola da copiare, e quindi nel ripetere i tre passi seguenti tante volte quanti sono gli 1 della parola: • si cancella momentaneamente il primo 1; • si muove la testina fino allo 0 che delimita la parola e si trasforma in 1 il primo 0 alla sua destra; • si riporta indietro la testina, riscrivendo l’1 nella cella in cui era stato cancellato.

14. I tre passi precedenti sono realizzati dai blocchi di istruzioni indicate in figura, insieme alla situazione del nastro che esse determinano. A questo punto è stato copiato il primo 1 della parola e il procedimento continua ripetendo i passi precedenti: a’) si cancella momentaneamente il secondo 1; b’) si muove la testina fino allo 0 che delimita la parola e si trasforma in 1 il primo 0 alla sua destra; c’) si riporta indietro la testina, riscrivendo l’1 nella cella in cui era stato cancellato.

15. I tre passi precedenti sono realizzati dai blocchi di istruzioni indicate in figura, insieme alla situazione del nastro che esse determinano. L’elaborazione termina con le istruzioni (1, VIII, S) Stop che riportano la testina alla posizione iniziale e arrestano l’elaborazione. Le varie istruzioni che devono essere eseguite dalla macchina si ricavano dalla tabella seguente.

16. Naturalmente anche ora la macchina è in grado di copiare una parola di lunghezza qualsiasi.