第 八 章 运 算 方 法

1. 第 八 章 运 算 方 法

2. 执行算术和逻辑运算的指令以及微操作是任何CPU的一个必不可少的重要部分。执行算术和逻辑运算的指令以及微操作是任何CPU的一个必不可少的重要部分。 1. 几种常用数据格式的算术运算算法和它们的硬件实现。包括定点数表示及其加、减、乘、除过程和硬件实现，二—十进制（或BCD）码的格式和操作。 2. 提高算术操作性能的专用硬件。 （流水线、查找表、华莱士树） 3. 介绍浮点数的格式和它们的算术操作。包括浮点数的格式，性质，以及加、减、乘、除过程和硬件实现，还有IEEE 754浮点数标准。

3. 8.1 无符号表示法 有两种常用的无符号表示法： 非负数码：表示0或一个正数。n位非负数码的数值范围为0 （所有位都为0）到2n-1（所有位都为1）。 2的补码（简称补码）：既能表示正数又能表示负数。n位数 的数值范围为 -2n-1到2n-1-1。当最高位为1时表示负数，最高位为0时表示正数（包括0）。正数（包括0）的补码与非负数码相同，负数的补码为其绝对值的2的补码，等于它的绝对值按位取反（该数的1的补码，简称为反码），加1。

4. 例如，求-5的4位补码表示，首先求出它的绝对值5（0101），产生反码值1010，再加1得补码1011。例如，求-5的4位补码表示，首先求出它的绝对值5（0101），产生反码值1010，再加1得补码1011。 下表列出了8位二进制数的非负数码和补码表示的数值。 表8.1 无符号表示的数值

5. 8.1.1 加法和减法 加法直接采用二进制加法实现，硬件中通过使用一个并行加法器来实现，如下图所示。 X和Y是8位寄存器，该电路实现微操作 ADD：X←X+Y 只要结果在正常范围内（对非负数码而言为0到2n-1，对2的补码而言为-2n-1到2n-1-1），该电路就能得到正确的结果。 图8.1 微操作X←X+Y的实现

6. 当结果不能表示为一个8位数值时就会导致溢出：当结果不能表示为一个8位数值时就会导致溢出： 例如，非负数码加法255 +1，即1111 1111 + 0000 0001，直接加得 1 0000 0000，有9位，不能存于8位寄存器中。 并行加法器产生额外的进位输出，它用来标志算术溢出。在非负数码中，这个进位能置溢出标志，它提示系统产生了溢出，所得结果不完全正确，系统应进行相应的结果修复处理或错误处理。 在补码中，判断溢出不但要检查进位输出，还要检查结果最高位的进位输入。如果这两者相等，那么不产生溢出，否则产生溢出。见下图：

7. 溢出 溢出 图8.2 补码加法的溢出产生 在（a）和（c）中最高位的进位输入和进位输出相等，不产生溢出；而在（b）和（d）中两者不等，产生溢出。

8. 减法可以转换成加法，即X – Y通过执行X +（-Y）来实现。首先将Y转换成 –Y的补码，再将 –Y的补码与X的补码相加即可得X – Y的补码：[X – Y]补=[X]补+[-Y]补 左图给出了执行微操作 SUB：X←X–Y 的一种硬件实现。 图8.3 微操作X←X–Y的实现

9. 对于非负数码，减法的结果不会比2n-1大，但可能比0小。例如，1–2执行为0000 0001+1111 1110 = 1111 1111，即255。 此时，如果减法（通过补码加法实现）产生了进位输出0而不是1时，则发生了溢出。 溢出 图中 （b）和（d）溢出，而 （a）和（c）没有溢出。 溢出 图8.4 无符号2的补码减法的溢出产生 同样，补码减法也将X–Y转换成X +（–Y）来执行，而判断溢出的条件与补码加法相同。

10. 8.1.2 乘法 乘法可以看成加法的重复。一个数乘以n与n个该数相加的结果相同。可以用下列算法来实现乘法x×y。 z = 0； FOR i = 1 TO y DO { z = z + x } 这种算法不理想，原因是速度慢、计算x×y的时间不确定。我们希望不论x 、y取何值，执行乘法的时间相同。 x = 2 7 y = 2 5 3 8 1 1 3 5 5 4 6 8 3 1

11. 这个过程被称为移位——相加乘法。首先计算每个部分积并左移到正确位置，然后再将所有的部分积相加。这个过程被称为移位——相加乘法。首先计算每个部分积并左移到正确位置，然后再将所有的部分积相加。 对这个算法稍做修改，使得硬件实现更为简单，就可得到无符号非负二进制数的乘法基本算法。 第一个修改是每求出一个部分积后就计算和： 因为硬件上，二输入加法器很容易实现，而三输入或多输入的加法器则变得非常复杂。 x = 2 7 y = 2 5 3 8 1 1 3 5 1 4 3 1 ←计算的和 5 4 6 8 3 1 ←最终计算的和 任何时候都没有多于两个数的加。 注意：每一个部分积都逐次左移一位，因此排列的位置不同。在当前和与部分积的相加中，某些位的运算不必要。

12. 第二个修改用右移当前和代替左移部分积： x = 27 y = 253 81 ←右移一位 81 ← 1被右移出，故不参加加法运算 135 1431 ←右移一位 1431 ← 3 1被右移出，故不参加加法运算 54 6831 ← 最后右移一位 6831 每次都是相同的两列数字进行加法。已经右移到这两列右边的数字只是简单的写下，不进行加法。

13. 若用二进制，被乘数不是乘以0就是乘以1，因此部分积不是0（X×0 = 0）就是被乘数的值（X×1 = X）。 算法 ：两个n位寄存器的值X和Y的移位——相加乘法 n位寄存器U和V：保存结果 （中U保存结果的高n位，V保存结果的低n位） C是一位寄存器：用来保存执行加法时的进位 U = 0； FOR i = 1 TO n DO { IF Y0 = 1 THEN CU = U + X； 线性右移CUV； 循环右移 Y }

14. 考虑乘法： 13×11，即1101×1011 初始化X = 1101，Y = 1011

15. 算法的RTL代码如下所示。注意：当i = 0时，Z = 1；而1，2，3是连续的状态，即算法是由状态1到2再到3的。 1：U←0，i←n Y02：CU←U + X 2：i←i-1 3：shr(CUV)，cir(Y) Z’3：GOTO 2 Z 3： FINISH←1 表8.3列出了13×11的RTL代码的执行步骤。同样初始化X = 1101，Y = 1011。除了在每个周期增加了满足的条件和执行的微操作外，表8.3同表8.2一样。

16. 表8.3 移位——相加乘法RTL代码的执行轨迹

17. 根据 RTL代码设计硬件。 硬件包括两部分：寄存器部分，微操作在此执行； 控制部分，产生需要的控制信号和状态值。 X —— n位寄存器 Y、U、V —— n位移位寄存器 （当SHR信号有效时它们右移一位） 寄存器i ——存储值n的递减计数器 C和FINISH ——一位寄存器 在寄存器之间设置数据通路来实现RTL代码中的微操作所要求的数据传送。 将i的所有位异或在一起产生Z，即仅当i的所有位都为0（i = 0）时，Z才为1。

18. 3 图8.5 移位——相加乘法算法的 硬件实现

19. 考察图8.5给出的控制部分，看它是如何实现RTL代码的。考察图8.5给出的控制部分，看它是如何实现RTL代码的。 当START置1时，State Counter和FINISH清零，Decoder工作。Decoder输出1，使U清零，数n装载到i中。 State Counter加1到01， Decoder输出2。使i减1，并且，若Y0 = 1，将U + X保存在CU中；若Y0 = 0，则C、U的值不变。 State Counter加1到10， Decoder输出3。此时，C、U、V都右移一位。以下两件事必有一件发生： 当Z = 0时，State Counter被装载值01， Decoder输出2，实现操作“GOTO 2”。 否则Z = 1时，FINISH置1，Decoder使能端置0，不再输出1，2，3，硬件停止工作。

20. 如果不要求保存原值，则可以进一步优化算法，使硬件实现更简单。特别是如果Y值不要求保存，可将其值保存在V寄存器中，则乘法转换为UV←X × V。每次检查V的最低位V0，若为1，执行加法。下一步执行右移时，该位将丢弃，因为它不再需要使用。修改后的RTL代码为： 1：U←0，i←n V02：CU←U + X 2：i←i-1 3：shr(CUV) Z’3：GOTO 2 Z 3： FINISH←1 与前面的代码有两处不同：一是CU←U + X的条件由Y02改为V02；二是减少了cir(Y)的操作。 除了C和U的LD信号改为V0∧2，以及去掉了寄存器Y之外，该代码的硬件实现与图8.5的相同。

21. 下表显示改进后的RTL代码执行13 × 11的步骤。 表8.4 改进后的RTL代码的执行步骤 除了初始化V寄存器和去掉Y寄存器之外，该表与表8.3相同。

22. 8.1.2.1 布斯算法 对于无符号补码数据，上面的算法并不总能得出正确的结果。上一个例子（ 13 × 11）中，1101 和1011的补码表示分别为–3和-5，它们的积应是+15；而上面的算法将得出结果1000 1111，即 –113，显然是错的。 原因是该算法仅能处理两个正数相乘，当有一个或两个操作数为负数时，通过执行下面的程序，上面的算法仍然可以使用： IF 被乘数< 0 THEN 被乘数←- 被乘数； IF 乘数< 0 THEN 乘数←- 乘数； 用非负数乘法进行乘法运算； 恢复被乘数和乘数的原值； IF 被乘数和乘数中有一个为负数，并且另一个非零， THEN 结果←- 结果

23. 这个算法很麻烦，而booth’s算法比它简单。该算法直接对补码数据进行运算，不需进行正数和负数之间的转换。这个算法很麻烦，而booth’s算法比它简单。该算法直接对补码数据进行运算，不需进行正数和负数之间的转换。 booth’s算法也检查乘数的每一位，并把当前和右移一位。不同的是，并不是乘数的每个1都执行加法；而是对于一串1的第一个1执行减法，对于一串1的最后一个1执行加法。 booth’s乘法UV←X×Y，U、V、X、Y为n位值，Y-1为1位值： U = 0；Y-1 = 0； FOR i = 1 TO n DO {IF 一串1的开始 THEN U = U – X（= U + X’ + 1）； IF 一串1的结尾 THEN U = U + X； 算术右移 UV； 循环右移 Y并将Y0复制给Y-1 }

24. 检查Y的一串1的关键是要保留上一次Y的最低位。如果Y的最低位Y0和最后移出的位为：检查Y的一串1的关键是要保留上一次Y的最低位。如果Y的最低位Y0和最后移出的位为： 10，则该1开始了一串1，执行减法； 01，则该0结束了一串1，执行加法； 11，则在一串1中，不做任何操作。 00，则该算法既不需要加法又不需要减法。 为了检查这两位，用一个1位寄存器Y-1来保存最后移出的位。它被初始化为0，以保证Y的第一串1能被检查到。 表8.5列出了当X = -3（1101）和Y = -5（1011）时，该算法的步骤。算法能得出正确结果0000 1111（+15）。

25. 表8.5 booth’s算法的步骤 如果乘数的最高位为1，则最后一个循环中不可能出现加法。

26. 该算法的RTL代码。信号START和一位寄存器FINISH用于初始化和终止算法。算法中U、V、X、Y为n位值，Y-1为一位值。循环计数器i为递减计数器，由n递减到0。 1：U←0，Y-1←0，i←n Y0Y-1’2：U←U + X’ + 1 Y0’Y-12：U←U + X 2：i←i-1 3：ashr(UV)，cir(Y)，Y-1←Y0 Z’3：GOTO 2 Z 3： FINISH←1 注意，条件Y0Y-1’对应于一串1的开始，执行减法；Y0’Y-1对应于一串1的结尾，执行加法。加、减法语句可合并一起： （Y0⊕Y-1）2：U←U +（X⊕Y0）+ Y0

27. 该RTL代码执行（－3）×（－5）的步骤，初始化X＝1101，Y＝1011。 表8.6 booth’s算法RTL代码的执行步骤 与移位——相加算法相同，该算法也可以通过将Y的值保存在V中来去掉Y寄存器

28. 合并后的RTL代码的硬件实现如图所示。 1 3 图8.6 booth’s算法的 硬件实现

29. 8.1.3 除法 除法可以看成减法的重复，z = x÷y可以这样实现： Z＝0； WHILE x≥y DO { z＝z＋1；x＝x－y } 此算法效率低、执行时间随着z的最终值的不同而改变。 可采用移位——相减算法减少执行时间，例： 096 71 6827 639 437 426 11 注意第一步操作是比较除数71和被除数的前两位68。由于71大于68，故该位商0。这在计算机的除法运算中是很重要的一步，它被用来检测商是否溢出。

30. 将被除数左移，使得每次相减的结果总是送到同一位置上。将被除数左移，使得每次相减的结果总是送到同一位置上。 左移出的位不参加减法计算 096 71 6827 00 ← 68 除以71 商0 682 ← 取出下一位 682 ← 左移一位 639 ← 682 除以71 商9 437 ← 取出下一位 437 ← 左移一位 426 ← 437 除以71 商6 11 ← 余数 第一步检查68是否大于等于71，这是一个溢出检测

31. 溢出检测： 在除法的硬件实现中，通常被除数（如6827）保存在一个2n位的寄存器或两个n位的寄存器中。除数（71）和商（96）保存在n位的寄存器中。余数保存在被除数的两个n位寄存器中的一个中。如果被除数的高n位大于等于除数，那么商将大于n位而不能保存在商寄存器中，此时产生溢出。 例如，十进制的除法7827÷71，其中被除数为4位，除数为2位。由于78 > 71，商至少有3位，比商寄存器的位数（2位）还要多一位，因此产生溢出。 这种溢出检测的附加好处是可以防止除以0的操作，此时也会产生溢出。

32. 采用二进制更简单，商只可能为0或1。当被除数大于等于除数时，商1；否则商0。采用二进制更简单，商只可能为0或1。当被除数大于等于除数时，商1；否则商0。 下面的算法实现了两个二进制值的移位——相减除法。被除数在初始化时加载到UV，其中U保存高n位，V保存低n位。除数和商分别保存在n位值X和Y中。余数保存在U中。C为1位值，用来保存U的移出位。 U ≥ X THEN 产生溢出并终止算法； Y = 0；C = 0； FOR i = 1 TO n DO { 线性左移 CUV； 线形左移 Y； IF CU ≥ X THEN {Y0 = 1，U = CU – X}} 考虑第一步就终止的情况。如112÷7，若n =4，则UV = 0111 0000，X = 0111。由于U≥X，均为0111，将终止算法。如果继续执行，将产生商16（1 0000）和余数0。但值1 0000不能保存在4位的Y中，产生溢出。

33. 下表列出了该算法执行147÷13的步骤。初始化时，U = 1001，V = 0011，X = 1101，n = 4。 表8.7 移位——相减算法的执行步骤

34. 算法的RTL代码。其中X、U、V、Y为n位值，C和OVERFLOW为1位值。当i = 0时，Z = 1；当U≥X时，G = 1。FINISHI置1则算法结束。1，2，3，4是连续的状态。 G 1： FINISH←1，OVERFLOW←1 2： Y←0，C←0，OVERFLOW←0，i←n 3： shl(CUV)，shl(Y)，i←i-1 （C + G）4： Y0 ←1，U←U + X’ + 1 Z’4： GOTO 3 Z 4： FINISH←1 大部分的RTL语句由算法直接转换而成，注意条件 CU≥X等价于条件 U≥X（G）或（C =1），即（C + G）；补码加法：U ← U + X’ + 1实现算法中的U =CU – X 。

35. 下表列出了该RTL代码执行除法：147÷13的执行步骤。初始化时U = 1001，V = 0011，X = 1101，n = 4。 表8.8 移位——相减除法的RTL代码的执行步骤

36. 该算法的硬件实现。 图8.7 移位—相减除法的硬件实现

37. 以上称为不恢复余数的除法算法，这种算法是仅当CU ≥X时，才执行减法U ← U – X。第二种类型的除法是恢复余数的除法算法。它不是在执行减法之前先检查是否CU ≥ X，它是先执行减法再比较CU是否大于等于X。如果CU < X，则该算法再执行一次U ← U + X，使U恢复为原来值。 恢复余数的算法有相同的步骤：首先检测溢出。如果没有产生溢出，则进入移位——相减循环。它们的主要区别是处理比较的方式不同。不恢复余数的算法是先进行CU和X的比较，如果CU ≥ X则执行减法U ←CU – X。恢复余数的算法则相反，先执行减法U ← U – X，如果发现CU < X（结果为负），则说明不应执行减法，此时通过执行加法U ← U + X，使U恢复为原来值。

38. 恢复余数的算法。被除数初始化时保存在UV中，除数保存在X中，商保存在Y中，余数最后保存在U中。U、V、X、Y都是n位值，C是1位值。恢复余数的算法。被除数初始化时保存在UV中，除数保存在X中，商保存在Y中，余数最后保存在U中。U、V、X、Y都是n位值，C是1位值。 CU = U + X’ + 1； U = U + X，IF C = 1 THEN 产生溢出并终止算法； Y = 0； FOR i = 1 TO n DO { 线性左移CUV； 线形左移Y； IF C = 1 THEN { U= U+ X’ +1} ELSE{ CU= U+ X’ +1 } IF C = 1 THEN { Y0 = 1} ELSE { U = U + X } } 算法第一步为CU与X的比较 如C = 1，则CU一定比X大，执行减法U ← U + X’ + 1，并且使C仍保持1值，表示CU ≥ X。如C = 0，执行减法CU ← U + X’ + 1。该减法仅当CU ≥ X时，使C置1。结果是：无论执行哪个减法，都有U = U –X，以及当CU ≥ X时C置1，否则置0。

39. CU与X的比较。 操作C U = U + X’ + 1实际上实现了两个功能：显式的功能是减法U = U –X ，而隐含的功能是U和X的比较。如果U ≥ X，该操作将C置1，否则将C置0。 在（a）和（b）中，C置1，表示U ≥ X； 在（c）中，C置0，表示U < X。 图8.8 在计算C U = U + X’ + 1的同时比较了U和X：（a）正结果，（b）零结果，（c）负结果

40. 整个算法的分析。 头两条语句是比较U和X的大小。如果U ≥ X，将产生溢出，此时U ← U + X’ + 1将C置1。否则不溢出，它将C置0。第二条语句是将U恢复为原来值，如果没有溢出，将初始化Y并进入移位——相减循环。 移位——相减循环从左移CUV和Y 开始的。而下一条语句实现了减法（U = U –X）和CU与X的比较（如果CU ≥ X则C = 1）。 如C = 1，则CU一定比X大，执行减法U ← U + X’ + 1，并且使C仍保持1值，表示CU ≥ X。如C = 0，执行减法CU ← U + X’ + 1。该减法仅当CU ≥ X时，使C置1。结果是：无论执行哪个减法，都有U = U –X，以及当CU ≥ X时C置1，否则置0。 下一条语句当C = 1时，CU ≥ X，减法有效，不需要恢复余数，只需在商的相应位（Y0）上商1。而当C = 0时，CU < X，加法将U恢复为原来值。

41. 两个例子。 第一个例子为225÷13，它的执行步骤如表8.9（a）所示。首先初始化X = 1101，n = 4。第一个减法将C置1，说明将产生溢出。（实际上，由于225÷13 = 17 余4，而17的二进制是1 0001，因此不能存于4位的寄存器中。）下一步恢复U值并终止算法。 表8.9 恢复余数除法算法的执行步骤（a）有溢出， 另一个例子147÷13，执行步骤如表8.9（b）所示。没有溢出。算法的前几步检测溢出和初始化Y。接下来每三步为一组表示循环的一次迭代。

42. 该算法正确地计算了147÷13，结果是：商为11，余数为4。 表8.9 恢复余数除法算法的执行步骤（b）无溢出 每次迭代都执行相似的移位和减法 / 比较操作。 每次迭代的最后一步不是更新商（保存在Y中）就是将余数恢复为原来值（保存在U中）。

43. 恢复余数除法算法的RTL代码。 它采用的值与不恢复余数算法中采用的值基本相同。除了以下几点，它与不恢复余数算法非常接近。 ● OVERFLOW为1位值，当溢出发生时置1，否则置0。 ● FINISH为1位值，当算法终止时置1。不管是循环结束的正常终止还是溢出，都要将FINISH置1。这与本章其他算法的RTL代码是相同的。 ● 与其他算法相同，计数器i的值从n递减到0。当i = 0时，Z = 1。 ● 除非遇到GOTO操作，在正常情况下状态从11到12到2到3到41到42。状态11和12等价于不恢复余数算法中的状态1，而状态41和42等价于不恢复余数算法中的状态4。

44. 11： CU←U + X’ + 1； 12： U←U + X C 12：FINISH←1，OVERFLOW←1 2：Y←0，OVERFLOW←0，i←n 3：shl(CUV)，shl(Y)，i←i-1 C 41：U←U + X’ + 1 C’41：CU←U + X’ + 1 C 42：Y0←1 C’42：U←U + X Z 42：FINISH←1 Z’42： GOTO 3 CU = U + X’ + 1； U = U + X，IF C = 1 THEN 产生溢出并终止算法； Y = 0； FOR i = 1 TO n DO { 线性左移CUV； 线形左移Y； IF C = 1 THEN { U= U+ X’ +1} ELSE{ CU= U+ X’ +1 } IF C = 1 THEN { Y0 = 1} ELSE { U = U + X } }

45. 表8.10 恢复余数除法算法的RTL代码的执行步骤 147÷13

46. 该算法的硬件实现如图所示。 42 减少了产生G的比较器，但并行加法器的输入更加复杂。因为此时要求它进行两种操作U + X或U – X。同时，由于有6个状态，状态计数器和译码器要稍微大一些。 图8.9 恢复余数除法的硬件实现

47. 补码相除 补码相除没有一种通用的算法。一般是通过对正负数值进行转换来实现补码相除。该算法如下所示。除法可以使用恢复余数的硬件实现或不恢复余数的硬件实现。 IF 被除数< 0 THEN 被除数←- 被除数； IF 除数< 0 THEN 除数←- 除数； 使用恢复余数或不恢复余数的硬件实现除法运算； IF 被除数和除数中有一个为负数 THEN 结果← - 结果

48. 8. 2 带符号表示法 符号—幅值表示法（signed_magnitude notation） 符号—补码表示法（signed_two’s complement notation） 8.2.1 符号—幅值表示法（signed_magnitude notation） 包括两个部分：符号部分为1位，0表示正数（或0），1表示负数；幅值部分为n位，以非负数码的形式表示数的绝对值。 例如：+3和-3有相同的幅值3，仅仅符号不同。在二进制中，+3表示为0（符号）0011，而-3表示为1（符号）0011。 用XsX 表示符号—幅值表示法，其中Xs为1位的符号值，X为n位幅值。

49. 8.2.1.1 加法和减法 操作UsU←XsX±YsY，定义AS为计算操作符。AS =0表示加， =1表示减。还定义PM =Xs⊕AS⊕Ys。Xs、AS和Ys共有8种可能的组合。下表列出这些组合及其相应的PM值，同时分别给出了当X =3，Y =5和X =5，Y =3时这8种组合的结果。 表8.11 符号—幅值数据的加法和减法 PM表示实际执行是加还是减

50. 执行何种操作由两个值决定：PM的值以及X和Y的相对幅值，相对幅值表示是X > Y、X = Y还是X < Y。分两种情况考虑：PM = 0和PM = 1。 第一种情况：PM = 0 将X和Y的幅值加在一起； 结果的符号总与第一个操作数的符号Xs相同。 通过微操作Us←Xs，U←X + Y实现。 结合考虑溢出情况，可以用CU←X + Y代替U←X + Y，并将C的值赋给溢出标志。 因此PM = 0时符号—幅值表示加减法的RTL代码为： PM’1：Us←Xs，CU←X + Y PM’2：OVERFLOW←C