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第一章 三角

第一章 三角. 1–1 直角三角形的邊角關係. 目錄. 1–1 直角三角形的邊角關係 甲 ﹑ 直角三角形的邊角關係 乙 ﹑ 正弦 ﹑ 餘弦的平方關係 ﹑ 商數關係與餘角 關係. 甲 ﹑ 直角三角形的邊角關係. 請看課本 p.6. 設△ ABC 為一直角三角形 , 其中∠ C = 90˚, 如圖所示 , 我們稱　　為△ ABC 的 斜邊 , 為∠ A 的 對邊 , 　　為∠ A 的 鄰邊 . 且對△ ABC 中相異兩邊長的比值而言 , 顯然只有六種情形 , 即 及此三者的倒數. 銳角三角函數. 例 1. 隨堂 1. 例 2. 隨堂 2.

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第一章 三角

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Presentation Transcript

  1. 第一章 三角 1–1直角三角形的邊角關係

  2. 目錄 • 1–1直角三角形的邊角關係 • 甲﹑直角三角形的邊角關係 • 乙﹑正弦﹑餘弦的平方關係﹑商數關係與餘角關係

  3. 甲﹑直角三角形的邊角關係 請看課本p.6 • 設△ABC為一直角三角形, 其中∠C = 90˚, 如圖所示, 我們稱　　為△ABC的斜邊, 為∠A的對邊, 　　為∠A的鄰邊. • 且對△ABC中相異兩邊長的比值而言, 顯然只有六種情形, 即 • 及此三者的倒數. 銳角三角函數 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 下一主題

  4. 解說影片 按此觀看影片 Geogebra 檔案 按此觀看影片 銳角三角函數 銳角三角函數 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 下一主題

  5. 請看課本p.6 • 又設△DEF為另一個直角三角形, 其中∠F = 90˚, 且∠D =∠A, 則 △DEF～△ABC（AA相似性質）. • 根據相似三角形對應邊成比例的性質： • 可得 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 下一主題

  6. 請看課本p.6 • 由此可知, 在任一直角三角形中, 只要某一銳角的角度固定, 則不論此三角形的邊長大小如何, 其相異兩邊長的比值是不會改變的. • 因此我們可將直角三角形中邊與角的關係定義如下： 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 下一主題

  7. 請看課本p.6 銳角的正弦﹑餘弦﹑正切： 設△ABC為直角三角形, 其中∠C=90˚,  ∠A的正弦sin A  ∠A的餘弦cos A  ∠A的正切tan A 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 下一主題

  8. 請看課本p.7 • 註：(1)銳角的正弦﹑餘弦﹑正切為直角三角形中兩邊長的比值, 故其值皆為無單位之正數. • (2)直角三角形中, 兩邊長的比共有六種, 除了上述三種外, 另外三種分別為它們的倒數, 稱為 •  ∠A的餘切 •  ∠A的正割 •  ∠A的餘割 • 此三種, 本冊中我們不予討論,留待數學甲Ⅰ與數學乙Ⅰ中再討論. 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 下一主題

  9. 例題1 請看課本p.7 設△ABC為直角三角形, 其中∠C=90˚, 若　　　 , , 試求∠A的正弦﹑餘弦與正切的值. • 解： • 依題意作直角△ABC, 如上圖, 由畢氏定理知 • 根據正弦﹑餘弦與正切的定義, 可得 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  10. 例題1 請看課本p.7 設△ABC為直角三角形, 其中∠C=90˚, 若　　　 , , 試求∠A的正弦﹑餘弦與正切的值. • 解： 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  11. 隨堂練習1 請看課本p.7 設△ABC為直角三角形, 其中∠C=90˚（如右圖）, 若 試求∠B的正弦﹑餘弦與正切的值. • 解： • 由畢氏定理知 • 根據正弦﹑餘弦與正切的定義, 可得 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  12. 例題2 請看課本p.8 右圖中的小方格都是邊長為1的小正方形, 若∠CAB=α , 試求sin α, cos α, tan α的值. • 解： • 考慮以α為一角的直角△ABC, • 由畢氏定理知 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  13. 例題2 請看課本p.8 右圖中的小方格都是邊長為1的小正方形, 若∠CAB=α , 試求sin α, cos α, tan α的值. • 解： 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  14. 隨堂練習2 請看課本p.8 承例題2, 若 , 試求： sinβ, cosβ, tanβ的值. sin(∠DAC)的值. • 解： • 考慮以β為一角的直角△ADE , • 由畢氏定理知 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  15. 隨堂練習2 請看課本p.8 承例題2, 若 , 試求： sinβ, cosβ, tanβ的值. sin(∠DAC)的值. • 解： • 考慮直角△ACD, 由例題2知 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  16. 例題3 請看課本p.8 設△ABC為直角三角形, 其中∠A=30°,∠B = 60˚, ∠C = 90˚, 試證：  試求sin30˚, cos30˚, tan30˚的值. 試求sin60˚, cos60˚, tan60˚的值. • 解： • (a)在　　取一點D, 使 • 因 ∠B = 60˚, 所以△BCD為正三角形, • 故 , 且∠BCD = 60˚, • 又 ∠ACD = 90˚−∠BCD = 30˚, 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  17. 例題3 請看課本p.8 設△ABC為直角三角形, 其中∠A=30°,∠B = 60˚, ∠C = 90˚, 試證： • 解： • (a)且∠A = 30˚, • 所以 △ACD 為等腰三角形, 故 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  18. 例題3 請看課本p.9 設△ABC為直角三角形, 其中∠A=30°,∠B = 60˚, ∠C = 90˚, 試證： • 解： • (b) 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  19. 例題3 請看課本p.9 試求sin30˚, cos30˚, tan30˚的值. • 解： •  由知不論直角△ABC的邊長大小如何, • 所以 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  20. 例題3 請看課本p.9 試求sin30˚, cos30˚, tan30˚的值. • 解： •  例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  21. 例題3 請看課本p.9 試求sin60˚, cos60˚, tan60˚的值. • 解： •  同理 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  22. 隨堂練習3 請看課本p.9 設△ABC為等腰直角三角形, 其中∠A =∠B = 45˚, ∠C = 90˚, 試證：  試求sin45˚, cos45˚, tan45˚的值. • 解： •  因為△ABC為等腰直角三角形, • 由畢氏定理可得 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  23. 隨堂練習3 請看課本p.9 試求sin45˚, cos45˚, tan45˚的值. • 解： •  由知不論直角△ABC的邊長大小如何, • 所以 例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  24. 隨堂練習3 請看課本p.9 試求sin45˚, cos45˚, tan45˚的值. • 解： •  例1 隨堂1 例2 隨堂2 例3 隨堂3 返回 下一主題

  25. 請看課本p.10 • 例題 3 及其隨堂練習中, 30˚, 45˚, 60˚角為一般常見的特別角,我們將其正弦﹑餘弦﹑正切值, 整理如下表所示： 前一主題 例題4 隨堂練習4 下一主題

  26. 例題4 請看課本p.10 設△ABC為等腰三角形, 若 試求sin A的值. • 解： • 因為△ABC為等腰三角形, 且 • 所以得 前一主題 例題4 隨堂練習4 返回 返回 下一主題

  27. 例題4 請看課本p.10 設△ABC為等腰三角形, 若 試求sin A的值. • 解： • 又由畢氏定理知 • 所以由正弦的定義可得 前一主題 例題4 隨堂練習4 返回 返回 下一主題

  28. 隨堂練習4 請看課本p.10 設△ABC為邊長6的正三角形, 試求sinA的值. • 解： • 因為△ABC為邊長6的正三角形, 所以得 • 又由畢氏定理知 • 所以由定義可得 前一主題 例題4 隨堂練習4 返回 返回 下一主題

  29. 乙﹑正弦﹑餘弦的平方關係﹑商數關係與餘角關係乙﹑正弦﹑餘弦的平方關係﹑商數關係與餘角關係 請看課本p.10 • 由正弦﹑餘弦的定義, 我們也可以推得正弦﹑餘弦的三個基本關係：平方關係﹑商數關係與餘角關係, • 一﹑正弦﹑餘弦的平方關係與商數關係. • 一般我們將(sin θ)n寫成sinn θ, 例如：(sin θ)2= sin2 θ. • 底下我們證明正弦﹑餘弦的平方關係與商數關係. 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 下一主題

  30. 請看課本p.11 設θ為銳角, 正弦﹑餘弦的平方關係： 正弦﹑餘弦的商數關係： • 證： • 作一直角三角形ABC, 使θ為其一銳角,如右圖, • 令 • 因為 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 下一主題

  31. 請看課本p.11 設θ為銳角, 正弦﹑餘弦的平方關係： 正弦﹑餘弦的商數關係： • 證：所以 •  前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 下一主題

  32. 請看課本p.11 • 利用正弦﹑餘弦的平方關係與商數關係, 可求與正弦﹑餘弦有關的值, 或化簡其相關的式子. 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 下一主題

  33. 1 1 例題5 請看課本p.11 試化簡(sin40°+cos40°)2+(sin40°−cos40°)2. • 解： • (sin40°+cos40°)2+(sin40°−cos40°)2 • = sin240°+2 sin40°cos40°+cos240°+sin240° −2 sin40°cos40°+ cos240° • = sin240°+ cos240°+sin240°+ cos240° • = • =2. + 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 返回 下一主題

  34. 隨堂練習5 請看課本p.11 試求sin230°+ sin245°+ sin260°+ cos230°+ cos245°+ cos260°的值. • 解： • = 1 + 1 + 1 • = 3. 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 返回 下一主題

  35. 例題6 請看課本p.12 設θ為銳角, 已知cosθ=, 試求sinθ與tanθ的值. • 解： • 方法一（根據正弦﹑餘弦的平方關係及商數關係） • 由 sin2θ+ cos2θ= 1, 得 • 整理得 sin2θ= • 即 sinθ = 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 返回 下一主題

  36. 例題6 請看課本p.12 設θ為銳角, 已知cosθ=, 試求sinθ與tanθ的值. • 解： • 所以sinθ= • tanθ= 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 返回 下一主題

  37. 例題6 請看課本p.12 設θ為銳角, 已知cosθ=, 試求sinθ與tanθ的值. • 解： • 方法二（根據定義作直角三角形） • 作一直角△ABC, 使 • 由畢氏定理知 • 根據正弦﹑正切的定義可得 • sin θ= 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 返回 下一主題

  38. 隨堂練習6 請看課本p.12 設θ為銳角, 已知　　 , 試求cosθ與tanθ的值. • 解： • 方法一（根據正弦﹑餘弦的平方關係與商數關係） • 由sin2θ + cos2θ = 1, 得 • 整理得 • 所以 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 返回 下一主題

  39. 隨堂練習6 請看課本p.12 設θ為銳角, 已知　　 , 試求cosθ與tanθ的值. • 解： 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 返回 下一主題

  40. 隨堂練習6 請看課本p.12 設θ為銳角, 已知　　 , 試求cosθ與tanθ的值. • 解： • 方法二（根據定義作直角三角形） • 作一直角△ABC, 使 • 由畢氏定理知 • 根據餘弦﹑正切的定義可得 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 返回 下一主題

  41. 例題7 請看課本p.12 設θ為銳角, 若sinθ+cosθ=, 試求sinθ與cosθ的值. • 解： • 已知sinθ+cosθ= • 移項得sinθ= • 兩邊平方得 • 由平方關係知 sin2θ= 1− cos2θ, 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 返回 下一主題

  42. 例題7 請看課本p.12 設θ為銳角, 若sinθ+cosθ=, 試求sinθ與cosθ的值. • 解： • 所以 • 化簡得 25 cos2θ−35 cosθ+ 12 = 0, • 因式分解得 (5 cosθ− 3)(5cosθ− 4) = 0, • 所以cosθ = 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 返回 下一主題

  43. 若令x=sinθ, y=cosθ,則我們可看成兩個未知數x與y的求解問題. 因此需要兩個方程式.由已知條件與平方關係得方程組 解方程組即可求得sinθ與cosθ的值. 例題7 請看課本p.12 設θ為銳角, 若sinθ+cosθ=, 試求sinθ與cosθ的值. • 解： • (a) 當cosθ= • (b) 當cosθ= • 綜合(a)(b)得 • 或  前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 返回 下一主題

  44. 隨堂練習 7 請看課本p.13 設θ為銳角, 若sinθ–cosθ=, 試求sinθ與cosθ的值. • 解： • 已知 • 移項得 • 兩邊平方得 • 即 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 返回 下一主題

  45. 隨堂練習 7 請看課本p.13 設θ為銳角, 若sinθ–cosθ=, 試求sinθ與cosθ的值. • 解： • 整理得 • 因式分解得(13cosθ – 5)(13cosθ + 12) = 0, • 解得 前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 返回 下一主題

  46. 有時為了解題方便，可x = sinθ ,y = cosθ , 則此題求解即相當於解聯立方程式 隨堂練習 7 請看課本p.13 設θ為銳角, 若sinθ–cosθ=, 試求sinθ與cosθ的值. • 解： • 所以 • 即  前一主題 例5 隨堂5 例6 隨堂6 例7 隨堂7 返回 下一主題

  47. 請看課本p.13 • 二﹑正弦﹑餘弦的餘角關係 • △ABC中, ∠C = 90˚, 如圖所示, • 由於 ∠A +∠B = 90° （∠A ,∠B互為餘角）, • 即∠B = 90°–∠A, • 所以 sin (90°−∠A ) = sinB = • cos (90˚ −∠A ) = cosB = 前一主題 例題8 隨堂練習8 下一主題

  48. 設θ為銳角, 正弦﹑餘弦的餘角關係： sin (90˚ −θ) = cosθ, cos (90˚ −θ) = sinθ. 請看課本p.13 • 此餘角關係, 我們整理如下： 前一主題 例題8 隨堂練習8 下一主題

  49. 例題8 請看課本p.13 試求 sin2 37˚ + sin2 53˚ 的值. • 解： • 由餘角關係知 • sin 53˚ = sin (90˚−37˚) = cos 37˚, • 所以 • sin2 37˚ + sin2 53˚ = sin2 37˚ + cos2 37˚ = 1. 前一主題 例題8 隨堂練習8 返回 下一主題

  50. 隨堂練習 8 請看課本p.13 試求下列各式的值： cos2180° + cos210°. (sin40° + sin50°)2 + (cos50° – cos40°)2. • 解： • 由餘角關係知 • cos80° = cos(90° – 10°) = sin10°, • 所以cos280° + cos210° = sin210° + cos210° = 1. 前一主題 例題8 隨堂練習8 返回 下一主題

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