Jak počítali ve starém Egyptě 2

1. Jak počítali ve starém Egyptě 2 Mgr. Jaromír Osčádal

2. Znali Egypťané zlomky? • Už v archaickém období používali zlomky. • Mezi nejstarší zlomky patří ty, které vznikaly metodou půlení (jedna polovina a čtvrtina,…) • V počátcích kromě kmenných zlomků: používali i doplňkové zlomky:

3. Tyto zlomky byly používané v období Staré říše. Do doby střední říše zůstaly pouze kmenné zlomky a symbol pro dvě třetiny.

4. Jak zapisovali zlomky? • Kmenné zlomky psali v hieroglyfickém písmu znakem nad celým číslem jmenovatele. = • V hieratickém písmu zlomek zapisovali tečkou nad číslem. =

5. Speciálními zlomky byly části Horova oka, které se používaly k vyjádřením částí měřice (hekat asi 4,805 l). vedžat

6. Jak zapisovali ostatní zlomky? • Ostatní zlomky zapisovali jako konečnou řadu různých kmenných zlomků.

7. Čísla větší než jedna zapisovali formou smíšených čísel.

8. Proč to tak dělali? • Egypťané používali matematiku k praktickým výpočtům. • Chyběla jim obecná představa o racionálních číslech.

9. Proč to tak dělali? • André Weil označilrozhodnutí zapisovat zlomky formou kmenných zlomků jako „Wrong Turn“. • Ale pro starověké Egypťany to muselo nějakou výhodu mít. • Kmenné zlomky užívali i jiné civilizace.

10. Z praktického dělení úrody uměli Egypťané rozdělit celek na n dílů, ale představa rozdělit m celků, a každýcelek na n dílů, byla pro ně nepraktická.

11. Pro praktické dělení bylo výhodnější takový zlomek zapsat pomocí větších celků. Vždyť i nám činí potíže představit si:

12. ale zápis nám dává jasnou představu, kolik z daného množství představuje požadovaný díl.

13. Úloha na dělení chleba • Rozdělte 5 chlebů mezi 7 kameníků. Najdete i jiná rozdělení?

14. Jaký největší kmenný zlomek se vejde do daného racionálního čísla?

15. Vymyslete postup, jak můžeme najít zápis ve formě egyptských zlomků.

16. Pokuste se zapsat racionální číslo ve tvaru egyptských zlomků.

17. Lze každý zlomek 2/n zapsat ve tvaru egyptského zlomku? • Co když je n sudé

18. Co když je n liché

19. Co když je n liché

20. Příklady: Vynechání kroku 3/n

21. Lze zlomek 3/n zapsat ve tvaru egyptského zlomku? • Jak můžeme zapsat n?

22. V takovém případě můžeme zlomek zkrátit.

23. V takovém případě platí:

24. V takovém případě platí:

25. V takovém případě platí: Zlomek 2/n lze rozdělit na kmenné zlomky, protože zlomek 1/(k+1) je největší kmenný zlomek , který se vejde do hodnoty 3/n, musí další zlomky být menší (jiné).

26. Příklady:

27. Lze každý zlomek m/n zapsat ve tvaru egyptského zlomku? 1/ Pro m = 2 nebo m = 3 jsme rozklad na egyptské zlomky dokázali na předchozích stránkách. 2/ Předpokládejme, že existuje m – 1, pro které všechny zlomky h/n, kde hm - 1 (h, n, mZ), lze vyjádřit ve tvaru egyptských zlomků. 3/ Bude to samé platit pro m ?

28. Pro jednoduchost uvažujme zlomky menší než jedna.

29. Pro z  0 můžeme dokázat, že

31. Pokud z = 0, lze zlomek krátit na kmenný.

32. Pokud z 0 je čitatel druhého zlomku rozkladu menší než m. Podle předpokladu lze takový zlomek vyjádřit ve tvaru egyptských zlomků, které jsou menší (jiné) než Všechny zlomky n/m menší než jedna, lze zapsat ve tvaru egyptských zlomků (konečného počtu kmenných zlomků).

33. Existuje jediný zápis zlomku ve tvaru egyptského zlomku? • Tento postup poprvé publikoval v roce 1202 Leonardo z Pisy známý jako Fibonacci. • My jsme si ukázali jen jeden postup, ale podobných může existovat více s jiným výsledkem. • Např. nemusíme vždy použít největší kmenný zlomek.

34. Zapište zlomek ve tvaru egyptských zlomků.

35. Zkuste najít různé zápisy zlomků:

36. Představme si zlomek, který lze zapsat pouze v jedné podobě. • Seřadíme kmenné zlomky v zápisu od největšího po nejmenší. • Jak můžeme použít následující rovnosti pro získání dalšího zápisu? • To vede ke sporu s předpokladem jediného zápisu.

37. Rychle zapište další zápis daného zlomku • Využijte rovností:

38. Jaký bude základní zápis egyptského zlomku? • Ukázali jsme si, že jeden zlomek lze zapsat v několika tvarech. • Můžeme jeden z nich považovat za jakýsi základní tvar? • Může být určující počet kmenných zlomků?

39. Jaký bude základní zápis egyptského zlomku? • Za základní tvar můžeme považovat výsledek našeho postupu, který se skládá z největších kmenných zlomků. • Tento postup patří do skupiny takzvaných „hladových algoritmů“, protože do zápisu vložíme vždy největší kmenný zlomek, který se vejde do zbylé hodnoty.

40. Jaký bude základní zápis egyptského zlomku? • Bohužel jen velmi těžko určíme, zda daný zápis pomocí egyptských zlomků je tento základní. • Jednou z možností je zlomky sečíst a přepočítat podle algoritmu. • Je ale výhodný pro porovnávání zlomků.

41. Zlomek je zapsán v základním tvaru, pokud součet posledních zlomků s největším zlomkem 1/n je menší než 1/(n-1).

42. Zjistěte, zda je daný zápis zlomků v základním tvaru: NE

43. Zjistěte, zda je daný zápis zlomků v základním tvaru: ANO

44. Porovnávání zlomků

45. Které číslo je větší? nebo . • Zápis a nám dává jasnou představu, který z daných zlomků je větší. • Tento zápis má pro porovnání zlomků jasnou výhodu.

46. Porovnejte zlomky pomocí tvaru egyptských zlomků:

47. Příklady: • Porovnejte zlomky nezapsané v základním tvaru:

48. Porovnejte zlomky:

49. Jak mohli sčítat zlomky? • Pokud kmenných zlomků nebylo mnoho a byly různé, staří písaři je jen připojili k sobě. • Pokud některé kmenné zlomky z obou sčítanců byly stejné, rozložili je pomocí tabulky 2/n, nebo použili univerzálnější postup.

50. Jak mohli sčítat zlomky? • Kmenné zlomky při sčítání převedeme na společného jmenovatele. Výsledek opět vyjádříme ve formě egyptského zlomku. • Egypťané mnohdy nepoužili společného jmenovatele, každý kmenný zlomek vyjadřovali jako násobek vybraného zlomku. Tyto násobky nemusely být celočíselné.