Résumé sur les coniques

1. Résumé sur les coniques « J’espère que mon Power Point va vous être utile, j’ai rajouté des commentaires sur certaines pages pour vous aider un tout petit peu à mieux comprendre la matière :-P … Bonne étude !!! »

2. Les Coniques • Le cercle • L’ellipse • L’hyperbole • La parabole

3. Relations entre les distances a, b et c c b a • c2 = a2 + b2 • a2 = b2 + c2 • b2 = a2 + c2 a: distance entre le centre et le sommet A et A` b: distance entre le centre et les sommets B et B` c: distance entre le centre et les foyers f et f` a b c b c a a b c

4. Relations métriques |d(P,F) – d(P,F`) | = 2a |d(P,F) – d(P,F`) | = 2b d(P,F) + d(P,F`) = 2a d(P,F) + d(P,F`) = 2b d(P,F) = d(P,d) d(P,C) = r

5. Équations canoniques centrées à l’origine et translatées • Cercle: x2 + y2 = r2 (x-h)2 + (y-k)2 = r2 • Ellipse horizontale et verticale: x2 + y2 = 1 (x-h)2+(y-k)2= 1 a2 b2 a2 b2 • Hyperbole Horizontale: x2 - y2 = 1 (x-h)2 - (y-k)2 = 1 a2 b2 a2 b2 • Hyperbole Verticale : x2 - y2 = -1 (x-h)2 - (y-k)2 = -1 a2 b2 a2 b2

6. Équations canoniques centrées à l’origine et translatées (suite) Pour un y il y a deux x • Parabole ouverte vers le haut (1er cas) : x2 = 4cy (x-h)2 = 4c(y-k) y = 1_x2 (y-k) = 1_(x-h)2 4c 4c   • Parabole ouverte vers le bas (2e cas) : x2 = -4cy (x-h)2 = -4c(y-k) y = -1_x2 (y-k) = -1_(x-h)2 4c 4c • Parabole ouverte vers la droite (3e cas): y2 = 4cx (y-k)2 = 4c(x-h) • Parabole ouverte vers la gauche (4e cas) : y2 = -4cx (y-k)2 = -4c(x-h) x1 y x2 y1 Pour unxil y adeuxy x y2

7. Équations générales Cercle: 1x2 + 1y2 – 2hx – 2ky + k2 + h2 – r2 = 0 Ellipse ver. et hor. : b2x2+ a2y2 – 2hb2x – 2ka2y + b2h2 + a2k2 – a2b2 = 0 Hyperbole hor. : b2x2- a2y2 – 2hb2x + 2ka2y + b2h2 - a2k2– a2b2 = 0 Hyperbole vert.:  b2x2- a2y2 – 2hb2x + 2ka2y + b2h2 - a2k2+ a2b2 = 0 Parabole ouverte vers le haut: x2 - 2hx – 4cy + 4ck + h2 = 0 c doit être positif Parabole ouverte vers le bas : x2 – 2hx + 4cy – 4ck + h2 = 0 Parabole ouverte vers la droite : y2 – 4cx – 2ky + 4ch + k2 = c doit être positif Parabole ouverte vers la gauche : y2+ 4cx – 2ky - 4ch + k2 = 0

8. Les régions intérieures et extérieures (inéquations) • Pour toutes les coniques, sauf l’hyperbole horizontale les régions intérieures (< ou ≤) correspondent à celles qui contiennent le où les foyers

9. Les régions intérieures et extérieures (inéquation) • L’hyperbole horizontale est la seule exception, la région qui a les foyers est la région extérieure