第六章

第六章 弯曲强度

工程实例

本章要点 (1)纯弯曲时横截面上的正应力 (2)横力弯曲时的正应力正应力强度条件 (3)弯曲剪应力 (4)弯曲剪应力的强度校核 (5)提高梁弯曲强度的措施重要概念纯弯曲、非对称梁、横力弯曲、弯曲剪应力、开口薄壁杆件、弯曲中心

目录 §6-1 概述 §6-2 纯弯曲时横截面上的正应力 §6-3 非对称梁的纯弯曲 §6-4 横力弯曲时的正应力正应力强度条件 §6-5 弯曲剪应力 §6-6 弯曲剪应力的强度校核 §6-7 开口薄壁杆件的弯曲应力弯曲中心 §6-8 提高弯曲强度的一些措施

一、回顾 在上一章第二节中，我们曾经讲过，横截面上的剪力Q是与横截面相切的内力系的合力，而弯矩M是与横截面垂直的内力系的合力偶矩，因此，梁横截面上有剪力Q时，就必然有剪应力，有弯矩M时，就必然有正应力,如下图所示。 M s t Q 图6—1 §6-1 概述本章要点：研究等直梁在平面弯曲时，梁横截面上这两种应力的计算。

F F A B 图6—2 a a a F Q图 (+) (-) F Fa M图 (+) 二、概念： 1、横力弯曲——在梁的各个横截面上既有弯矩，又有剪力，因而既有剪应力又有正应力的情况，我们就称之为横力弯曲。如图6—2中的AC和DB段。

2、纯弯曲——横截面上只有正应力而无剪应力的情况，称为纯2、纯弯曲——横截面上只有正应力而无剪应力的情况，称为纯弯曲。特点：横截面上只有为常量的弯矩而无剪力。完目录

§6-2 纯弯曲时横截面上的正应力 一、回顾推导圆轴扭转时横截面上剪应力计算公式时，综合考虑了几何，物理和静力学三个方面的关系。因为圆轴扭转时横截面上剪应力计算问题属静不定问题。本节要点：纯弯曲时横截面上的正应力计算同样属静不定问题，求解时同样需综合考虑几何、物理和静力学三方面的关系。（一）几何关系： 1．纯弯曲实验：用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:

y 图6—3 实验前，在变形前的杆件上作纵向线aa和bb, 并作垂直于纵向线的横向线mm和nn，如图6—3所示。变形后，我们发现:  aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长； mm和nn仍为直线，并且仍然与已经成为弧线的aa和bb垂直，只是相对的转过了一个角度。 矩形截面的宽度变形后上宽下窄

对上面的实验结果进行判断和推理，我们就可以得出如下的结论：对上面的实验结果进行判断和推理，我们就可以得出如下的结论： 2.平面假设：梁在变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，并仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一个角度，这就是弯曲变形的平面假设。 3.单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。

中性轴 中性层中性层对称轴 z o y 中性轴 4.纯弯曲的特点： 靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的一侧，纤维伸长； 由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出一侧的缩短或伸长是连续变化的，故中间一定有一层，其纤维的长度不变，这层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴； 弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。图6—4

如图6—3所示： z轴——截面的中性轴 y轴——截面的对称轴 ——距中性层为y处的纤维变形后的长度 ——中性层的曲率半径 ——中性层的曲率半径 ——相距为dx的两横截面的相对转角（6—1）纤维bb’的线应变：即：纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比

曲率中心O dq r m2 sy x M 由上式还可看出：当y=0时，，即： e2 M y sL O1 e1 O2 y m2 m1 dq 在中性层上各点处的 n2 a1 a2 a2' 应力值为零。 dl dx n1 n2 图6—5 （二）物理关系假设纵向纤维之间不存在相互挤压，那么当应力小于比例极限时，可用单向拉伸时的虎克定律：（6—2）物理意义：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比，即：在横截面上的正应力沿截面高度按直线规律变化。

从式可知：我们虽然知道了正应力的分布规律，但因曲率半径和中性轴的位置尚未确定，所以仍不能求出正应力，因此我们还有必要考虑静力平衡关系。如图所示：横截面上的微内力可组成一个与横截面垂直的空间平行力系，这样的平行力系可简化成三个内力的分量： N ——平行于x轴的轴力N MZ——对Z轴的力偶矩 M z(中性轴) My——对y轴的力偶矩 O x dA sdA y z y 图6—6 （三）静力关系：其中：

中性层通过截面形心。 由于y轴是横截面的对称轴，故自然满足。由左半部分平衡可得：

由 (6—3) 其中：是梁轴线变形后的曲率，EIz是梁的抗弯刚度。上式即是纯弯曲时，梁横截面上正应力的计算公式。 1.梁的上下边缘处，弯曲正应力达到最大值，分别为：（四）讨论：

(6—4) 矩形：圆形： (6—5) 式中：Wz——抗弯截面模量对矩形和圆形截面的抗弯截面模量。 [注：各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到] 若梁的横截面对中性轴不对称，其最大拉压应力并不相等，这时应分别进行计算。

smin smin M M smax smax 2.横截面上正应力的分布规律： 3.公式适用范围： ①适用于线弹性范围——正应力小于比例极限sp； ②适用于平面弯曲下的纯弯曲梁； ③横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式的误差不大，但此时公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即：完目录

§6-3 非对称梁的纯弯曲 前面讨论的是梁上的弯曲力偶作用于纵向对称面内的情况；下面讨论，当梁没有这样的纵向对称面时，或着虽然有纵向对称面，但弯曲力偶并不作用于这一平面时的情况。图6—7

如图（a）所示： Y、Z轴——横截面的形心主惯性轴 X轴——梁的轴线 My、Mz——对y轴、z轴的力偶矩 • .公式推导：

（当中性轴与Z轴重合时， ） ——变形后，中性层的曲率半径假设中性轴 n-n的位置尚未确定，可据上节中的同样方法可得：现取m-m截面的左半部分为研究对象。由平衡条件可得：

中性轴必然通过截面形心。 （由于y 和z是形心主惯性轴，故Iyz=0）中性轴与Z轴重合，亦即中性轴垂直于Me的作用平面。 (6—6) ——平面弯曲的正应力公式

二、结论： 对于非对称的实体梁，只要弯曲力偶作用于形心主惯性平面内，则中性轴与这个平面垂直，弯曲变形也发生在这个平面内，平面弯曲的结论仍然成立，用于上面完全相同的方法还可证明，当外力偶矩的作用平面，平行于实体梁的形心主惯性平面时(xy)平面弯曲的结论仍然成立。完目录

§6-4 横力弯曲时的正应力正应力强度条件 一、横力弯曲时的正应力计算公式：工程上常见的弯曲问题多为横力弯曲，此时梁横截面上除有正应力外还有剪应力，按弹性力学的分析结果，在有些情况下，横力弯曲的正应力分布规律与公式（6—2）完全相同。在有些情况下虽有差异，但当跨度L与截面高度之比大于4时，公式（6—2）的误差也非常微小，故用纯弯曲的正应力计算公式用于横力弯曲正应力的计算，也有足够的精度，可以满足工程上的要求。（6—7）

注： 有时 并不发生在弯矩最大的截面上，而根截面的形状有关。 a、强度校核: b、截面设计: c、确定梁的许可荷载: 二、强度条件： 拉压强度相等材料： 拉压强度不等材料： 强度条件的作用：

例6—1：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1／P2＝？解：分析：该题的关键：两种梁的最大弯曲正应力相等且等于许用应力。

由弯曲正应力计算公式

例6—2：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？例6—2：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？解：分析：关键在于何为最佳，对于该题最佳就是两梁最大弯曲应力同时达到最大。

例6—3：已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，[]=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片，测得C点轴向线应变 ,求F并校核梁正应力强度。主梁AB的最大弯矩副梁CD的最大弯矩由即得

F A B C NO.16 解：

例6—4：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［σt］和［σc］，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）解：分析：关键在于何为最佳，对于该题最佳就是梁危险截面上最大弯曲拉压应力同时达到许用应力。

例6—4：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力[σ] =160MPa，校核该梁的强度。

解：由弯矩图可见 该梁满足强度条件，安全

思6—2、简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？思6—2、简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？思6—1：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。

思6—3.图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa ，求载荷F的大小。思6—4、我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。完目录

b z m Q y q(x) F2 F1 m1 h  P x x d(x) x n n1 dx y (b) (a) §6-5 弯曲剪应力从上节的分析知道：横力弯曲时，梁截面上既有弯矩又有剪力，因而截面上既有剪应力，又有正应力。在弯曲问题中，通常情况下，正应力是强度计算的主要因素。但在某些情况下，例如跨度短而截面高的梁，腹板较薄的工字梁等，有时也需要计算弯曲剪应力，下面就分别按截面的形状来讨论。一、矩形截面梁

如图所示：根据上述假设，在距中性轴为y的横线pq上，各一点的剪应力 相等，且都平行于Q。再由剪应力互等定理可知，在沿pq 切出的平行于中性层的pr平面上，也必然有与互等定理可知，在沿pq 切出的平行于中性层的pr平面上，也必然有与相等的。 1、如图所示：关于横截面上剪应力的分布规律，我们作以下两个基本假设： • 横截面上各点剪应力的方向都平行于剪力Q • 剪应力沿截面宽度均匀分布，即离中性轴等距的各点的剪应力相等。

m m m1 m1 x y M M+dM N1 q   P  p  n n1 n x dx b n1 N2 dx y 2.公式推导：现以横截面mn和m1n1从上图中取出长度为dx的微段。如图所示：

设截面mn和m1n1上的弯矩分别为M和M+dM再以平行于中性层且距中性层为y的pr平面，从这一段梁中截出一部分prnn1,则在这截出部分的左侧面rn上作用着因弯矩M引起的正应力，而在右侧面pn1上，作用着因弯矩M+dM引起的正应力。在顶面pr上，作用着剪应力， =且沿宽度b均匀分布，从图中可看出：以上三种应力的方向都平行于x轴，假设三种应力的合力分别为N1、N2、Q。则：式中： ——距中性轴为y的横线pq以下的面积对中性轴的静矩。

同理： 由：（6—8）

式中： Ｑ——横截面上的剪力Ｑ b ——截面宽度　　　　 Iz ——整个截面对中性轴的惯性矩 ——截面上距中性轴为y的横线以外部分面积对中性轴的静矩。 ①矩形截面： (6-9) 公式（6-8）即为矩形截面梁弯曲剪应力的计算公式。 3.讨论：

时，表明在截面上下边缘各点，剪应力为零。  即最大剪应力发生在中性轴上。 y=0时， (因为）的1.5倍。可见矩形截面梁的最大剪应力为平均剪应力 根据剪切虎克定律得：从上式可看出：沿截面高度剪应力按抛物线规律变化。表明：沿截面高度剪应变也是按抛物线规律变化的，且

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