数学教师的“三项基本功”

1. 数学教师的“三项基本功” 郑毓信 （2012）

2. 简介 • 1965年毕业于江苏师范学院数学系；曾在中学长期任教；现为南京大学哲学系教授、博士生导师。1992年起享受政府特殊津贴。 • 主要研究领域：数学哲学；科学哲学；数学教育与科学教育。 • 已出版著作28部，发表论文300多篇。

3. 背景：课改十年的必要总结与反思 • 聚焦教学观摩：“外行看热闹，内行看窍门。” • 更为一般的结论：“立足专业成长，关注基本问题。”（2010） • 进一步的思考：一线教师如何实现自己的专业成长？

4. 问题的细化 • 数学教师是否应当具有自己特殊的基本功？ • 数学教师的三项基本功： （1）善于举例； （2）善于提问； （3）善于比较与优化。

5. 一些具体工作 • 郑毓信，“数学教师的三项基本功”，《人民教育》，2008年第18、19、20期连载，并已被收入“《人民教育》创刊60周年系列丛书”。 • 郑毓信，《数学教师的三项基本功》，江苏教育出版社，2011

6. 基本定位 • “三项基本功”集中地反映了数学与数学教学（教育）的特殊性。 • “三项基本功”并非单纯的技能，而是专业能力的集中表现；特别是，就只有联系深层次的教学思想和教育思想我们才能真正理解它们的内涵和意义。 • 我们并应依据自己的个性特征创造性地加以应用。

7. 一、“善于举例”与数学教学 • 从“什么是数学”谈起？ • 一个基本论点：“数学：模式的科学”（mathematics：the science of patterns） • 数学所反映的不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。

8. 进一步的分析 • 数学基本特性：抽象性。 • “善于举例”的两个具体涵义： （1）如何能为抽象的数学概念举出适当的实例？ （2）如何能够帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念？

9. 插入：学习心理学研究的相关结论 • “概念定义”与“概念意象”的必要区分。 • 概念意象的多元性：它“由所有的相关实例、反例、事实和关系组成。”（维纳与赫什科威兹，1980）

10. （1）什么是“适当的例子”？ • 标准之一：相对于学生的可接受性； • 标准之二：典型性，即是能为相应的数学抽象提供必要的基础。 • 这方面的一个基本事实：举例并非一件易事。

11. [例1] “范例教学法”（R. Davis) • 为了帮助学生掌握负数的概念，特别是有理数的运算（如4 - 10 = ?），教师采用了一个装有豆子的口袋，再在桌上摆上一些豆子。 • 教师先在口袋中装入4 棵豆子，同时在黑板上记下“4”这样一个数字；然后从口袋中拿出10棵豆子，这时黑板上就出现了“4 - 10”这样一个算式。 • 教师接着提问：（1） 现在口袋里的豆子与一开始相比是变多还是变少了？（2） 少了多少？ …

12. 相关的分析 • 这些实物和动作对于学生来说都是十分熟悉的。 • 好的“认知基础”并应具有这样的性质：它能“自动地”指明相关概念的基本性质或相关的运算法则。这就是指，借助于这一实例学生可以顺利地作出相应的发现。如学生在此显然就可借助所说的实例顺利地实行 4 - 10、5 – 8等运算，而无须依赖于对相应法则的机械记忆。

13. [例2] “植树问题”的教学 • 如何看待“植树问题”的教学？特别是，这一问题所发挥的究竟是案例的作用，还是其本身就体现了一些十分重要的规律？ • 我们在教学中应当更加关注如何能以“植树问题”为背景抽象出普遍的数学模式：“分隔问题”。

14. （2）如何帮助学生由实例抽象出相应的数学概念？（2）如何帮助学生由实例抽象出相应的数学概念？ • 关键之一：去情境； • 教学辩证性与艺术性：范例的作用与必要的抽象； • 相关理论：“变式理论”（“概念变式”）。 • 核心思想：如何通过适当的变化与比较帮助学生掌握概念的本质。

15. “概念变式”的主要内容： （1）“标准变式”与“非标准变式”： 教学中不应局限于平时经常用到的一些实例，而应有意识地引入一些“非标准变式”，从而就可防止学生将相关实例的一些非本质特性误认为概念的本质特性。

16. （2）“概念变式”与 “非概念变式”： “非概念变式”大致地就相当于“反例”，这也就是指，除去“正例”以外，我们在教学中还应给出若干“反例”，这样通过对照就可帮助学生更好掌握概念的本质。

17. [例] “认识分数” • 引入：“分蛋糕”。教师并通过简短讨论引出了这样一个结论：“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2。” • 问题：如何以“变式理论”（概念变式）为指导设计教学从而帮助学生较好掌握分数的本质？

18. （1） 分割的对象显然未必一定要是蛋糕，也可以是纸片或别的什么东西；对于分割对象的外形我们也不应作任何限制：它们既可以是圆形，也可是方形或任何其它形状。 （2）对分割方法也可作出一定变化。如就长方形纸片的分割而言，可以横着折，也可以竖着折，还可钭着折；另外，除去各个“正例”以外，我们也应引入一定的“反例”，如按照中位线分割的梯形等

19. （3）作为进一步的抽象，我们又应由1/2逐步扩展到1/3，1/4，……乃至2/3，3/4，……。从而，如果仍然集中于“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2”这一论述，我们就可以说，除去分割的对象与方法以外，我们也应对“平均分成两份”中的“两份”以及所说的“每份”作出适当变化。（3）作为进一步的抽象，我们又应由1/2逐步扩展到1/3，1/4，……乃至2/3，3/4，……。从而，如果仍然集中于“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2”这一论述，我们就可以说，除去分割的对象与方法以外，我们也应对“平均分成两份”中的“两份”以及所说的“每份”作出适当变化。

20. （4）这事实上也可被看成“非标准变式”的一个实例，即分配的对象也可以是2个蛋糕、3个蛋糕，而未必一定要是1个蛋糕——容易看出，这一变化事实上也就意味着我们已经将分析的着眼点由“（平均）分配”这一实际活动转移到了部分与整体之间的关系，后者并就意味着对于分数本质更为深入的认识。（4）这事实上也可被看成“非标准变式”的一个实例，即分配的对象也可以是2个蛋糕、3个蛋糕，而未必一定要是1个蛋糕——容易看出，这一变化事实上也就意味着我们已经将分析的着眼点由“（平均）分配”这一实际活动转移到了部分与整体之间的关系，后者并就意味着对于分数本质更为深入的认识。

21. 回顾：如何帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念？回顾：如何帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念？ • 关键：通过适当的变化与比较帮助学生掌握相关概念的本质。

22. 新的重要发展：由“变式理论”到“多元表征理论”新的重要发展：由“变式理论”到“多元表征理论” • 传统的研究：主要集中于如何帮助学生很好地掌握概念的本质（单一性）。 • 新的认识：更加强调概念内在表征（概念意象）的多元性，以及各方面的必要互补与思维的灵活性

23. 一些相关的提法 • 布鲁纳（1964）的三种意象形式：动作的、图像的，和符号的； • Lesh & Laudan（1983）的“五个维度”：实物操作，图像，日常语言，符号语言、现实情景。

25. 相应的结论 • 我们既应高度重视由实例向概念严格定义的必要过渡，又应适当地“淡化形式”，高度重视认识活动的复杂性（多元性）与整合性。

26. 具体的教学建议 （1）形象化的描述与严格定义的必要互补。 • 除去实际操作与情境设置以外，教学中还应十分重视“概念的形象化（视觉化）”，如比喻和手势的适当应用，适当的图象表示，等等。 • 关于“方程”的三个比喻：天平，架桥，网。

27. 相关的论述 • “教师用手势说明自己的表征；或者使用空间表征，比如代数学习中的箭头说明自己的表征；教师并有意识地促使学生建构和运用表征；教师要求学生以手臂、手指或身体移动等展现表征的肌体运动；……”（普雷斯梅杰，2006）

28. （2）抽象思维与具体思维的必要互补 • 一个很好的经验：“在做小研究时，学生一定要找到一个最根本、最具体、最直接的例子，然后把这个例子带进课堂进行展示，大家交流、拓展。”（深圳市沙河小学关于“前置小研究”的经验之一，《人民教育》，2012年第9期）

29. （3）日常语言与数学语言的必要互补 • 教学中不应停留于严格的数学语言，而应注意应用日常语言对相关内容作出必要的解释，并要求学生用自己的语言说出对数学概念的理解，甚至是感受。 • 关键：我们既应对学生的非正规解释持接受与理解的态度，同时又应注意维护数学的正式意义。

30. [例] 正方形的认识 • 教师：“什么是正方形？” • 学生：“方方正正就是正方形。” • 教师：“什么是方方正正？” • 学生：“就是四边相等。” • 教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形是否是正方形？” • 学生：“不是，因为它不正。”

31. 教师又在黑板上画一个矩形，问：“这是否正方形？”教师又在黑板上画一个矩形，问：“这是否正方形？” • 学生：“不是！因为这个图形不方。” • ………教师将学生回答得正确的结论写在黑板上，回答不正确的不写，最后加以补充总结，抽象出正方形的定义。

32. （4）操作性认识与结构性认识的必要互补 • 当前应当加强的环节：活动的内化；由操作性认识向结构性认识的必要过渡。 • 相关的论述：“对概念教学，课改以后更为强调概念的生成，这是正确的。但不能忽视对概念本身的分析，这可是基本功。”（陈永明，2008）

33. 更为一般的分析 • 概念教学的不同环节：（概念的）生成、分析与组织。 • 相关的论述：“为了理解一个概念，一般说，一是正反举例；二是扣住定义的关键词语；三是注意特殊情况；四是与有关概念进行比较，找出概念的区别和联系。” （陈永明，2008）

34. 一个相关的问题：什么是“数学活动”？ • 数学活动的两个基本形式： （1）概念的生成、分析与组织； （2）问题的提出与解决。

35. 举例与“问题解决” • “解决问题时，必须通过提供相关案例……向学习者提供他们不具备的经验……通过在学习环境中展示相关案例，……向学习者提供了一系列的经验和他们可能已经建构的与这些经验有关的知识，以便与当前的问题进行对比。”（乔纳森 ）

36. 相关的经验 • “我提倡‘一题一课，一课多题’——一节数学课做一道题目，以一道题为例子讲解、变化、延伸、拓展，通过师生互动、探讨、尝试、修正，最后真正学到的是很多题的知识。”（李成良，2010）

37. 更为一般的主张 • “双基教学”的必要发展： 基本技能，不应求全，而应求变； 基础知识，不应求全，而应求联。

38. [例] 回到“植树问题” • 问题：教学中是否应当特别重视“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”这样三种情况的区分，并要求学生牢牢地记住相应的计算法则（“加一”、“不加不减”、“减一”），从而在面对新的类似问题时就能不假思索地直接应用？

39. 有益的思考 • 就“植树问题”而言，在现实中是否真的只有“两端都种”、“只种一端”、“两端都不种”这样三种情况？ • 对于其它的可能情况我们是否也应要求学生总结出相关类型，并牢牢记住相应的“规律”（“加二”、“减二”、“乘二”、“除二”……）？

40. 不同的结论 • 所谓的“加一”、“减一”等法则都是针对具体情况作出的变化——从而，在此所需要的就不是“规律的应用”；而是思维的灵活性，也即如何能够通过基本模式的适当变化适应变化了的情况。 • 回顾：基本法则的学习，不应求全，而应求变！

41. 插入：一个“反例” • 教学中的“病态现象”（施银燕，《小学教学》，2011年第4期）： “小明踢球，从3时踢到5时，他踢了几小时？”我的孩子有得3小时的，通过数数就能检验出是错误的，他们却深信不疑：‘我们学过植树问题，5-3+1=3。”

42. 小结 • “善于举例”有利于实现“理解学习”。 • 相关研究不应局限于如何能够针对具体内容选择出适当的“例子”，也应十分重视如何很好地去处理数学的形式方面与非形式方面之间的关系。 • 基本技能的学习，不应求全，而应求变。

43. 二、“善于提问”与数学教学 1 . “问题”对于数学和数学教学的特殊重要性。 （1）数学发展的基本模式： 问题—问题解决—新的研究问题—…… 这就是指，“问题”可以被看成数学研究的实际出发点。

44. 一个相关的现象 • 每个数学分支都具有自己特殊的基本问题，相应的理论正是围绕这些问题得到建立的。

45. （2）从教学教学的角度看 • 教学活动实现”双中心”的关键。 • 中国数学教学的一项优秀传统：“教师试图获得一种平衡，教学也就变得既以学生为中心又以教师为中心。”（ 马飞龙， “什么是好的教学？”，《人民教育》，2009年第8期）

46. 国际上的相关研究 • “那些自诩为绝对真理的建议，无论认为教学应当完全‘以学生为中心’，还是认为教学应当完全‘由教师主导’，都得不到研究的支持，因此不应当遵循。采取何种教学方法应当根据具体情况来决定。”（美国《数学咨询委员会最终报告》）

47. 进一步的思考 • 在教学中如何才能真正做到既尊重学生在学习活动中的主体作用，同时又能充分发挥教师的主导作用？

48. 相关的经验 • “河南省濮阳市第四中学教学改革纪实” （《人民教育》，2009年第6期） ：“老师和学生都应以问题为中心进行双向的互动，实现双主体的双互动。” • “辽宁省调兵山市教育内涵发展纪实”，《人民教育》，2011年第20期）：“2003年教育局提出‘以问题为中心设计’课堂教学，…… 经过8年摸索和实践，形成教学模式，2011年正式命名为‘问题引导教学法’。”

49. 结论：数学教学中的“问题导引” • 教师在教学中应当善于提出既有一定挑战性、同时又与学生的认知水平相适应的问题，从而很好调动学生的好奇心，并能积极地去进行学习，包括深入地进行思考和探究。

50. 应当注意的问题（1） • 这里所说的“问题”并不只是指源自实际生活的问题，也包括其它方面的问题，以及源自数学本身的问题。 • 相对于简单地去提出问题而言，我们在教学中更应注意“问题情境”的创设。