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第 9 章 结构动力计算

第 9 章 结构动力计算. 学习要求. 1 、理解本章的基本概念（自振频率、周期、振型、阻尼、自由振动、强迫振动、共振等）. 2 、掌握单、双自由度体系在自由振动及简谐荷载作用下的动力计算。. 3 、了解单自由度体系在任意荷载作用下的动力解，了解阻尼对振动的影响，了解结构的共振现象。. 4 、了解多自由度体系在自由振动及简谐荷载作用下的动力解，了解振型叠加法。. 9.1 概述. 一、结构动力计算的特点. 动力荷载和静力荷载的区别：.

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第 9 章 结构动力计算

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  1. 第9章 结构动力计算 学习要求 1、理解本章的基本概念（自振频率、周期、振型、阻尼、自由振动、强迫振动、共振等） 2、掌握单、双自由度体系在自由振动及简谐荷载作用下的动力计算。 3、了解单自由度体系在任意荷载作用下的动力解，了解阻尼对振动的影响，了解结构的共振现象。 4、了解多自由度体系在自由振动及简谐荷载作用下的动力解，了解振型叠加法。

  2. 9.1 概述 一、结构动力计算的特点 动力荷载和静力荷载的区别： 动荷载是指大小、方向或作用位置随时间迅速变化，所引起的结构的加速度较大，由此产生的惯性力不容忽视的荷载。 由于动力荷载作用使结构产生的内力和位移称为动内力和动位移，统称为动力反应。 动力计算的基本特点有两个： 1、动力反应与时间有关。 2、建立平衡方程要包括惯性力。

  3. 二、动力荷载的种类 1、周期荷载 周期荷载中最简单也是最重要的一种动力荷载为简谐荷载，即荷载随时间 t 的变化规律可用正弦或余弦函数表示。 2、冲击荷载 这类荷载在很短时间内，荷载值急剧增大或急剧减小。各种爆炸荷载属于这一类。当升载时间趋于零时，就是突加荷载。 3、随机荷载 如地震荷载

  4. 质点 三、弹性体系的振动自由度 确定弹性体系中全部质量在任意时刻的位置所需的独立几何参数的个数，称为弹性体系的振动自由度。 在建筑结构振动中，为了简化计算，把质块看作质点。在平面运动中确定一个点需要两个独立的坐标。 在确定振动自由度时，假定变形前后杆上任意两点之间的距离保持不变。 1个 2个 1个 2个 确定体系自由度与结构是否为静定或超静定无关。 1个

  5. 四、体系振动的衰减现象——阻尼力 使结构在振动过程中能量耗散的因素，统称为阻尼。 阻尼是结构的一个重要动力特性。 所以，在建立运动方程时，除了动力荷载、惯性力等外，还须引入造成能量损耗的力，即阻尼力。 单自由度体系的阻尼力可表示为： 式中：c—阻尼系数 ý — 质点位移速度 D(t) = – c ý 式中的负号表示阻尼力的方向恒与速度的方向相反。

  6. 五、动力计算问题的分类 1、自由振动 自由振动是由初始位移和初始速度引起的振动，在振动过程中没有动荷载作用。 2、强迫振动 结构在振动时仍受到动力荷载的作用，这时的振动称为强迫振动。

  7. k y m m ky y k m mÿ 9.2 单自由度体系自由振动时的运动方程 图中弹簧的刚度系数k11（使弹簧伸长单位距离所需施加的力），必须等于结构的刚度系数（图中立柱在柱顶有单位水平位移时在柱顶所需施加的水平力）。 一、刚度法 取质量m为对象，画受力图 –k11y—弹性力，它的方向恒与位移的方向相反 – mÿ—惯性力，它的方向恒与加速度的方向相反 由达朗伯原理，任一时刻的动力平衡方程为： mÿ(t) + k11y(t) = 0

  8. δ 1 m m y(t) P = 1 k m mÿ 2、柔度法 δ为立柱的柔度系数，即单位水平力P = 1作用在柱顶时柱顶的水平位移。 根据达郎伯原理，以静力平衡位置为计算位移的起点，作用在质量m上只有惯性力FI = – mÿ(t)，则运动方程为： y(t) = －mÿ(t) δ11 在单自由度体系中，柔度系数δ11与刚度系数k11，互为倒数，即 δ11 = 1 / k11 则上式与刚度法的结论一致。 mÿ(t) + k11y(t) = 0

  9. 写成 式中： ω为圆频率，也称为自振频率 y(t) = y0cosωt + sin ωt = Asin(ωt + α ) v0 ω 二、自由振动微分方程的解答 振动微分方程： mÿ + k11y = 0（刚度法） ÿ + ω2y = 0 y(t) = – mÿ(t) δ11（柔度法） 上式为二阶常系数齐次微分方程，其解为： 式中：y0为初始位移；v0为初始速度 所以，y(t)为时间t的周期函数，质点作简谐振动。 振幅 初相位角

  10. y(t) = y0cosωt + sin ωt = Asin(ωt + α ) 2π v0 T = ω ω 三、结构的自振周期和自振频率 上式周期函数的周期为： （称为结构自振周期） 结构自振周期的计算公式： 式中：W = mg为质块的重量 结构自振频率（即圆频率）的计算公式： 单位：弧度/秒（1/s） 结构自振频率与自振周期，是结构自身固有的重要动力特性，它只与体系的质量及刚度（或柔度）有关，而与动荷载及初始干扰无关。刚度越大或质量越小，则自振频率越高，反之越低。 在动荷载作用下结构的动力反应都与自振周期和自振频率有关！

  11. P = 1 m EI L/2 L/2 L/4 例：如图所示简支梁，在梁的跨度中点有一个集中质量m。忽略梁本身的质量，求梁的自振周期和自振频率。EI为常数 解：1、自振周期 所以： 在m作用处，加一竖向单位力P = 1，作M图 由图乘法得：

  12. 例：求如图所示梁的自振周期。梁的质量分布不计，支座的弹簧刚度系数例：求如图所示梁的自振周期。梁的质量分布不计，支座的弹簧刚度系数 Δ P = 1 δ1 B C A 1/2 L/2 P = 1 A B C W L/4 C A B EI EI k L/2 L/2 L 解：该结构为单自由度体系 作单位荷载弯矩图，由图乘法得： 柔度系数 δ = δ1 + δ2 1、计算 δ1 3、柔度系数 δ 此时只有弹簧变形，杆件不变形 4、自振周期T 2、计算 δ2 此时只有杆件变形，弹簧不变形

  13. m P = 1 L EI L 例：如图所示，忽略柱子的质量，求此体系的自振频率。 解：体系为单自由度体系 由图乘法得：

  14. k11 1 k11 m h L 例：如图所示，忽略柱子的质量，横梁的质量为m，求此体系的自振频率。 解：体系为单自由度体系 取横梁为对象，由平衡方程得：

  15. 1 0 0 P = 1 L L L 例：如图所示桁架，在跨中的结点上有集中质量m。若略去桁架自重和质量的水平运动，各杆的EA相同，试计算m竖向振动的自振周期和自振频率。 解： 在质量m处加一单位力，求出各杆的轴力。

  16. c y m k y m m cý ky k mÿ 四、阻尼对自由振动的影响 取质块m为对象，其上作用的力，除弹性力–ky、惯性力 – mÿ外，还有阻尼力 – cý 平衡方程为： m ÿ + c ý + k y = 0 因为： 令： ξ称为阻尼比

  17. 有阻尼自由振动方程可写为： ÿ + 2ξωý + ω2y = 0 微分方程的解答分三种情况讨论： 1、 ξ< 1（即低阻尼情况） 1）自振频率 对一般结构来说，ξ的值很小，约在0.01到0.1之间。所以，在实际计算中，可近似地取： ωr = ω 即有阻尼自振频率和无阻尼自振频率二者很接近，或者说小阻尼对频率的影响不显著，同样对周期的影响也不显著，只是振幅的衰减十分迅速。

  18. 或 2）阻尼比的确定 yk 与 yk+n 为相距 n 个周期的自由振动振幅 2、 ξ> 1（即大阻尼情况） 体系不产生振动 3、 ξ= 1（即临界阻尼情况） 这时的阻尼系数称为临界阻尼系数，它是使体系不发生振动的最小阻尼。 cc = 2mω 体系从初始位移出发，逐渐回到静平衡位置而无振动发生。

  19. P m 例：如图所示排架，横梁及柱的部分质量集中在横梁处，结构为单自由度体系。为进行振动实验，在横梁处加一水平力P，柱顶产生侧移y0= 0.6cm，这时突然卸除荷载P，排架作自由振动。振动一周后，柱顶侧移为0.54cm，试求排架的阻尼比及振动10周后，柱顶的振幅y10。 解：1、求阻尼比ξ = 0.0168 2、求 y10 n = 10 = ln0.6 – 20π×0.0168 y10 = 0.21 cm 振动10周后的振幅为0.21 cm

  20. y P(t) m m P(t) k y k P(t) m ky mÿ 将 按自振频率振动的自振 按荷载频率振动的强迫振动 9.3 单自由度体系在简谐荷载作用下的动力计算 一、简谐荷载作用下结构的动力反应（无阻尼） 1、简谐荷载作用下方程的解答 设P(t) = P sinθt θ —简谐荷载的圆频率 P —荷载的最大值，也称荷载的幅值 取m为对象，列平衡方程： m ÿ + k y = P(t) 代入得运动方程： 自振和强迫振动并存的阶段称为过渡阶段，因实际阻尼存在，其后只有强迫振动，这个阶段称为稳态阶段。稳态阶段的振幅和频率都是恒定的。 方程的统解为：

  21. 令 2、简谐荷载的动力系数 稳态阶段任一时刻的位移为： 由于 yj 为把干扰力的幅值P视为静力荷载，作用于体系时而产生的位移，把它称为最大静位移。 μ 称为位移动力系数或放大系数 所以：y(t) = μ yj sinθt

  22. [ M(t) ]max = μ Mj = μP M M—为单位力沿质体振动方向作用时的弯矩。 计算单自由度体系在动荷载作用下的强迫振动时，均要先求出体系的自振频率，再计算动位移和动内力。 即先按静力方法计算 yj，再计算动力系数μ ，就可求出振幅。 [ y(t) ]max = μ yj 对于动内力，当动荷载沿振动方向作用于质体上时，内力动力系数与位移动力系数相同。 例如动力弯矩的计算式为： Mj — 为荷载幅值P 作为静力荷载作用时结构的弯矩；

  23. 动力系数 结构在简谐荷载作用下无阻尼稳态振动的一些性质： 1、当θ与ω相差较大时，即动力荷载的频率和自振频率相差较大时，可将动力荷载视为静力荷载。 2、当0 < θ/ ω < 1时，μ 随θ/ ω 的增大而增大。 3、当θ值接近ω时，动力系数将急剧增大， θ=ω时所发生的振动现象称为共振。 共振对体系来说是很危险的，有时会使结构产生破坏作用，应尽量避免。 突加荷载作用下的位移解答为： y(t) = yj( 1 – cosωt ) 动力系数为： μ = 2

  24. Psinθt EI Q 2.5m 2.5m 例：如图所示简支梁，截面惯性矩 I=11626cm4，抗弯截面系数W = 726.7cm3，弹性模量E = 2.1×108 kPa。跨度中间有重量Q = 40kN的电动机，转速n = 400 r/min。由于偏心，转动时产生离心力P = 20kN，离心力的竖向分力为Psinθt，忽略梁本身质量，求梁在上述简谐荷载作用下的动力系数和最大正应力。 = 47.93 l/s 2、计算简谐荷载的频率θ = 41.89 l/s 所以动力系数 3、计算跨中截面最大正应力 由电机重量产生的最大正应力和简谐荷载产生的最大动应力组成 解：1、计算梁的自振频率 = 21.43×104 kPa

  25. 二、阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响 稳态阶段任一时刻的动力位移为： y(t) = Asin( θt – φ ) 式中：A—振幅 A = μ yj φ—振幅与动载P之间的相位差 动力系数计算式： 动力系数与干扰力频率、结构的自振频率及阻尼有关！

  26. 讨论θ/ω值不同的几种情况(P283) 1）θ<<ω ( μ = 1 ) 体系振动很慢，可将Psin θt作静荷载P来计算。 2）θ>>ω ( μ = 0 ) 表明质量m接近不动或只作极微小的振动。 3）θ接近ω时， μ值增加很快，这时阻尼对μ值有很大影响。 在0.75 <θ/ω<1.25（习惯上称为共振区）的范围内，阻尼大大减少了动位移。而在此范围外，可按无阻尼计算。

  27. 3 P=1 psinθt W L L/2 例：已知外伸梁端部作用自重为W=20kN，干扰力psinθt的频率为θ = 62.8 1/s，P=2kN,EI=24.5×106 Nm2，梁长L=6m，试求集中质量处最大位移和最大弯矩。 最大位移： 解：1、计算集中质量处最大位移 求自振频率： 2、计算最大弯矩 = （0.127×2+20）×3 = 60.762 kNm 动力系数：

  28. m P(t) EI 4m 3m 1 9.45 2 2 EI = 9.45 M 9.45 2 M(t)max = μPM = 4.72M 例：如图所示刚架，电机与横梁总质量m=1t，柱EI=5×104kNm2，柱重不计，动荷载P(t) = 2kNsinθt，电机转速n=720转/分，阻尼比ξ=0.10。求： （1）稳态振动时的振幅及动力弯矩图；（2）若改变电机转速至发生共振，并控制动力系数 μ≤2，试确定阻尼比ξ的大小。 解：1、求自振频率 刚架柱顶侧移刚度 = 96.8 l/s 荷载频率 θ = 2πn/60 = 75.4 l/s 动力系数 振幅 A = μyj = 0.5 mm 由于强迫力沿振动方向作用于质体上，故内力动力系数和位移动力系数相同 = 2.36 荷载幅值作用下柱顶水平静位移

  29. 2、共振时，θ/ω = 1 动力系数：μ = 1/2ξ 则阻尼比：ξ = 1/2μ 欲使μ ≤ 2 ξ ≥ 1/2μ = 0.25

  30. 9.6 多自由度体系的自由振动 一、两个自由度体系的自由振动 1、运动方程的建立 1）柔度法 2）刚度法

  31. m1 m2 1 δ11 δ12 δ21 δ22 = 0 1 2、频率方程和自振频率 1）柔度法求自振频率 频率方程为： 频率参数： 其中较小的一个，以ω 1表示，称为第一频率或基本频率；另一个以ω 2表示，称为第二频率。

  32. 2）刚度法求自振频率 频率方程为： 频率： kij的物理意义：同第6章

  33. m1 m2 EI L/2 L/4 L/4 1 3L/16 1 3L/16 例：图示简支梁，质量集中在m1和m2上， m1 = m2= m，EI=常数，求自振频率。 解：1、作单位弯矩图，计算柔度系数 由图乘法可得： 2、将柔度系数代入公式得： 自振频率：

  34. 3、主振型及主振型正交性 1）、主振型 在特定的初始条件下，两个质点m1、 m2按频率ω1或ω2作简谐振动，位移y1、 y2的比值保持为常数。 n 个自由度体系具有n个自振频率。当体系（即所有质点）按某一自振频率作自由振动时，各质点位移振幅之间的比值保持不变，这种特殊的振动形式称为主振型或振型。

  35. 或 或 当ω = ω1时的振型称为第一主振型或基本振型 当ω = ω2时的振型称为第二主振型 Yij两个下标的意义： 第一个下标i表示质点的序号；第二个下标j 表示频率的序号，或振型的序号。 如Y12表示按第二频率（ ω = ω2）振动时，质点1（m1）的最大位移。 注意：体系能否按某一振型作自由振动由初始条件决定；但主振型的形式则和频率一样 ，与初始条件无关，而是完全由体系本身的动力特性所决定。

  36. 2）主振型的正交性 对于同一多自由度体系来说，各个主振型之间存在正交性，这是多自由度体系的重要动力特性。 当ω 1不等于ω 2时，恒有： m1Y11Y12 + m2Y21Y22 = 0 即质量与对应的两个主振型振幅的连乘积的代数和为零。

  37. m m EI L/2 L/4 L/4 -1 1 1 1 例：试确定上例体系的主振型，并验证主振型的正交性。 解：由前面求得： = -1 主振型形状： 验证正交性： m1Y11Y12 + m2Y21Y22 = m×1×1+m×1×(-1) = 0

  38. P=1 a/2 a EI m a a a/2 P=1 a a/2 例：求图示体系的自振频率和主振型 解：1、作单位弯矩图，求δi j 2、求自振频率

  39. 2、求主振型 = 0 只有水平振动 = 0 只有竖向振动

  40. m2 k21 m2 m1 1 h k11 m1 k22 m2 1 m1 h m1 k11 k12 m2 k21 例：如图所示刚架，各柱EI=常数，设横梁EI=∞，质量集中在横梁上、且m1= m2= m，求刚架水平振动时的自振频率和振型，并验证主振型的正交性。 1、计算结构的刚度系数 代入公式得： 由平衡条件求得：

  41. 主振型： 验证主振型的正交性：

  42. m m 1 EI EI 1 2m 2m 2m 2m 3/8 1 1 1 = 13/16 3/8 M1图 M2图 M1图 13/16 基本体系 1 例2：求图示梁的自振频率与主振型。m = 1t，E = 2×107N/cm2，I = 2×104cm4。 解：1、求自振频率 =173.2 l/s = 261.86 l/s 2、求主振型

  43. Y21 1 1 1 1 = Y11 Y21 Y11 第二主振型 第一主振型

  44. 练习1：图示单自由度动力体系自振周期的关系为（ ）；练习1：图示单自由度动力体系自振周期的关系为（ ）； A．(a) = (b)； B．(a) = ( c )； C．(b) = (c )； D．都不等。 解： 答案：A

  45. P=1 EI1=∞ h h EI h L 练习2：图示体系杆的质量不计，EI1=∞，体系自振频率ω等于（ ）。（选择题） 解： 答案：B

  46. 练习2：已知：θ = 0.5ω (ω为自振频率)，EI=常数，不计阻尼。杆长均为L。求图示体系稳态阶段，A点的动位移幅值 。 解： A点的动位移幅值：

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