ІСТОРІЯ РОЗВИТКУ КОМБІНАТОРИКИ

1. ІСТОРІЯ РОЗВИТКУ КОМБІНАТОРИКИ

2. ЗМІСТ Комбінаторика - важливийрозділ математики. Справи давнини. Перша згадка про питання, близькі до комбінаторних. Комбінаторика в Давній Греції. Комбінаторика та астрологія. Комбінаторика в країнах Сходу. Комбінаторика та азартніігри. Комбінаторика в ієрогліфах та клинописі. Комбінаторика в шифрах та анаграмах. Комбінаторика в біології. Хімічний пасьянс. Комбінаторикаепохикомп'ютерів. Основоположники комбінаторики.

3. Комбінаторика- важливийрозділ математики, знанняякогонеобхіднопредставникамрізноманітнихспеціальностей. З комбінаторними задачами доводиться мати справу фізикам, хімікам, біологам, лінгвістам, спеціалістам по кодах та ін. Комбінаторніметоди лежать в основірішеннябагатьох задач теоріїймовірностей та їїзастосувань.

4. Справи давнини З задачами, в яких доводиться вибиратитічиіншіпредмети, розміщуватиїх в певному порядку івідшуковуватисередрізнихрозміщеньнайкращі, люди стикнулисяще в доісторичнуепоху, обираючинайкращірозміщеннямисливцівпід час полювання, воїнівпідчасбитви, інструментівпідчасроботи. Певним чином розміщувалисяприкраси на одязі, візерункинакераміці. З ускладненнямвиробничихісуспільнихвідносинширшеприходилосякористуватисязагальнимипоняттями про порядок, ієрархію, групування. В тому ж напрямкудіяврозвиток ремесел торгівлі.

5. Перша згадка Перша згадка про питання, близькі до комбінаторних, зустрічається в китайськихрукописах, щовідносяться до XII - XIII ст. до н.е. (точно датуватиці рукописи неможливо, тому що вони в 213 р. до н.е. імператорЦинШихуан наказав спалитивсі книги, тому до нас дійшлипізнішезробленікопії). В цих книгах писалося, що усе в світіявляєтьсяпоєднаннямдвохпочатків - чоловічого та жіночого Середпредметів, покладених в піраміду, де 35 століть тому назад бувпохованийєгипетський фараон Тутанхамон, знайшлирозкреслену дощечку зтрьома горизонталями і 10 вертикалями та фігурки для давньоїгри "сенет", про правила якої ми, можливо, ніколи не дізнаємось. Пізнішез'явилисьнарди, шашки йшахмати, а такожїхрізноманітніваріанти (китайські та японськішахмати, японськіоблавні шашки "го" і т.д.). в кожнійзцихігордоводилосярозглядатирізноманітнікомбінаціїфігур, щомализдатністьпересовуватись, та вигравав той, хтоїхкращевивчив, знав переможнікомбінації та вмівуникатипрограшів.

6. Комбінаторика в Давній Греції Говоритизповноювпевненістю про рівеньзнаньдревніхгреків в областікомбінаторикидужеважко, оскільки до нас дійшли далеко не все зїхнауковихдосягнень. В 391 р. н.е. натовпмонахівзруйнував центр язичної науки - олександрійськийМузеум - і спалив більшучастинузберігаємої там бібліотеки, щоналічувалабагатотисячтомів. Можна все ж таки судити, щопевніуявлення про комбінаторику у грецькихвченихбули. ФілософКсенократ, що жив в ІV ст.. до. н.е. підраховувавкількістьскладів. В ІІІ ст.. до н.е. стоїкХрисиппвважав, щокількістьтверджень, отримуванихз 10 аксіом, перевищуємільйон. На думку Геппарха, ізстверджуючихаксіомможнаскласти 103 049 сполучень. Конкретнікомбінаторнізадачі, щоторкалисяперерахунку невеликих группредметів, греки розв'язували без помилок. Аристотель описав без пропусківвсівидиправильнихтричленнихсилогізмів, а йогоученьАристоксензТарентаперерахуваврізноманітнікомбінаціїдовгихі коротких складів у віршовихрозмірах. Математик Папп (ІV ст. н.е.) роздивлявся число пар ітрійок, якіможнаотриматизтрьохелементів, не забороняючиїхповторення

7. Великуувагугрецьківченіприділялипитанням, граничнимміжкомбінаторикою та теорією чисел. Ще в VІ ст. до н.е. в школіфілософа-ідеалістаі математика Піфагоравиниклотвердження, щосвітомправлять числа, а речілишевідображення чисел . Як ікитайці, піфагорійці надавали особливезначення числу 36 - вонобуло для них не тільки сумою перших 4 парнихі перших 4 непарних чисел, алей сумою перших трьохкубів. Символом бездоганності для піфагорейцівважалибездоганні числа, щодорівнювалисумісвоїхдільників, наприклад, 6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 а символом дружби - дружні числа, кожнезякихдорівнюєсумідільниківіншого числа (наприклад, 220 і 284). Пошук таких чисел потребувавкомбінаторноїмайстерності. Перехідвідплощини до простору дав можливістьбудуватищебільшскладні числа. Наприкладзтрикутниківможнаскластипіраміди. Підраховуючикількістькрапок в таких пірамідах, прийшли до пірамідальних чисел 1, 4, 10, 20, ..., щобули сумами ряду 1 + 3 + 6 + 10 + ..., складеногознатуральних чисел. Проте подальше узагальненняпотребуваловведеннябагатомірнихпросторів, що лежало за рамками можливостейдавньогрецької математики.

8. Комбінаторика та астрологія З ІІ ст. до н.е. починаєтьсяспочаткупоступовий, а потім все більшшвидкийзанепад науки. Одночаснозкабалістамиімістикамикомбінаторикою в цітемністоліттязанепаду науки займались астрологи. Їхцікавилопитання про рух планет іїх "вплив" на долі людей. Особливезначення надавали вони порядку планет - зустрічіпланет одному знаку Зодіаку. Астролог Бен Езра у 1140 роцірозрахувавкількістьсуміщень семи планет по дві, по три і т. д. Він знав, що число суміщень планет по двідорівнює числу їхсуміщень по п'ять, а число суміщень по три дорівнюєдорівнює числу суміщень по чотири. В остаточному вигляді формулу для числа суміщеньотримав математик Левібен Гершон (початок XIV ст.), Протейого робота, написана на малодосяжному для багатьохвченихдревньоєврейськіймові, залишиласьмайженепоміченою

9. Комбінаторика в країнах Сходу В VIII ст. н.е. почавсярозквітарабської науки. Арабипереклалибагатотворівгрецькихучених, вивчилиїх, а потім просунулись вперед по областях, мало звертавшихувагугреків, - в науці про рішеннярівнянь (саме слово "алгебра" - арабськогопоходження), теорії та практиціобчисленьтаін. Вирішуючипитання про знаходженнякоренівзбудь-якогостепеня, арабськіалгебраїстививели формулу для степенісумидвох чисел, яка відомапідневірноюісторичноюназвою "біном Ньютона". Напевно цю формулу знав поет і математик Омар Хайям (ХІ - ХІІ ст. н.е.). у будь-якомувипадкувжеі ХІІІ ст. таку формулу друкує в своїхтворахНасирад-Динат-Туси, а в XV ст. вона буларетельнодослідженаГияседдиномал-Каші. Судячи по деякихєвропейськихджерелах, східним до арабськихоригіналів, для пошуківкоефіцієнтівцієїформули брали число 10001 и зводилийого до 2-го, 3-го, ......, 9-го степеня. Виходилатаблиця в якійжирним шрифтом буливиділенікоефіцієнтибінома Ньютона.

10. Одночасноз арабами вирахуваннямбіноміальнихкоефіцієнтівзаймалиськитайські математики. Вони склали до ХІІІ ст. н.е. таблицю таких чиселдо n=8, наведену в книзіалгебраїстаЧжуШи-дзе"Ямшоведзеркало". Існуютьздогади, що І Сінь в VIII ст. н.е. вирахувавкількістьрізнихрозміщеньфігур у грі, щонагадувала шахи.  Цікавилисьсуміщеннямиі в Індії. Ще в ІІ ст. до н.е. індійці знали числа Сknі той факт, що сума C0n + C1n + … + Cnnдорівнювала 2n. А в ХІІ ст. індійський математик Бхаскара написав книгу "Лілаваті", в якійсередіншихпитань математики вивчаєіпроблемикомбінаторики. Вінпише про застосування перестановок до підрахункуваріацій у віршоскладанні, різнихрозміщень в архітектурі та ін. Вінтакождає правила для пошуку числа перестановок та суміщеньдекількохпредметів, при чомурозглядаєівипадок, коли в цих перестановках єелементи, щоповторюються.

11. Комбінаторика та азартні ігри Значнийпоштовх до розвиткукомбінаторики дали азартніігри, якііснувалище в глибокудавнину, алеотрималиособливерозповсюдженняпісляхрестовихпоходів. Найбільшупопулярністьотрималагра в кості - два чи три кубики знанесеними на них очками кидали на стіл, івигравав той, хтоотримувавбільшукількістьочок. Одним знайазартнішихгравців в кості у XVII ст. бувшевальє де Маре, котрий без перестану знаходивновівидизмагань. Наприклад, вінзапропонував, що буде кидатичотирикостіібудебративиграшлише у випадку, коли хоча б одна з них відкриється на шести. Проте скоро йогопартнеривідмовилисьвідтакоїгри - шевальєчастішевигравав, ніжпрогравав. Тоді де Маре придумав іншийваріант - він кидав декілька раз пару костей і забирав виграш в тому випадку, якщохоча б раз випадалидвішестірки. Треба булолишевизначити, скількипотрібнозробитикидків, щобграбулайомутака ж вигідна, як і перша. Шевальєвирішив, що треба кидати 24 рази. Адже при чотирьохкидкаходнієїкостішестіркавипадалабільшніж у половинівипадків, а так як друга кость даєшістьваріантіввипадання, то й треба помножити 4 на 6.Роздуми здавалисянезаперечними, аледосвід не підтвердивнадій де Маре - тепервін став частішепрогравати, ніжвигравати. В повномунерозуміннівінзвернувся до двох великих математиківФранції XVII ст. - Блезу Паскалю та П'єру Ферма. Розбираючись в цій та інших задачах, поставлених перед ними де Маре, вони сформулювалиі довели першітеоремикомбінаторики та теоріїймовірностей.

12. Комбінаторика в ієрогліфах та клинописі Навички в розгадціскладнихшифрівдопомоглиученим, коли археологи почали відкопуватикамені та черепизтаємними знаками - письменністю, щозамовкладекількатисячоліть тому. Одним знайкращихуспіхів у розшифровці було читання французьким філологом Жаном Франсуа Шампольнимієрогліфів, якими писали єгиптянище до того, як виникла наука у древніхгреків. Цебуло торжеством комбінаторного методу у читаннізабутихписемностей, заснованого на спостереженні за текстом, на співставленніповторюваннікомбінаційслів та граматичних форм в поєднаннізуявою. Щетіснішепов'язаназкомбінаторикоюрозшифровкаклинописів. Історикамвдалосязясувати, щоці надписи булозроблено в епохуАхеменідів, що правили в Ірані два з половиною тисячоліття тому назад. Були зробленііприпущення про мовунадписів. А потімкомбінаторнийаналіз тексту виявивчастеповторенняпевноїгрупизнаківз семи знаків. Комбінаторика дозволила прочитатиікрито-мікенськелінійне письмо. Першінадійніосновирозшифровкицієїписемності заклала Аліса Д. Кобер, яка захистила у 1932 р. докторськудисертацію по математиці у Колумбійськомууніверситеті.

13. Комбінаторика в шифрах та анаграмах Не тількиазартніігриспонукалиматематиків до комбінаторнихроздумів. Ще в кінці XVI ст. розшифровкоюпереписівміж ворогами французького короля Генріха ІІІ та іспанцямизаймався один ізтворцівсучасноїалгебри Франсуа Вієт. А в Англії XVII ст. монархічнізаколотникидивувалисьшвидкості, зякою Кромвель проникав у їхзамисли. Монархістивважалишифри, якими вони користувались при переписі, нерозшифрованими, івважали, щоключі до них буливиданікимсьзучасниківзаколоту. І лишепісляпадінняреспубліки та царювання Карла ІІ вони дізналися, щовсіїхшифрирозгадував один знайкращиханглійськихматематиків того часу, професорОксфордськогоуніверситетуУолліс, котрийволодіввинятковимикомбінаторнимиможливостями. Він назвав себе засновникомнової науки "криптографії". Текстизпереставленимилітераминазиваютьсяанаграми. Проте не завждианаграми дозволяли зберегти все у таємниці. Коли Гюйгенс відкрив перший супутник Сатурна та визначивйого порядок обертаннянавколопланети, вінвиклавсвоєвідкриття в анаграміівідправивїїсвоїмколегам. ПротевжезгадуванийвищеУолліс, отримавцюанаграму, розгадавїї, післячогосклав свою анаграму та відправивїї Гюйгенсу. Коли вченіобмінювалисярозгадкамианаграми, то вийшло так, немовУоллісще до Гюйгенса зробив те ж самевідкриття. ПотімУоллісзізнався, щопожартувавізГейгенсом, щоб довести безкорисністьанаграм у справітаємності. Проте, хочаГейгенсі сам був великим любителем ізнавцемкомбінаторики, він не оцінив жарту ірозізлився.

14. Комбінаторика в біології Складністьбудовибіологічних систем, їх строга ієрархічність, взаємопоєднанняокремихпроцесів в ціломуорганізміроблятьбіологіюпідходящим полем для прикладаннякомбінаторнихметодів.Радянськийбіолог А. А. Любищєв припускав навіть, щосхожістьрослин та морознихвізерунків на вікнах не випадково - в обохвипадкахпроявляютьсяпевнізаконикомбінуваннячастинводнеціле. Однієюзнайбільшскладних загадок в біології ХХ ст. булабудова "ниток життя" - молекул білкаінуклеїнових кислот. Поєднуючикомбінаторнірозглядизвивченнямрентгенівськихзнімків, вченимвдалосярозгадатибудовубагатьохбілків, в тому числігемоглобіну, інсуліну та ін. Коли біологи почали вивчати передачу генетичноїінформації у бактерій, то помітили, що в процесіцієїпередачіхромосомипереходятьвідоднієїбактерії до другої не цілком. Виникла потреба визначити порядок розміщеннягенів у хромосомі. Французьківчені Жакоб та Вальмонпорівняликарти хромосом тапомітилиїхкомбінаторнусхожість. Найбільшимдосягненнямкомбінаторногопідходу до проявівжиттяможнавважатирозшифровкубудовидезоксирибонуклеїновоїкислоти (ДНК), зроблену в Кембриджі Ф. Криком та Дж. Уотсоном у 1953 р..

15. Хімічний пасьянс Небагатознайдетьсяднів в історії науки, якіможнапорівняти по своємузначеннюз 17 лютим 1869 р. у цей день з хаосу хімічнихелементів, кожензякихмавсвоївластивості, виниклатаблиця - буввідкритийперіодичний закон. ЦевідкриттябулозробленоДмитромІвановичемМендєлєєвим, професоромПетербурзькогоуніверситету. Готуючи курс лекцій по загальнійхімії, вінзадумався над порядком, в якомупотрібнобулорозповідати про елементи. Розкладуючисвійхімічний пасьянс, великий вченийпіслянапруженихроздумів, знайшовправильнерозміщенняелементів. Кажуть, щокінцевийвиглядтаблиці постав перед ним у сні, коли, стомленийнеперервнимироздумами над нею, вінприлігвідпочити. Не тільки у відкриттіперіодичноїсистемиелементіввиявиласькорисноюкомбінаторика. Як відомосередобмеженихоб'єднаньзустрічаютьсяіізомери, тобтооб'єднання, котрімають один і той самий склад, алерізнубудову. Комбінаторика дала можливістьперерахуватиусіізомериданого складу.

16. Комбінаторика епохи комп'ютерів В цюепохудискретної математики зміниласьі роль давньоїобластідискретної математики - комбінаторики. З області, щоцікавилабільшучастинуавторів задач та знаходилаосновнізастосування в кодуванніірозшифровцідавніхписемностей, вона перетворилася на область, щознаходилась на магістральному шляху розвитку науки. За допомогою ЕВМ стало можливимробити перебори, щоранішепотребувалисотеньітисячроків. Тепертакіабстрактніобрази математики, як математичналогіка, загальна алгебра, формальніграматики, стали прикладними - для складанняалгоритмічнихмов, на якихпишутьпрограми для машин. 

17. Основоположники комбінаторики Яков Бернулли П'єр Фермá Леонард Эйлер Коши Огюстен Жозеф Луи Лагранж

18. Використані джерела: Є.П.Нелін.Алгебра: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. – Харків <<Гімназія>>,2011.-447 с. Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.: СПбГУАП, 2001. — 37 c. Андерсон Джеймс Дискретная математика и комбинаторика = DiscreteMathematicswithCombinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 960. — ISBN 0-13-086998-8 Р. Стенли Перечислительная комбинаторика = EnumerativeCombinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2 Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.