自动控制原理

1. 自动控制原理 主讲教师： 唐艳 德州学院机电工程系 Mechanical and Electronic Engineering Department of Dezhou University

2. 本章重点 1.非线性系统概念和特点； 2.相平面法； 3.描述函数法； 4.改善非线性系统性能的措施。

3. 本章难点 1.奇点的类型和相平面分析法的原理； 2.描述函数法及物理意义； 3.极限环的分析。

4. 第七章　非线性系统的分析 §7.1　非线性系统的概述 §7.2　二阶线性和非线性系统的相平面分析 §7.3　非线性系统的相平面分析 §7.4　非线性系统的描述函数分析法 §7.5 典型非线性系统的稳定性

5. 线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出间具有叠加性和均匀性性质。 非线性控制系统： 系统中含有非线性元件组成，输入输出间具有叠加性和均匀性性质。 • 　构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特性时，即称此系统是非线性系统。 • 　严格地说线性系统在实地实际中不存在，而非线性系统是普遍存在的。 • 　非线性系统千差万别。 • 线性系统中引入非线性控制可以改善系统的性能。

6. 非线性系统和线性系统之间的本质差别： １　非线性系统叠加原理不能应用。 2　线性系统可以用常微分方程来描述，而非线性的微分方程只在某些特殊的情况下才有解析解。 3　非线性系统不能求出完整的解，只能对非线性系统的运动情况进行估计，例如系统的稳定性和动态品质等等。 4　非线性系统呈现出更为复杂和多样的动力学特性。 非线性科学 耗散结构论、突变论、协同论、混沌、分形。 更具有前沿性、交叉性和普适性。

7. §7.1　非线性系统的概述 一、　非线性系统的数学描述 描述大多数非线性系统的数学模型是n阶非线性非线性常微分方程，形式为： h(·)表示非线性函数。u(t)是输入，y(t)是输出。

8. 二、控制系统中非线性特性的分类 非本质非线性：光滑连续可以局部线性化。 本质非线性： 1. 饱和特性 放大器的饱和输出特性 磁饱和 元件的行程限制 功率限制等等。 　　当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。

9. 输出 输入 2. 死区特性（不灵敏区特性） 各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力； 等等。 数学描述为： a－为死区宽度 较大时 将使系统静态误差增加， 系统低速不平滑性 很小时 作为线性特性处理

10. 输出 输入 输出 输入 3. 滞环特性 铁磁部件的元件： 电液伺服阀中的力矩马达 非单值非线性

11. 4. 　 间隙特性（回环） 齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙 数学描述为： 间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自持振荡。同时使稳态误差增大。

12. 5. 继电器特性 a－为继电器的吸合电压。 ma－为继电器的释放电压。 M－为常值输出。 几种特殊的继电器特性

13. 输出 输入 6. 非线性增益 大偏差时，具有较大增益加快系统响应。 小偏差时，具有较小增益提高零位附近的系统稳定性。 在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。

14. 三、非线性系统的特点与分析方法 （一）非线性系统的特点 1. 系统的稳定性 动态特性和稳定性不仅和系统的结构和参数有关，还和初始条件有关。同一结构和参数的系统可能因为初始条件的不同运动的最终状态可能完全不同。 2. 系统的自持振荡 　　线性系统只能当其参数不位于稳定边界时，只能收敛于平衡状态或者发散，只有处于临界稳定时，才能产生自持振荡。非线性系统中即使没有外界的激励也可能发生某一固定幅值和频率的振荡，称为自持振荡。

15. 3.　频率响应的畸变 　　在非线性系统中，输入是正弦函数时，输出则是包含了高次谐波分量的非正弦周期函数， 因此不能应用频率特性、传递函数这些线性系统常用的方法来分析和综合非线性系统，也不能应用象单位阶跃等典型输入信号作为评价非线性系统性能的试验信号。因此目前尚无一般通用的方法来分析和设计非线性控制系统。 4.　系统的共振现象 线性系统中，如外施信号的频率与系统本身固有的无阻尼自振频率相同时，系统将产生共振。而非线性系统不会发生线性系统那样的共振现象。

16. （二）非线性系统的分析和设计方法 　　非线性方程没有统一的求解方法，不能应用叠加原理。对于非线性不严重的系统可用小偏差线性化的方法，对于本质非线性可采用分段线性化的方法。 　　对于非线性控制系统，在许多实际问题中，并不需要求得其响应的精确解。而是讨论问题①系统是否稳定；②系统是否产生自持振荡，如产生，其幅值和频率是多少；③如何消除自持振荡。 分析方法：频域上有描述函数法和波波夫法；时域上有相平面法和李亚普诺夫第二法。计算机仿真的方法也可以分析复杂的非线性系统。

17. §7.2　二阶线性和非线性系统的相平面分析 一、相平面、相轨迹和平衡点 　　二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶的微分方程来表示： （7-2-1) （7-2-2) 　　状态平面是一个二维的平面，[x1(t),x2(t)]表示一个解，t固定时，其解对应相平面上的一个点。当t变化时x1(t) 对应于x2(t)在状态平面上形成的运动轨迹称为状态平面轨迹。 当（7-2-1)为 这种形式时，状态平面轨迹 称为相平面轨迹，或是相轨迹。

18. 平衡点： 状态[x10,x20]称为在时刻平衡点，条件为对于所有的t≥t0,有 奇点： 在相轨迹上满足条件 为不定值的点为奇点。 也可以写作 奇点也是平衡点。

19. 二、二阶线性系统的特征 二阶线性系统的微分方程为 令x=x1, 也可以写作 又知二阶系统的特征根为 1. ζ＝0时，系统处于无阻尼状态，λ1、λ2为共轭虚根。

20. 分离变量，然后对两侧分别积分得到 其中 x10、x20为初始状态。 每一个椭圆对应一个周期运动， 原点处有一孤立奇点，叫做中心点。 ζ＝0时二阶线性系统的相轨迹

21. 2. 0＜ζ＜1时，系统处于欠阻尼状态，λ1、λ2为左半平面共轭复根。 方程的解为 • 　运动收敛于平衡状态(坐标原点)，系统是稳定的。平衡点称为稳定焦点。 • 　运动趋向于平衡状态的过程是周期性的振荡过程。 0＜ζ＜1时二阶线性系统的相轨迹

22. 3. ζ＞1时，系统处于过阻尼状态，λ1、λ2为左半平面负实根。 方程的解为 • 　运动收敛于平衡状态，系统是稳定的。 • 　运动趋向于平衡状态的过程是非周期性的。 • 　平衡点为稳定节点。

23. 根与相轨迹 j j j j j 0 0 0 0 0 λ2 λ1 λ2 λ1 j 0 λ1 λ2 节点 不稳定节点 稳定焦点 不稳定节点 鞍点 中心

24. 　　二阶线性系统的相轨迹和奇点的性质由系统的特征根决定，即由系统本身的结构和参量决定，与系统的初始状态无关。　　二阶线性系统的相轨迹和奇点的性质由系统的特征根决定，即由系统本身的结构和参量决定，与系统的初始状态无关。 　　不同初始状态只能形成一组形态相似的相轨迹，不能改变相轨迹的性质。 　　不同初始状态决定的相轨迹不会相交，可能有部分重合。只有在奇点处，才能有无数条相轨迹逼近或离开它。 　　局部相轨迹可以推知全局。 　　不会形成在全部时间内有定义的孤立封闭曲线形状的相轨迹。 二、二阶非线性系统的特征 　　对于二阶非线性系统，由于没有一般的求解非线性微分方程的方法，通常用解析方法求出时间解是不可能的。

25. 　可以用小范围线性化方法求出其在平衡点附近的线性化方程。再分析系统的相轨迹和奇点的情况。　可以用小范围线性化方法求出其在平衡点附近的线性化方程。再分析系统的相轨迹和奇点的情况。 　利用相平面分析法研究二阶非线性系统的基本思想是：对于二阶非线性系统，先用图解方法作出其相轨迹曲线，然后通过相轨迹来研究系统的运动。 x对时间的导数曲线 二阶系统时间解 相轨迹图

26. §7.3　非线性系统的相平面分析 一、绘制相轨迹的方法 求解二阶系统相轨迹的方法：解析法和图解法。 系统的微分方程可写成如下相变量方程的形式： (一）解析法 　　对其积分，得到x1和x2的关系式，就是相轨迹方程。

27. 例：含理想继电器特性的非线性系统如图所示，例：含理想继电器特性的非线性系统如图所示， 线性部分的输入输出的关系为： 非线性部分（理想继电器特性）输入与输出的关系为： 试绘制相轨迹。 解：选择状态变量，令 则系统的相变量方程为

28. 相除得： 对上式积分： 当x1<r时，取＋M，则有 当x1＞r时，取－M，则有 说明：相轨迹为一簇抛物线，x1=r为分界线；不同初始状态，相轨迹是不同的，时间响应呈周期运动的形式，中心点为（r,0)；相轨迹按顺时针变化。

29. 相平面的性质： （1）相平面的对称性 相轨迹的对称性可由对称点上相轨迹的斜率来判断。 （2）相轨迹上的奇点和普通点。 只要不同时满足 即 　　通过该点的相轨迹的斜率是一个定值，通过该点的相轨迹不可能多于一条，则相轨迹不能相交，该点即为普通点。 若 则该点为奇点。 奇点只能在x1轴上。

30. （3）相轨迹通过x1轴的斜率。 通过x1轴的点x2=0，该的的斜率为∞。 除奇点以外，相轨迹和x1轴上垂直相交。 (4)系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向 上半平面x2>0，x1增加，相轨迹由左向右。 下半平面x2＜0，x1减少，相轨迹由右向左。 (5)奇点类型　 六种奇点：中心点、稳定焦点、稳定节点、不稳定焦点、不稳定节点、鞍点。 相平面可能分几个区域，每个区域都可能包含一个奇点。每个奇点类型决定了该区域相轨迹的大致规律。

31. （六）极限环 　　极限环是相平面上的分隔线，将相平面划分成不同运动特点的环内区域和环外区域。相轨迹不能从环外区域穿过极限环进入环内区域，或者相反。极限环分为稳定、不稳定、半稳定，不同极限环内外的相轨迹的运动规律也是不同的。 （二）、等倾线法 式 表示了相轨迹的斜率。 若取斜率为常数q，则上式为

32. 例：含有死区继电器特性的非线性系统。 线性部分的输入输出关系为 非线性部分的输入输出关系由下式表示 用等倾线法绘制相轨迹。 解　引入新的变量 e=r-c，并选择相变量x1=e， 于是有

33. 由非线性特性f(e)的三种可能值，将相平面分为三个区。由非线性特性f(e)的三种可能值，将相平面分为三个区。 I区：x1>1，f(x1)=1此区域内等倾线方程为 一组与水平轴平行的直线。 或 Ⅱ区：-1<x1<1，f(x1)=0此区域内等倾线方程为 斜率为－1的直线。 Ⅲ区：x1<－1，f(x1)=－1此区域内等倾线方程为 一组与水平轴平行的直线。 或

34. 等倾线绘制相轨迹图

35. 例：含有死区特性的非特性系统。r(t)=R·1(t)，试画出相轨并分析运动规律。例：含有死区特性的非特性系统。r(t)=R·1(t)，试画出相轨并分析运动规律。 死区特性的表达式为 线性部分微分方程为： 将c=r-e代入上式 当r(t)=R·1(t)时 上式变为

36. 由非线性特性的三种可能值，将相平面分为三个区。由非线性特性的三种可能值，将相平面分为三个区。 I区： 令 解得 在I区内没有奇点，有一条平衡线。 Ⅱ区： 微分方程为

37. 令 解得 奇点（e0,0)位于Ⅰ区和Ⅱ区的分界线上，是个虚奇点，可能为稳定焦点或稳定节点，类型视K、T参数而定。 Ⅲ区： 微分方程为 奇点（－e0,0)位于Ⅰ区和Ⅲ区的分界线上，也是个虚奇点。

38. 由图所示，死区会增加系统误差

39. 例：具有饱和非线性的系统如图所示，分析r(t)=R·1(t)和r(t)=R+vt时的运动规律。例：具有饱和非线性的系统如图所示，分析r(t)=R·1(t)和r(t)=R+vt时的运动规律。 解：饱和非线性的数学表达式为 线性部分微分方程为： 将c=r-e代入上式 当r(t)=R·1(t)时 上式变为

40. 当工作在I区,即|e|<e0，x=e，系统的微分方程为 相轨迹的斜率方程为 所以在本区内的奇点为(0,0)， 当 时， 奇点为实奇点，类型为稳定的焦点或节点(视K、T的取值而定)。 设I区的奇点为稳定焦点，可画出I区的相轨迹如图所示。 若工作在Ⅱ区,即e>e0，x=M，系统的微分方程为 相轨迹的斜率方程为 该区域内没有奇点。

41. 等倾线方程为： 为平行于横轴的直线。 令相轨迹的斜率等于等倾线的斜率，可以得到相轨迹的渐近线方程。令α=0，可以得到渐近线方程为： 在渐近线的两侧，相轨迹的斜率趋近于渐近线。 由斜率方程可知，在Ⅱ区： 当 时，-1/T<α<0，斜率为负。 当 时，0<α<∞，斜率为正。 当 时，-∞<α<1/T，斜率为负。

42. 若工作在Ⅲ区,即e>e0，x=-M，系统的微分方程为 相轨迹的斜率方程为 该区域内也没有奇点，等倾线方程为： 渐近线方程为： 当 时，-1/T<α<0，斜率为负。 当 时，0<α<+∞，斜率为正。 当 时，-∞<α<-1/T，斜率为负。

44. §7.4　非线性系统的描述函数分析法 一、描述函数法的基本概念 假设非线性系统的输入函数为 输出n(t)将是非正弦的周期信号。可以展成傅利叶级数，y(t)是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。 假设1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以输出信号y(t)的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响应的平均值为零。

45. 假设2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值远小于基波。闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。对于一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤波性越好，用描述函数法分析的精度越高。假设2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值远小于基波。闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。对于一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤波性越好，用描述函数法分析的精度越高。 上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研究其基波成分就足够了。 假设系统中非线性环节的输入函数为 输出信号可以展成傅利叶级数

46. 若非线性部分是齐次对称的，则A0=0，线性部分又具有低通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量能够通过闭环回路反馈到输入端。若非线性部分是齐次对称的，则A0=0，线性部分又具有低通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量能够通过闭环回路反馈到输入端。 输出部分的基波分量为

47. 可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信号基波的关系。可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信号基波的关系。 在非线性环节不含有储能元件的前提下，这个复数是输入正弦信号幅值的函数，而与频率无关，称为非线性环节的描述函数。用符号N(A)表示： X1非线性环节输出基波分量的振幅；φ1表示其相位差；A表示输入正弦信号的幅值。 这样一种仅取输出的基波（把非线性环节等效为一个线性环节）而忽略高次谐波的方法称为谐波线性化法。非线性环节等效为一个具有复放大系数的放大器，所以描述函数又称复放大系数。

48. 非线性函数中含有储能元件时，描述函数同时为输入信号幅值A和频率ω的函数，表示为N(A, ω)。 如果非线性特性是单值奇函数的，则A0=0，A1=0。 N(A)是一个实函数。

49. 二、典型环节的描述函数 理想继电器特性的描述函数 傅氏展开 斜对称、奇函数A0=An=0 (偶次对称性)

50. 饱和特性 死区特性 死区饱和特性