第六章 理想不可压缩流体的定常流动

1. 第六章 理想不可压缩流体的定常流动 6.1理想不可压缩流体的一元流动 6.2理想不可压缩流体的平面势流 6.3理想流体有旋流动的几个定理

2. 所有真实流体均具有粘性和一定的可压缩性： N－S 方 程 欧 拉方 程 势 流 方 程 粘性 旋度 难 易 在一些情况下，粘性和压缩性影响很小，采用简化的理想不可压缩流体模型能很好的近似实际流动，具有很好的应用价值。 本章重点讲授理想不可压缩流体定常流动的相关理论知识。

3. 6.1理想不可压缩流体的一元流动 注意：质量力fx、fy和fz也可用X、Y和Z表示； 速度u、v、w也可用ux、uy、uz。

4. 在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、fy和fz是已知的，对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数。在这种情况下，上面方程组中有四个未知数u、v、w和p，而已有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程，从理论上就可以求解这四个未知数。在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、fy和fz是已知的，对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数。在这种情况下，上面方程组中有四个未知数u、v、w和p，而已有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程，从理论上就可以求解这四个未知数。 • 运用上面得到的运动微分方程求解各种流动问题时，需要对运动方程进行积分，但由于数学上的困难，目前还无法在一般情况下进行。下面先讨论在恒定条件下理想流体运动方程沿流线的积分。

5. （1）伯努利方程的推导： 假设下列几个条件成立： (1)不可压缩理想流体的定常流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 推导思路1： 该条件下流动可基于不可压缩理想流体运动微分方程（欧拉方程求解。 （1） 求解数学模型

6. 由流体定常流动，则 因此，欧拉方程可写成 （2） 假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz。现用dx、dy和dz分别乘以式（2）的第一式、第二式和第三式，则可得到

7. （3） 由流线微分方程（第三章）： （4） 将式（4）代入式（3）中的对应项，则得

8. （5） （6） 由于式（6）中的dx、dy和dz是流体微团沿流线微小位移ds的三个分量，所以要沿流线（或微元流束）进行积分。

9. 式（6)中 假设质量力只有重力，fx=0，fy=0，fz=-g，即z轴垂直向上，oxy为水平面。则式(6)可写成 又假设为不可压缩均质流体，即ρ=常数，积分后得 [L2t-2] [L] （7） [ML-1t-2] 式（7）称为理想不可压流体在定常流动及重力作用下沿流线的伯努利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值。

10. 前者利用了流线方程，后者利用了迹线方程！ 推导思路2：

11. 后续步骤相同！

12. 伯努利方程的适用条件：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）。[理想流体、定常流动、均质不可压缩流体、沿流线方向，仅受重力作用]。伯努利方程的适用条件：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）。[理想流体、定常流动、均质不可压缩流体、沿流线方向，仅受重力作用]。 若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则式（7）也可写成 在特殊情况下，静止流体V=0，由式(7)可以得到静力学基本方程

13. （2）伯努利方程物理意义： 为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来解释该方程的物理意义和几何意义。 1、物理意义 理想流体微元流束的伯努利方程式（7）中，各项意义： 单位质量流体所具有的重力势能 单位质量流体的动能 单位质量流体的压力能 理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位质量流体所具有的重力势能、压力能和动能之和保持不变。

14. 总机械能不变，并不是各部分能量都保持不变。三种形式的能量可以各有消长，相互转换，但总量不会增减。总机械能不变，并不是各部分能量都保持不变。三种形式的能量可以各有消长，相互转换，但总量不会增减。 伯努利方程是能量守恒原理在流体力学中的具体体现，故被称之为能量方程。 伯努利方程在流线上成立，也可认为在元流上成立，所以伯努利方程也就是理想流体恒定元流的能量方程。 伯努利方程可理解为：元流的任意两个过水断面的单位总机械能相等。由于是恒定流，通过元流各过水断面的质量流量相同，所以在单位时间里通过各过水断面的总机械能（即能量流量）也相等。

15. 注意伯努利方程形式区别！ （3）伯努利方程几何意义： 总能头 单位重量流体所具有的重力势能 单位重量流体的动能 速度头 单位重量流体的压力能 位势头 静压头 理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的位势头、静压头和速度头之和保持不变，即总水头是一常数。

16. 总能头线 测压管线 总能头线和测压管线

18. （1）伯努利方程的应用： 理想流体微元流束的伯努利方程，在工程中广泛应用于管道中流体的流速、流量的测量和计算，下面以应用最广泛的皮托管和文特里流量计为例，介绍它们的测量原理和伯努利方程的应用。 1.皮托管 在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流速的大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量，要测量管道中流体的速度，可采用皮托管来进行，其测量原理如图1所示。 在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端

19. B A V • Z Z 图 1 皮托管测速原理

20. 开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。将测速管（又称皮托管）的一端正对着来流方向，另一端垂直向上，这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h。这是由于当液流流到测速管入口前的A点处，液流受到阻挡，流速变为零，则在测速管入口形成一个驻点A。驻点A的压强PA称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例如B点）的液体压强为 PB，速度为V。应用伯努利方程于同一流线上的Ｂ、Ａ两点，则有 则 (8)

21. 式（8）表明，只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比用式(8)计算出的要小，因此，实际流速为式（8）表明，只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比用式(8)计算出的要小，因此，实际流速为 (9) 式中 ψ—流速修正系数，一般由实验确定， ψ =0.97。 如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来，必须把两根管子连接到一个Ｕ形差压计上，从差压计上的液面差来求得流速，如图2所示，则 用式(8)，则得 （10）

22. 图 2 用皮托管和静压管测量气体流速

23. 考虑到实际情况， 在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件，称为皮托—静压管，又称动压管，习惯上常简称它为皮托管，其示意图如图3所示。图中1点为总压测点，2点为静压测点，将总静压孔的通路分别连接于差压计的两端，则差压计的指示为总压和静压的差值，从而可由式(8)求得测点的流速。皮托-静压管的构造尺寸及使用时的连接方式如图4所示。

24. 图 3 皮托-静压管

25. 思考为什么？ Ⅰ管——静压管，开口方向与流速垂直。 Ⅱ管——总压管，开口方向迎着流速。 毕托管利用两管测得总水头和测压管水头之差——速度水头，来测定流场中某点流速。 实用的毕托管常将测压管和总压管结合在一起。 实际实验中，在测得h，计算流速u时，还要加上毕托管修正系数c，即

26. 图 4 皮托-静压管构造及连接方式

27. 必须注意：静压不是静止流体的压力，而是运动流体的真空压力。之所以称为静压，是因为为了测量流体的压力，可以让测压计随同流体一起运动，与流体保持相对静止，这样流体不受任何扰动，就可以测出运动流体的真实压力。必须注意：静压不是静止流体的压力，而是运动流体的真空压力。之所以称为静压，是因为为了测量流体的压力，可以让测压计随同流体一起运动，与流体保持相对静止，这样流体不受任何扰动，就可以测出运动流体的真实压力。 • 测量封闭管内流体的压力，通常是在管壁上开一个小孔，安装测压管；当流体的静压沿管道截面的变化不能忽略时（如流体在弯管中的流动），可用直角测压管，其外形与皮托管相仿，只是迎流端不开口，而在迎流端后适当距离处沿圆周开设测压孔。

28. O H0 H C D AC A V2 v0 C O （1）薄壁出流概念： 1 薄壁出流确切地讲就是锐缘孔口出流，流体与孔壁只有周线上接触，孔壁厚度不影响射流形态。 2.薄壁孔口出流 z 2 （2）薄壁小孔口出流求解： o 选取截面1和2，应用伯努利方程：

29. 已知以下参数： 锐缘小孔口理论出流速度公式（托里拆利公式） 代入计算： 该公式未考虑粘性和表面张力的影响，实际流速要稍小一些。 速度系数： 面积收缩系数： 流量系数： 流量：

30. （3）薄壁大孔口出流求解： 对于垂直设置的大孔口又该如何计算？ 由于孔口各点的作用水头差异很大，如果把这种孔口分成若干个小孔口，对每个小孔口出流可近似用小孔口出流公式，然后再把这些小孔口的流量加起来作为大孔口的出流流量。

31. 面积微元Bdh上体积流量： 通过大孔的体积流量： 从P120例6-2计算结果可见，以小孔出流公式计算大孔出流，相对误差很小。 当H>D，大孔口出流通常可以看作“小孔口出流”问题。

32. 孔口非恒定出流 孔口非恒定出流一般应考虑液面高度对孔口出流速度的影响。然而当孔口面积远小于容器面积时，液体在dt时段内的升降或压强的变化缓慢，惯性力可忽略不计，此时可把整个变速的流动过程划分为许多小区间，在每个小区间仍可按恒定流处理。 经孔口流出的液体体积 容器内减少的液体体积

33. 对上式积分 若H2=0, Qmax—开始出流的最大流量 变水头出流的放空时间，等于在起始水头作用下流出同体积的液体所需时间的两倍。

34. 具有自由面的液体，通过一弯管使其绕过周围较高的障碍物（容器壁、河堤等），然后流至低于自由液面的位置，这种用途的管子成为虹吸管。这类现象称虹吸现象。具有自由面的液体，通过一弯管使其绕过周围较高的障碍物（容器壁、河堤等），然后流至低于自由液面的位置，这种用途的管子成为虹吸管。这类现象称虹吸现象。 2.虹吸管 右图为一虹吸管的示意图，该虹吸管从水槽中吸水，再从右下端出口流出。假定水槽很大，在虹吸过程中自由水面的下降速度为零，且不计流体的粘性。 因此，该问题可用理想不可压缩流体的一元定常流动模型来近似。

35. 分别选取水槽的自由水面，最高位置截面，出口截面为计算表面，位置高度基准取在水槽自由面处。分别选取水槽的自由水面，最高位置截面，出口截面为计算表面，位置高度基准取在水槽自由面处。 对1，3截面列伯努利方程得 因此， 对2，3截面列伯努利方程得 因此，

36. 从虹吸管流速公式可知：引起虹吸管内流动的能源来自于其出口与自由液面间的高度差，即由重力势能转换而来。因此，从理论上讲，高度差L越大，则流速越大。从虹吸管流速公式可知：引起虹吸管内流动的能源来自于其出口与自由液面间的高度差，即由重力势能转换而来。因此，从理论上讲，高度差L越大，则流速越大。 从最高截面处压力公式发现，其最高截面处压强小于当地大气压，且其真空度等于（H＋L）。可见，当最高截面至自由液面的高度差H达到一定值时，最高截面处压强已等于水流在该温度下的饱和蒸汽压，水将沸腾并产生大量蒸汽，破坏了流动的连续性，虹吸管不能正常工作。 注意：液体中常溶解有气体，当压强降低到一定程度时（此时压强一般高于该状态下的饱和蒸汽压），气体会释放出来形成气穴。 在变截面管道流动、流速较高或位置较高的流动区域会发生类似现象。

37. 【例】一个虹吸管，已知a=1.8m，b=3.6m，水自池引至C端流入大气，若不计损失，设大气压为10m水柱，求：1）管中流速及B点之绝对压力；2）若B点绝对压力下降到0.24m水柱以下时，将发生汽化，如C端保持不动，问欲不发生汽化，a不能超过多高？【例】一个虹吸管，已知a=1.8m，b=3.6m，水自池引至C端流入大气，若不计损失，设大气压为10m水柱，求：1）管中流速及B点之绝对压力；2）若B点绝对压力下降到0.24m水柱以下时，将发生汽化，如C端保持不动，问欲不发生汽化，a不能超过多高？ 【解】以C端及水面列出 伯努利方程，水面处流 速近似为零，出口端压 力近似为大气压，则立 即有 即

38. 再对水面及B端实用伯努利方程，得 为使B点不发生汽化，必须 因此

39. 4.文特里(Venturi)流量计 文特里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，如图5所示。它是利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用Ｕ形管差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。 以文特里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面1-1，2-2的伯努利方程 （11） 由一维流动连续性方程 (12)

40. 图 5 文特里流量计原理图

41. 将式(12)代入到式(11)，整理得 (13) 由流体静力学 (14) 将式(14)代入到式(13)，则 (15) 式(15)表明，若ρ液， ρ ，A2，A1已知，只要测量出h液，就可以确定流体的速度。流量为： (16)

42. 考虑到实际情况 (17) 式中Cd为流量系数，通过实验测定。 文特里流量计是节流装置中的一种，除此之外还有孔板，喷嘴等，其基本原理与文特里流量计基本相同，不再叙述。 三、伯努利方程应用时特别注意的几个问题 伯努利方程是流体力学的基本方程之一，与连续性方程和流体静力学方程联立，可以全面地解决一维流动的流速(或流量)和压强的计算问题，用这些方程求解一维流动问题时，应注意下面几点： (1) 弄清题意，看清已知什么，求解什么，是简单的流

43. 动问题，还是既有流动问题又有流体静力学问题。动问题，还是既有流动问题又有流体静力学问题。 (2) 选好有效截面，选择合适的有效截面，应包括问题中所求的参数，同时使已知参数尽可能多。通常对于从大容器流出，流入大气或者从一个大容器流入另一个大容器，有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面，因为该有效截面的压强为大气压强，对于大容器自由液面，速度可以视为零来处理。 (3) 选好基准面，基准面原则上可以选在任何位置，但选择得当，可使解题大大简化，通常选在管轴线的水平面或自由液面，要注意的是，基准面必须选为水平面。 (4) 求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努利方程的p1和p2应为同一度量单位，同为绝对压强或者同为相对压强，p1和p2的问题与静力学中的处理完全相同。

44. (5) 有效截面上的参数，如速度、位置高度和压强应为同一点的，绝对不许在式中取有效截面上Ａ点的压强，又取同一有效截面上另一点Ｂ的速度。 【例7】 有一贮水装置如图6所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。 【解】 当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程 当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本

45. 方程求出Ｈ值 则 代入到上式 （m/s） 所以管内流量 （m3/s）

46. 图 6

47. 【例8】 水流通过如图7所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水银柱高差Δh=0.2m，h1=0.72m H2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。 【解】 首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压面，列等压面方程得： 则 (mH2O) 列1-1和2-2断面的伯努利方程

48. 由连续性方程： 将已知数据代入上式，得 （m/s） 管中流量 （m3/s）

49. 图 7

50. 综合利用伯努利方程和动量定理的例题 如图是消防水龙头的喷嘴，高速水流从管道经过一个喷嘴射入大 气，截面积从A1收缩为A2 表压A1处为(p1-pa)’表压A2处为0。求 水流给喷嘴的力R。取坐标，设向右为正，则喷嘴给水流的作用 力为-R，由动量方程可得： 根据连续性方程： 根据柏努利方程