第 2 章 解析函数

1. 第2章 解析函数 By 付小宁

2. §1 解析函数的概念 • 1.1.1复变函数的导数 • 定义1设函数 在包含 的某区域 内有定义，当变量 在点 处取得增量 时，相应地，函数 取得增量 • 若极限 • （或 ） （2.1） • 存在，则称 在点 处可导，

3. 此极限值称为 在点 处的导数，记作 或 ，即 如果函数 在区域 内每一点都可导，则称 在 内可导. • 如果函数 在曲线 L上每一点都可导，则称 在 L上可导.

4. 例1求函数 的导数（ 为正整数）. • 解 因为 所以，由导数定义有

5. 例2 解

7. 1.1.2 可导与连续的关系 • 若函数 在点 处可导，则 在点 处必连续. 当w为常数时,连续函数可导. • 证　因为 • 知 ，故 在点 处连续.

8. 1.1.3 导数运算法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则:

10. 例3求下列函数的导数. • （1） • （2） • 解 （1） （2）

11. 例4设 . • 解 因为 • 所以

12. 1.1.4 复变函数的微分 复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致. 定义2

13. 特别地,

14. 1. 2 解析函数的概念 1.2.1 解析函数的定义

15. 1.2.2奇点的定义 根据定义可知: 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.

16. = = + 2 例5 f ( z ) z , g ( z ) x 2 yi 研究函数 和 2 = h ( z ) z . 的解析性 解 由本节知识可知:

19. 例6 解

20. 例7 解

22. 课堂练习 答案 处处不可导,处处不解析.

23. 定理 以上定理的证明, 可利用求导法则.

24. 根据定理可知: (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.

25. §2函数解析的充要条件 • 2. 1 回顾解析函数 • 2.1.1如果函数 不仅在点 处可导，而且在点 的某邻域内的每一点都可导，则称 在点 处解析，并称点 是函数的解析点；如果函数 在区域 内每一点都解析，则称 在区域 内解析或称 为区域 内的解析函数，区域 称为的 解析区域.

26. 如果 在点 处不解析，但在 的任一邻域内总有 的解析点,则称 为 的奇点. • 问题：有函数在曲线上解析、曲线外不解析？

27. 2.1.2. 解析函数的运算性质： （1）若函数 和 在区域 内解析， 则 、 、 在 内也解析； （2）若函数 在区域 内解析，而 在区域 内解析，且 ，则复合函数 在 内也解析，且. .

28. 2.2 函数解析的充要条件 • 定理一设函数 在区域 内有定义，则 在 内解析的充分必要条件为 在 内任一点 处 • （1）可微； • （2）满足 • 上式称为柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）条件（或方程），简称C—R条件（或方程）.

29. 定理1的证明（必要性）：

30. 定理1的证明（充分性）：

31. 定理二函数 在区域 内解析的充要条件为 • （1） 在 内连续； • （2） 在 内满足C—R条件 ，

32. 例1 讨论下列函数的可导性和解析性：

35. 例2 = + + + + + 2 2 2 2 f ( z ) x axy by i ( cx dxy y ), 设 a , b , c , d , f ( z ) 问常数 取何值时 在复平面内处处 ? 解析 解

36. 例3 证

37. 参照以上例题可进一步证明:

38.  = + ≠ f ( z ) u iv , f ( z ) 0, 例4 设 为一解析函数 且 = = u ( x , y ) c v ( x , y ) c , 那末曲线族 与 必相互正交 1 2 c , c . 其中 为常数 1 2 证 根据隐函数求导法则,

39. 根据柯西－黎曼方程得

40. 一、指数函数 • §2.3 初等函数 1.指数函数的定义:

41. 指数函数的定义等价于关系式:

42. 2. 加法定理 证

43. 例5 解

45. 求出下列复数的辐角主值: 例6 解

48. 例7 解

49. 二、对数函数 1. 定义4

50. 其余各值为 特殊地,