МОУ «Лямбирская средняя общеобразовательная школа»

1. МОУ «Лямбирская средняя общеобразовательная школа» Сближение теории с практикой дает самые благоприятные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием ее. Пафнутий Львович Чебышев Тема: «Интеграл и его практическое применение»

2. Цель работы: Расширить область математических знаний. Развивать логическое мышление. Вывести общие формулы, позволяющие решать задачи интегрирования. Показать, что интеграл широко применяется в различных сферах жизнедеятельности.

3. Объект исследования: область математики – интегрирование. Задачи исследования: • - собрать, изучить и систематизировать материал об интеграле; • - рассмотреть, как интеграл используется при решении различных жизненных ситуаций; • - использование интеграла в различных сферах жизнедеятельности.

4. Немного из истории -1675 г (опубликовано в 1686 г) ввел Готфрид Лейбниц - 1675 г, Жозеф Луи Лагранж

5. Строгое изложение теории интегралов появилось только в 19 веке. Но задачами на вычисление площадей занимались математики Древней Греции. Математики Древней Греции Архимед 287 – 212 до н.э Евдокс Книдский 408 – 355 до н. э Демокри́т Абдерский 460 до н.э. - 370 до н.э С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь круга, объём пирамиды и конуса). 3-4 век до н.э. Архимед ввел метод исчерпывания, не существовавший ранее. 5 век до н.э. ученый Демокрит нашел объем пирамиды и конуса, но доказательств своих формул не дал.

6. Метод Исчерпывания Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан, в античные времена у метода не было специального названия. Для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи. Недостатки: • Во-первых, он был исключительно громоздким. • Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. • Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур.

7. Понятие «интеграл» придумал Якоб Бернулли в 1690 году «Интеграл» образован от латинского слова integro(«восстанавливать») и integer («целый»)

8. Исаак Ньютон(1643-1727) Известно, дифференциальное и интегральное исчисление Ньютон открыл ещё в 1665—1666 годы, однако не публиковал его до 1704 года. Лейбниц разработал свой вариант анализа независимо (с 1675 года), хотя первоначальный толчок, вероятно, его мысль получила из слухов о том, что такое исчисление у Ньютона уже имеется, а также благодаря научным беседам в Англии и переписке с Ньютоном. В отличие от Ньютона, Лейбниц сразу опубликовал свою версию, и в дальнейшем, вместе с Якобом и Иоганном Бернулли, широко пропагандировал это эпохальное открытие по всей Европе. Большинство учёных на континенте не сомневались, что анализ открыл Лейбниц. "Разумом он превосходил род человеческий." Лукреций

9. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) « Общее искусство знаков представляет чудесное пособие, так как оно разгружает воображение… Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Обозначения коротко выражают и отображают сущность вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли.» Лейбниц Лейбниц, независимо от Ньютона , создал математический анализ — дифференциальное и интегральное исчисления, основанные на бесконечно малых.

10. интегральное исчисление неопределенный интеграл определенный интеграл (первообразная) (площадь криволинейной фигуры) И.Ньютон Г.Лейбниц

11. Дифференцирование  операция нахождения производных или дифференциалов. х(t) v(t) a(t) Интегрирование  операция отыскания неопределенного интеграла или решения дифференциального уравнения. 

12. Площадь фигуры Объем тела вращения Работа электрического заряда Работа переменной силы Масса Перемещение Дифференциальное уравнение Давление Количество теплоты Применение интеграла

13. Площадь круга

17. Объём тела вращения a=x0<x1<…<xn=b

19. Х h * 5. * xx А1 В1 С1 0 * А В С A2 B2 C2 ЗАДАЧА из геометрии .Найти объём наклонной треугольной призмы с основанием S и высотой h. 1. Введём ось ОХ перпендикулярно основаниям призмы. 2. (АВС)OX=a, a=0, (A1B1C1)  OX=b, b=h 3. Проведём плоскость перпендикулярно ОХ через точку с абсциссой х. А2В2С2-треугольник, равный основаниям. Площадь А2В2С2 равна S. 4. S(x) непрерывна на [0;h] Ответ: V=Sh

20. ЗАДАЧА из биологии Из эксперимента известно, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. За какое время количество бактерий увеличится в m раз по сравнению с начальным? Решение: Пусть x(t) – количество бактерий в момент времени t. x(0) = x0. Изменение количества бактерий со временем описывается уравнением x´(t) = kx(t), k>0, , ln|x| = kt+ln|C|, x=ekteln|C| , x=Cekt - общее решение уравнения.

21. ЗАДАЧА из физики y“=-ω²y – дифференциальное уравнение гармонических колебаний. ω – заданное положительное число y=y‘(x) y“=(y‘(x))‘ Решением являются функции: Y(x)=Asin(ωx+φ), где A – амплитуда колебания, ω – частота, φ – начальная фаза. Графиком гармонических колебаний является синусоида

22. Заключение Применение физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники интегрирования и изучении приложений способствует осознанному качественному усвоению материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в различных науках, формированию мировоззрения, таких специальных качеств, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их, а, следовательно, способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи.