二次函數的圖形的探討

1. 二次函數的圖形的探討 • 一次函數與二次函數的定義 • 一次函數的圖形 • 二次函數的圖形

2. 一次函數與二次函數的意義 • 一次函數 : y=f(x) =ax+b , 其中 a , b 為常數且 a = 0 . • 例: f(x)=500-x , h(x)=100x+600 • 二次函數 : y=ax2+bx+c , 其中 a , b , c 為常數 , 且 a = 0 . • 例:f(x)=100-4.9x2 , g(x)= x2 .

3. 一次函數的圖形 • 一次函數的圖形是一直線 • 一次函數的畫圖方法: • 畫一次函數圖形時,只要描出相異兩點,連接即得所求的直線.

4. 描繪 f(x)=x+5 的圖形 列表 描點 y (2,7) (1,6) (0,5) (-1,4) (-2,3) x 0

5. 描繪 f(x)=x+5 的圖形 列表 插入四個數對,描點 y (4,9) (3,8) (2,7) (1,6) (0,5) (-1,4) (-2,3) (-3,2) (-4,1) x 0

6. 描繪 f(x)=x+5 的圖形 列表 再插入四個數對,描點 y (6,11) (5,10) (4,9) (3,8) (2,7) (1,6) (0,5) (-1,4) (-2,3) (-3,2) (-4,1) x (-5,0) 0 (-6,-1)

7. 描繪 y=2x-3 的圖形 列表 描點,將兩點用直線連接起來,即得 y=2x-3 的圖形 y x 0 ( ,0) (0,-3)

8. 描繪 y=x2的圖形 列表 描點 y (2,4) (-2,4) (-1,1) (1,1) x 0

9. 描繪 y=x2的圖形 列表 插入四個數對,描點 y (-2,4) (2,4) (- , ) ( ) , (-1,1) (1,1) , (- , ) ( , ) x 0

10. 描繪 y=x2的圖形 列表 再插入四個數對,描點 y (-2,4) (2,4) (- , ) ( ) , (-1,1) (1,1) (- , ) ( ) , (- , ) ( , ) x ( 0 , ) ( , )

11. 描繪 y=x2的圖形 列表 插入(- ) , (- , ) , ( , ) , ( , ) 四個數對 , y (-2,4) (2,4) (- , ) ( ) , (-1,1) (1,1) (- , ) ( ) , (- , ) ( , ) x ( , ) ( 0 , )

12. 觀察二次函數 y=x2圖形結論 • 在描繪函數圖形時,如描繪的點愈多,愈容易得到準確的圖形. • 二次函數圖形是一拋物線 • 畫二次函數圖形時,須以頂點為準左右兩邊各取兩個以上數對 (即至少5個數對)方可畫出拋物線圖形.

13. 二次函數的畫圖步驟 • 首先列表:須以頂點為準左右兩邊各取兩個以上數對 (即至少5個數對) • 其次在坐標平面上將各數對描成點. • 用平滑曲線把各點連接起來,就得到二次函數圖形.

14. 描繪 y=x2的圖形 列表 描點,並用平滑曲線將各點連接起來 y (-2,4) • (2,4) (1,1) (-1,1) x 0

15. 描繪 y=2x2的圖形 列表 描點 y (-1.5,4.5) (1.5,4.5) (-1.2) (1,2) x 0

16. 描繪 y=2x2的圖形 列表 描點並用平滑曲線將各點連接起來 y (-1.5,4.5) (1.5,4.5) (-1,2) (1,2) x 0

17. 比較 y=x2 , y=2x2兩圖形之異同 表 y=x2 表 y=2x2 y y=2x2 y=x2 x 0

18. 比較 y=x2 與 y=2x2兩圖形 • 1. 比較圖形大小時 , 各圖形坐標平面的單位長度必須相同 , 方可比較 . • 2. 形狀相似 , 開口都向上 . • 3. y=x2開口較大 , y=2x2開口較小 . • 4. 沿著 y 軸各把兩圖形對摺 , 我們發現 y 軸兩邊的圖形可以處處疊合 . y=x2 與 y=2x2的圖形都是以 y 軸為對稱軸的軸對稱圖形.

19. 描繪 y= x2的圖形 列表 描點 y (-3,4.5) (3,4.5) (-2,2) • (2,2) x 0

20. 描繪 y= x2的圖形 列表 描點,並用平滑曲線將各點連接起來 y (-3,4.5) • (3,4.5) (-2,2) (2,2) x 0

21. 比較 y=x2 , y=2x2 , y= x2 各圖形形狀,開口方向,開口大小異同 表 y=x2 表 y=2x2 表 y= x2 y y=2x2 y= x2 y=x2 x 0

22. 比較 y= x2, y=x2, y=2x2異同 • 1. 形狀相似 , 頂點相同. • 2. 開口方向皆向上. • 3. 開口最大為 y= x2 , 其次是 y=x2 , 最小為 y=2x2.

23. 描繪 y=-x2的圖形 列表 描點 y 0 x (-1,-1) (1,-1) (-2,-4) (2,-4)

24. 描繪 y=-x2的圖形 列表 描點,並用平滑曲線將各點連接起來 y 0 x (-1,-1) (1,-1) (-2,-4) (2,-4)

25. 比較 y=x2 , y=-x2兩圖形形狀,開口方向,開口大小異同 表 y=x2 表 y=-x2 y y=x2 x 0 y=-x2

26. 比較 y=x2 與 y= -x2兩圖形 • 1. 形狀 , 開口大小 , 頂點都相同. • 2. y= x2開口向上, y= -x2開口向下 • 3. 兩圖形對 x軸成對稱 : 把兩個圖形合在一起看成一個圖形時 , 它是以 x 軸為對稱軸的軸對稱圖形.

27. 描繪 y=-2x2的圖形 列表 描點 y 0 x (-1,-2) (1,-2) (-1.5,-4.5) (1.5,-4.5)

28. 描繪 y=-2x2的圖形 列表 描點,並用平滑曲線將各點連接起來 y 0 x (-1,-2) (1,-2) (-1.5,-4.5) (1.5,-4.5)

29. 比較 y=2x2 , y=2x2 各圖形形狀,開口方向,開口大小異同 表 y=2x2 表 y=-2x2 y y=2x2 x 0 y=-2x2

30. 比較 y=-2x2 與 y=2x2 • 1. 形狀 , 開口大小 , 頂點都相同. • 2. y= -2x2開口向下, y= 2x2開口向上. • 3. 兩圖形對 x軸成對稱 : 把兩個圖形合在一起看成一個圖形時 , 它是以 x 軸為對稱軸的軸對稱圖形.

31. 比較 y=x2 , y=-x2 , y=2x2 , y=-2x2 , y= x2 , y= - x2 六圖形的形狀,開口方向,開口大小異同 y=x2 y=2x2 y= x2 y=-x2 y=-2x2 y=- x2 • y x 0

32. 比較 y= x2, y=-x2, y=2x2 , y=-2x2, y= x2 , y=- x2 • 1. 形狀相似 , 頂點相同. • 2. x2項係數為正時 ,開口向上; x2項係數為負時 , 開口向下. • 3. x2項係數之絕對值相同時 , 開口大小相同, x2項係數之絕對值愈小時 , 開口愈大. • 4.六個圖形皆是以y軸(方程式: x=0 )為對稱軸之軸對稱圖形 .

33. 描繪 y=(x-3)2的圖形 列表 描點 y (1,4) (5,4) (2,1) (4,1) x 0 (3,0)

34. 描繪 y=(x-3)2的圖形 列表 描點,並用平滑曲線將各點連接起來 y (1,4) (5,4) (2,1) (4,1) x 0 (3,0)

35. 比較 y=x2 , y=-(x-3)2兩圖形形狀,開口方向,開口大小異同 表 y=x2 表 y=(x-3)2 y y=x2 y=(x-3)2 x 0

36. 比較 y=x2 與 y=(x-3)2兩圖形 • 1. 形狀 , 開口方向 , 大小都相同. • 2. 如果把 y=x2的圖形向右平移三個單位長 , 就可以得到 y=(x-3)2的圖形.