Conceptos básicos de teoría de campos y ecuaciones en derivadas parciales (repaso)

1. Conceptos básicos de teoría de campos y ecuaciones en derivadas parciales(repaso) Jesús Carrera ETSI Caminos UPC Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

2. Contenido • Campos: definiciones y conceptos básicos • Operadores diferenciales: gradiente y tal • Teoremas integrales: Gauss, Stokes, etc • Ecuaciones diferenciales de balance: conceptos y soluciones Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

3. Definiciones: Campo, VER Un campo es una función definida sobre el Espacio Geométrico Ordinario (EGO): d = 1 para campos escalares (ej. temperatura), 3 para campos vectoriales (ej. velocidad), 9 para campos tensoriales (ej. deformación). Para las variables que no tienen sentido físico a nivel puntual, entenderemos como valor puntual el límite para volúmenes decrecientes de nuestra: VER: Volumen elemental representativo, V mínimo para que f adopte valor estable Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

4. Coordenadas cartesianas. x representa un punto del espacio. Pero puede visualizarse como un vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto. Está definido por sus componentes o , que son las del vector de posición: Cambio de coordenadas P es una matriz de rotación Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

5. Tensores Definición Las variables que tienen sentido físico como tales (p. ej., velocidad) son independientes del sistema de coordenadas y sus componentes cambian de manera que no se altera la variable al cambiar el sistema de coordenadas. Este tipo de magnitudes se llaman tensores. Ejercicio Mostrar que si v es un vector físico, sus componentes cambian como: Cambio de coordenadas en matrices Supongase en el sistema y en Sustituyendo Resuta Analogamente Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

6. Valores principales. Círculo de Mohr Direcciones principales Las del sistema de coordenadas que hace que la matriz sea diagonal. Se obtienen anulando K12. Ello conduce a una rotación Valores principales Círculo de Mohr Los valores de la diagonal del tensor en los ejes principales: Método gráfico de cálculo de direcciones y valores principales Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

7. Campo escalar Definición Función escalar definida sobre el EGO: Ejemplos Temperatura, presiones, viscosidad, etc Visualización Depende de la dimensión del EGO. 1-D: f vs x 2 ó 3-D curvas o superficies de igual valor del campo: curvas de nivel, isopiezas, isotermas, isobaras, etc. Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

8. Campo Vectorial Definición Función vectorial definida sobre el EGO: Visualización Casi solo en 2D. • mediante flechas de longitud (grosor, color) proporcional al módulo del vector y orientadas según su dirección • mediante las líneas de corriente, tangentes al campo en cada punto. En fluidos se emplean también las trayectorias y líneas de traza. Ejemplos Campos de flujo, velocidad, fuerza, etc Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

9. Campo Tensorial Definición Función tensorial definida sobre el EGO: Visualización Difícil Mediante elipses orientadas según las direcciones principales y de semiejes iguales a la raíz de los valores principales Ejemplos conductividad hidráulica, dispersión, tensiones o deformaciones Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

10. Gradiente Definición Operador vectorial que actúa sobre un campo escalar (un operador vectorial es aquel cuyo resultado es un campo vectorial) y viene dado por: Propiedades Ejemplo Su dirección es la de máxima pendiente (la de máxima variación del campo), su módulo es la variación de por unidad de longitud. Cumple: Perpendicular a las isolineas de h Orientado en el sentido creciente de las isolineas Tanto mayor cuanto mayor cuanto más juntas estén las isolineas. Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

11. Divergencia x2 2 1 x1 1 2 3 -1 Definición Operador escalar que actúa sobre un campo vectorial, dado por: Ejemplo Propiedades Si f representa un flujo de materia, sus derivadas indican cómo varía el flujo de materia por unidad de longitud en cada dirección coordenada. Por ello, la divergencia es la variación de materia almacenada (o diferencia entre salidas y entradas) por unidad de volumen. Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

12. Rotacional x2 2 1 x1 1 2 3 -1 Definición El rotacional es un operador vectorial definido sobre campos vectoriales. Viene definido por el “producto” vectorial entre el operador nabla y el campo vectorial: Ejemplo Propiedades Indica la tendencia (local) a rotar del campo. Es decir, es un campo igual al aumento lateral del campo original por unidad de longitud. Se orienta, según la regla de la mano derecha. El gradiente de un campo es irrotacional: Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

13. Laplaciano Definición Es un operador escalar definido sobre un campo escalar. Viene dado por la divergencia del gradiente Propiedades Da una idea de la curvatura del campo. También existe el Laplaciano de un campo vectorial, definido como el gradiente de la divergencia. Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

14. Operadores tensoriales: Jacobiano, Hessiano Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

15. Flujo. Teorema de la divergencia Flujo G W f cantidad por unidad de superficie f·n cantidad por unidad de superficie de G Flujo de f a través de G: Cantidad total que pasa (entradas-salidas) n f Teorema de la divergencia Da sentido a la divergencia Se emplea mucho para establecer balances Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

16. Identidades de Green Primera Identidad de Green Es la versión vectorial de la fórmula de integración por partes. Se deduce del teorema de la divergenciatomando. Hay que tener en cuenta, además, que: , con ello resulta: Segunda Identidad de Green Se toma un campo escalar y tal que, entonces la primera identidad quedaría como: Si se intercambian y y el resultado se resta de la anterior, resulta la segunda identidad de Green: Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

17. Circulación. Teoremas de Stokes y de Green Circulación circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva es la integral del mismo sobre dicha curva L G tf Teorema de Green Teorema de Stokes Versión 2-D del Teorema de Stokes Dada una superficie de borde L, la circulación de un campo a lo largo del borde es igual al flujo del rotacional del campo a traves de la superficie Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

18. EDP’s de primer orden: Acumulación EDP El balance de u en un volumen a con un término de acumulación f viene dado por: Integración La integración es trivial por separación Si a y f son constantes queda: Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

19. EDP’s de primer orden: Degradación Vel. degrad. b 1 u EDP La degradación de materia orgánica (u) puede estar limitada por la propia concentración, u, o por la disponibilidad de aceptadores de electrones. En el primer caso, el balance de materia orgánica en un volumen a es (l=b/a): Integración La integración es trivial por separación: Integrando, queda: Imponiendo condiciones iniciales: Si l es constante (1/l es lavida media): Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

20. EDO’s de primer orden lineales Integración Se integra primero la homogénea (f=0), tomando la constante de integración como variable Sustituyendo en la ecuación original y simplificando: Integrando de nuevo: Imponiendo condiciones iniciales para determinar D: donde es la solución estacionaria. u t EDO Si las entradas netas (entradas menos salidas) por unidad de volumen son a y existe degradación con constante l, el balance es: Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

21. El término advectivo. Ecuaciones hiperbólicas Coefs. ctes. vt Si q y a son constantes y hacemos v=q/a, y desarrollamos la derivada, queda: Con Si esta ecuación define la trayectoria ( ) La ecuación queda: Cuya solución es: O Coefs. variables conduce a EDP Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

22. El término difusivo. Ecuaciones parabólicas Ecuación de difusión Adimensionalización Gobierna la difusión de solutos y gases, la conducción de calor, etc: Donde L es una long. característica. Sustituyendo, queda: Esto es importante, porque pone de manifiesto que la solución solo depende de xD y tD. En particular, el estacionario, si lo hay, suele alcanzarse para tiempos del orden de tD=1 (t = aL2/D es el tiempo característico del fenómeno modelado). Ver siguiente transp. Transf de Boltzman Haciendo el cambio: la ecuación queda Es decir, la EDP se transforma en EDO, lo cual es útil para resolverla (es un truco habitual) Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

23. Ec.parabólicas. Cambio instant en contorno Solución Por separación de variables tD=0.3 tD=0.4 tD=0.8 esfera cilindro tD=0.1 placa tD=0.1 tD=0.1 tD=.01 tD=.01 tD=.01 Problema Conducción de calor entre dos placas paralelas separadas una distancia 2L. Inicialmente la concentración es 0 y los extremos se ponen a temp.u0. u/ u0 Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC x/L

24. Ec.parabólicas. Solución para pulso instant. Problema Difusión, en medio infinito de una masa M. Solución Campana de Gauss de área M/a y desviación tipo Para dimensiones n=1, 2 ó 3 La conc. max. Se reduce propordinalmente a Si , Es decir, Empieza a enterarse para tD>0.5 Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

25. Transporte tras acumulación Tras degradación Tras advección Tras dispersión Condición inicial Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

26. Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC