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電 路 學

2. 電 路 分 析 方 法. 電 路 學. 2-1 電阻串聯電路與分壓定理. 2-4 網目電流分析法. 2-2 電阻並聯電路與分流定理. 本章練習. 2-3 節點電壓分析法. i. v 1 = R 1 i. +. 其中. v 2 = R 2 i. v 1. R 1. …. -. v N = R N i. +. v. v 2. +. R 2. 則. v = R 1 i + R 2 i + ......+ R N i. -. -. i =. R 1 +R 2 +......R N. v. +. 解 i 得.

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  1. 2. 電 路 分 析 方 法 電 路 學 2-1 電阻串聯電路與分壓定理 2-4 網目電流分析法 2-2 電阻並聯電路與分流定理 本章練習 2-3 節點電壓分析法

  2. i v1 = R1i + 其中 v2 = R2i v1 R1 … - vN= RNi + v v2 + R2 則 v = R1i + R2i + ......+ RNi - - i = R1+R2+......RN v + 解 i得 vN RN - Rs= R1+R2+......+RN N = å RN n=1 2-1電阻串聯電路與分壓定理(Circuits of Series Resistance and Voltage Division) 電阻串聯電路 考慮包含獨立電源及 N個串聯電阻的電路， 由 KVL知 v = v1 + v2 + ...... + vN 因此，等效電阻為 即N 個串聯電阻的等效電阻=個別電阻的總和。 2-2

  3. R1 v v1 = RS R2 v v2 = RS … RN v vN = RS 2-1電阻串聯電路與分壓定理(Circuits of Series Resistance and Voltage Division) 分壓定理： N個串聯電阻的分壓定理，我們發現： 各個電阻上的電壓正比於其電阻值 v1：v2：…：vN = R1：R2：…：RN （電阻串聯表示電流相同） 2-2

  4. 2-1電阻串聯電路與分壓定理(Circuits of Series Resistance and Voltage Division) W W W 2 12 4 c a b i + + + + 16 8 W W 6 W - 2 t v v v 30 e V 1 2 3 - - - - a ¢ ¢ c ¢ b (a) W W 12 W 2 2 a b a i i + + + + + W W 16 4 W 8 v v v - - 2 t 2 t 30 e V 30 e V 1 2 1 - - - - - ¢ a ¢ a b ¢ (b) (c) 8 2+8 依分壓定理跨於a-a1之電壓 v1為 v1 = ( ) 30e-2t= 24e-2t (V) 4 12+4 由圖(b)可得跨於b-b1之電壓 v2為 v2 = ( ) v1= 6e-2t (V) 8 8+4 由圖(c)可得跨於c-c1之電壓 v3為 v3 = ( ) v2= 4e-2t (V) 分壓定理範例 2-3：求下列電路中之i、v1、v2及 v3值為何 ? 解： 圖(a) 之電路可分別化簡為 (b)、(c) 之電路；於圖 (c) 應用 KLC可得 -30e-2t+ 2i + 8i = 0即 i = 3e-2t (A) 2-7

  5. i i i 其中 i1 = G1v i2 = G2v . . . iN = GNv 1 2 + N v G G G i 1 2 N - 所以 i = G1 v + G2 v + ...... + GN v i v = G1 + G2 + ... + GN 1 1 1 1 1 N = + = å + ... + RP R1 R2 RN Rn n=1 R1 × R2 Req = R1 || R2 = ――― R1 + R2 2-2電阻並聯電路與分流定理(Circuits of Parallel Resistance and Current Division) 電阻並聯電路 由 N個電導並聯電路中可得到 i = i1 + i2 + ...... + iN 故其電阻表示式為 因此，等效電阻倒數等於各個電阻的倒數和。 • 若考慮 R1及 R2並聯時，其等效電阻為 2-5

  6. G1 RP i1 = i = i GP R1 G2 RP i2 = i = i GP R2 M GN RP iN = i = i GP RN i1：i2：…：iN = G1：G2：…：GN 1 1 1 = ：：…： R1 R2 RN 2-2 電阻並聯電路與分流定理(Circuits of Parallel Resistance and Current Division) 分流定理：各電阻中之電流反比於電阻。 （電阻並聯表示電壓相同） 2-5

  7. W W 6 3 a b i i 2 1 W W W W 6 12 (A) 3 4 6 ¢ a ¢ b (a) W 3 b a a i i 1 1 W W W W 6 3 3 6 12 A W 2 12 A a ¢ ¢ a ¢ b (b) (c) 2 2 + 6 ö æ i1 ＝ ―─ × 12 = 3(A) 圖(a)可簡化成圖(b)及圖(c)，由圖(c)可得 è ø 4 4+6+6 1 4 3 4 由圖(a)可得 i2 = (―――) i1 = ― × 3 = ― (A) 2-2電阻並聯電路與分流定理(Circuits of Parallel Resistance and Current Division) 分流定理範例 2-4：求下列電路中i1、i2之值為何 ? 解： 2-8

  8. 在節點 a i1 + i2 – is1 = 0或G1 (va –vb) + G2va – is1 = 0 -i1 + i3 + i4 = 0或-G1 (va –vb) + G3vb + G4 (vb – vc) = 0 • 在節點 b • 在節點 c -i4 + i5 + is2 = 0或-G4 (vb – vc) + G5vc + is2= 0 整理上述三個式子可得 G G a b 1 4 (G1 + G2)va– G1vb + 0 = is1 i i 1 4 i i i G 2 3 5 -G1va(G1 + G3 + G4) vb – G4vc = 0 3 G G 2 5 0 –G4vb + (G4 + G5) vc = -is2 i i 1 2 s s d va vb vc is1 G1 + G2 – G1 – 0 –G1G1 + G3 + G4 – G4 – 0– G4G4 + G5 é ù é é ù ù ê ú ê ê ú ú = 0 ê ú ê ê ú ú –is2 ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û 2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) 根據 KCL，且設流出節點之方向取正號，可得 • 由上列三個聯立方程式，可解 va , vb , vc，而 va, vb, vc解出後 • 　各電流亦可解得。上述聯立方程式可由如下矩陣式表現之： 2-9 上述矩陣可用高斯消去法來求解 va, vb, vc。

  9. 係數為負數 - - v i ...... ...... ...... ...... G G G é ù é ù é ù 1 1 11 12 1 N ê ú ê ú ê ú - - G G G v i ê ú ê ú ê ú 21 22 2 N 2 2 = ê ú ê ú ê ú . . . . . . . . . . . . . . . ú ê ú ê ê ú - - v i G G G ë û ë û ë û N N N 1 N 2 NN • v1 . . . vN為 N 個節點對參考節點(接地)之電壓 2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) 可直接觀察列出節點方程式，說明如下： 其中包括G元素之矩陣稱為電導矩陣，且 • Gjj為與節點 j相連之所有分支電導之和，亦稱節點 j 之電導。 • Gjk = Gkj , j ≠ k，為連接節點 j 與k 間所有分支電導之和， • 若無直接連接則其值為零，亦稱節點 j與 k間之互電導。 2-10 • ij 為流入節點j之所有電流源之代數和。

  10. 2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) • 在應用節點分析時，我們須注意下列重要觀念： • 對一具有 M個節點之電路而言，將有 M-1個節點電壓， • 除非部份節點電壓已知，否則此路應有 M-1個節點方程式， • 或有(M-1)階的電導矩陣。 • 電導矩陣中，非對角線上的元素對稱於對角線。 • 須注意電導矩陣的對稱性只存在具獨立電源之電路。 • 若電路中含非獨立電源時，則此對稱性將會不存在。 • 若電路中包含獨立電壓源時，通常可以減少未知之節點電壓， • 但在較複雜情況時，須利用超節點 (Supernode)觀念求解， • 此時應循KCL建立方程式，而避免直接使用矩陣式。 2-11

  11. i 2 W 2 Ω G11 = 3 G22 = 5 G33 = 5 G12 = G21 = 1 G13 = G31 = 2 G23 = G32 = 2 3 A 1 W Ω v v v 2 1 3 i i Ω i 4 3 1 Ω 3 4 W 2 A W Ω Ω 因此 D - 65 = = = - 1 v 1 . 3 v D 50 1 \ - - 依克來莫法則 3 1 2 - D 50 1 5 0 = D = 17 = = = 2 v 0 . 34 v - 2 0 5 D 2 50 v1 - - - é ù é ù é ù 3 1 2 2 - - - 2 1 2 D ê ú ê ú ê ú - - 56 3 5 0 v2 = D2 = 65 - = = = = - 1 5 0 3 3 v 1 . 12 v ê ú ê ú ê ú - 3 0 5 D 3 50 v3 ê ú ê ú ê ú = - = - - = - - - - - i 1 ( v v ) 1 ( 1 . 3 0 . 34 ) 1 . 64 A 3 2 2 2 0 5 3 ë û ë û ë û 1 1 2 - 1 3 0 17 = D3 = = - = - + = i 2 ( v v ) 2 ( 1 . 12 1 . 3 ) 0 . 36 A - - 2 3 5 2 3 1 - - = = - = - 3 1 2 i 3 v 3 ( 1 . 12 ) 3 . 36 A 3 3 - 1 5 3 D4 = - = 56 = = = i 4 v 4 ( 0 . 34 ) 1 . 36 A - - 2 0 3 4 2 2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) 例 2-5：求右圖電路中之 v1, v2, v3, i1, i2, i3, i4值。 解： (1)此電路之矩陣可列出如下 2-11

  12. (1) For node 1： i 2 W 2 2+1× (v1-v2)+2×(v1-v3) = 0 Þ(1+2) × v1-1×v2-2 × v3 = -2 ÞG11v1+G12v2+G13 = Is1 3 A 1 v W v v 2 1 3 i i i 4 3 1 3 4 2 A W W (2) For node 2： 1× (v1-v2) + 4 × (v2-0) -3= 0 Þ-1× v1+(1+4)v2+ 0 × v3 = 3 ÞG21v1+G22v2+G23v3 = Is2 (3) For node 3： 2× (v3-v1) + 3 × (v3-0) + 3= 0 Þ-2× v1+ 0 × v2 +(2+3)v3 = -3 ÞG31v1+G32v2+G33v3 = Is3 - - 3 1 2 D = - 1 5 0 - 2 0 5 (4) = 3 × 5 × 5 + (-1) × 0 × (-2) + (-1) × 0 × (-2) -(-2) × 5 × (-2) - 0 × 0 × 3 - (-1) × (-1) × 5 = 75 + 0 + 0 - 20 - 0 - 5 = 50 - - - é ù é ù é ù 3 1 2 v 2 1 ê ú ê ú ê ú - = 1 5 0 v 3 ê ú ê ú ê ú 2 ê ú ê ú ê ú - - 2 0 5 v 3 ë û ë û ë û 3 2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) 解法說明：假設流出為“＋” 2-12

  13. G 1 2 1 G 4 G 2 v s 2 4 + 5 - 3 + - v G s 1 5 G 3 G 6 節點分析的改進： 有電壓源的節點分析法，可依下列步驟求解： 無作用的超節點範例： G G 1 2 4 在節點1、2、3應用 KCL定律 (假設流出為正) 求得方程式為 2 1 G b - ( v v ) 3 1 3 3 + v G s 5 = v v - G + + - - - = ( G G G ) v G v G v G v 0 4 4 s 1 2 3 1 2 2 3 3 1 s - + + + b - = G v ( G G ) v ( v v ) 0 2 1 2 5 2 1 3 - + + - b - = G v ( G G ) v ( v v ) 0 3 1 3 4 3 1 3 2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) 超節點說明： 下圖之電路中原有 v1、v2、v3、v4、v5等5個節點電壓待解， 但由於 v1 = vs1 , v5 – v4 = vs2，故共須解出v2、v3、v4 即可， 　　　　　且可將兩端視為超節點處理。 　　　　　故此電路只須三個 KCL方程式，其方程式如下： 1.節點 2： (G1 + G2 + G4)v2 – G1v1 – G2v3 – G4v5 = 0 2.節點 3： (G2 + G3 + G5)v3 – G2v2 – G5v4 = 0 3.最後，進入超節點的電流等於離開超節點的電流， 因而可得： G4 (v5 – v2) + G5 (v4 – v3) + G6v5 = 0 故電路分析可同時解上面三式而完成。 1.對每個電壓源取KVL，以便得到以非參考節點電壓為變數的方程式。 2.由電壓源找出超節點，並對不屬於超節點的每個非參考節點取 KCL。 3.對每個不含參考點的超節點取 KCL。 2-13

  14. G G 2 1 G 3 + = - v v G + + - - - = ( G G G ) v G v G v G v 0 4 4 s 1 2 3 1 2 2 3 3 1 s - + + + b - = G v ( G G ) v ( v v ) 0 2 1 2 5 2 1 3 - + + - b - = G v ( G G ) v ( v v ) 0 3 1 3 4 3 1 3 2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) • 無作用的超節點範例： 在節點1、2、3應用 KCL定律 (假設流出為正) 求得方程式為 1 2 4 3

  15. = - v 2 v 3 2 - = + Þ = - é ù é ù é ù 7 0 4 v 100 i ( 100 ( ) 2 2 2 ê ú ê ú ê ú = 2 1 0 v 0 (b) 在節點 3 ê ú ê ú ê ú 3 ê ú ê ú ê ú - 1 1 3 v 0 ë û ë û ë û 4 = v 12 (V) 2 = - v 24 (V) 3 解之可得 = - v 4 (V) 4 2-3 節點電壓分析法（Node Voltage Analysis) 例 2-8：求右圖電路之 v2, v3, v4值已知 v1= 100V。 4 W i 3 4 v 4 W 1 v W 2 3 1 v v 4 1 2 3 i i i 2 5 + - 1 2 v 100 V 4 W 2 W 2 解題方向： + - 取兩個電壓源及參考節點 3 為超節點，可得 超節點 v - + i i 1 ) 2 v 4 v v (a) 在節點 2 1 2 3 2 4 ( ) v + + = Þ - - + = + - i i i 0 4 ( v v ) 4 ( v v ) 4 0 0 (c) 在節點 4 3 4 5 2 4 3 4 4 由上面三式可列出電導矩陣式為 2-16

  16. 2-4 網目電流分析法 (Mesh Current Analysis) I I R R 1 2 1 2 a c b I 3 + + R I1R1+ I3R3 = vg1 I2R2+ I3R3 = vg2 I v v 整理之，可得網目方程式 I = I I 3 a g 1 g 2 b - - 1 a = I I 2 b 在節點 b， I3=I1-I2 I3=Ia-Ib 又觀察電路得知 所以 e d f + - é ù v + - = é ù é ù R R R I ( R R ) I R I v g 1 1 3 3 a 1 3 a 3 b g 1 = ê ú ê ú ê ú - + - R R R v I - + + = - R I ( R R ) I v ë û ë û ë û 3 2 3 g 2 b 3 a 2 3 b g 2 • 網目分析法是由列出網目方程式而開始，此方程式可利用 KVL環繞此 • 網目而獲得。方程式中的未知數是電流，而電阻器兩端的電壓為 IR， • 不論網目中電流方向如何預設，只要KVL及歐姆定律正確使用即可。 • 考慮右圖電路之網目，此電路有 2 個網目，故須列出 2 個網目方式， • 待解之未知數為網目Ia 及 Ib。 • 　 依 KVL在 • 網目 1.(a-b-e-f-a)  • -vg1+I1R1+I3R3  0 • 網目 2 (b-c-d-e-b)  • -I3R3+I2R2+vg2  0 • 電流： 將上列式子所求得的電流代入網目方程式整理得知 2-19

  17. ± ...... ± é ù é ù é ù R R R i v 11 12 1 M 1 1 ê ú ê ú ê ú ± ...... ± R R R i v ê ú ê ú ê ú 21 22 2 M 2 2 ..... ê ú ê ú ê ú = ..... ..... ..... ..... ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ± ± ...... R R R i v ë û ë û ë û M 1 M 2 MM M M 其中 M：電路中網目之數目。 v1：第j 個網目沿網目電流方向之電源電壓升之和。 I I R R 1 2 1 i1：第j 個網目之電流。 2 a c b Rjj：個網目所有分支電阻之和，此稱為網目 j 之自電阻 I 3 Rjk=Rk j：第j 個網目與第 k 個網目公共元件電組之總和， 此稱為網目j 與網目k之互電阻，ij , ik同向則 Rjk(及 Rk j) 取“＋”號， ij, ik反向則 Rjk(及 Rk j) 取“－”號。 + + R I v v I 3 a g 1 g 2 b - - + é ù v é ù é ù R R R I g 1 1 3 3 a = ê ú ê ú ê ú e + d v f R R R I ë û ë û ë û g 2 3 2 3 b 2-4 網目電流分析法 (Mesh Current Analysis) • 直接觀察法 可輕易列出下列矩陣，其表示式如下： • 一般進行網目分析時網目電流均取順時針方向，例如上圖之電路， • 因 Ia , Ib 方向在公共元件R3 中方向相反，故電阻矩陣中 R3 取負號， • 若在 R3 中 Ia 及 Ib 同向，則 I3=Ia+Ib， • 其矩陣式將為 2-20 其中R3已為正號，且因vg2在此情況為電壓升故取正值。

  18. 2-4 網目電流分析法 (Mesh Current Analysis) • 進行平面電路之網目分析時，應注意下列幾點重要觀念： 1.網目分析法之網目方程式的數目等於電路中網目之數目， 或電阻矩陣之階數，但若部份網目電流已知， 則其階數將隨已知之網目電流減少。 2.假設所有網目電流方向均為順時針方向較容易建立方程式， 避免錯誤。 3.僅包含獨立電源之電路，其電阻矩陣中，非對角線上的元素 對稱於對角線。若電路包含非獨立電源時， 則此對稱性將不會存在，此點稍後會有說明。 4.若電路中包含獨立電流源時，通常可以減少未知之網目電流， 但在較複雜之情況時，須利用超網目觀念求解， 此時應循 KVL建立方程式，而避免直接使用矩陣式， 此點亦將在後面加以說明。 2-23

  19. 2-4 網目電流分析法 (Mesh Current Analysis) W W W 1 3 2 - - - + + + v v v 5 1 3 + + + + v v W 3 v i i i W 2 6 2 V 2 3 3 1 2 - - - - + - = 2 A 2 i 3 ( i i ) 2 1 1 2 - = × + + × 3 ( i i ) 1 i ( 3 2 ) i 第一個網目依 KVL 得 1 2 2 3 - = i i 2 A 3 2 二個方程式之矩陣式(?) 依 KVL 得 - é ù é ù é ù 5 3 0 i 2 1 (B)上述三個方程式以矩陣式表示可得 ê ú ê ú ê ú - = 3 4 5 i 0 ê ú ê ú ê ú 2 ê ú ê ú ê ú - 0 1 1 i 2 ë û ë û ë û 3 - - 1 11 7 ANS: = = (A) ; i i (A) ; i (A ) = 1 2 3 9 9 3 例 2-14：求下圖電路之 i1, i2, i3值。 超網目 解:(A) 第二及第三個網目可構成一超網目 2-24

  20. 4 W + - v 4 - + i v 3 5 W + - 1 1 A v + + 1 W 2 i i 3 W v v 1 2 2 3 2 A v - - 3 - é ù é ù é ù 1 0 1 i 1 1 ê ú ê ú ê ú 解之可得 - = 28 - 1 7 0 i 0 4 17 ê ú ê ú ê ú = = 2 = i1 (A) ; i2 (A) ; i3 (A) ê ú ê ú ê ú 45 45 2 3 4 i 0 45 ë û ë û ë û 3 2-4 網目電流分析法 (Mesh Current Analysis) 超網目 例 2-16：求右圖電路中之 i1, i2, i3值。 解： (a) 網目1 無法依 KVL建立網目方程式，但可觀察出 i1 – i3 = 1 (b) 網目2 無法依 KVL建立網目方程式，但可觀察出 i1 – i2 = 2v3 = 2(3i2) (c) 網目3 無法依 KVL建立網目方程式，但可選擇2Ω、3Ω、4Ω 三個元件所組成之超網目建立KVL 方程式，即 2i1 + 3i2 + 4i3 = 0 由上述三個方程式列出如下矩陣式 2-24

  21. W 6 15 A v 2 v v 3 1 W W 1 2 + W 1 5 A 3 20 V - -2 3 答：20 V , V , 18 V v2 2-22 請以網目分析法求電壓增益 v1 750 ki W W b 1 5 k 150 i b - + + + W 2 5 15 k v W v 1 2 - - 本章練習 2-20 請以節點分析法求右圖電路 之節點電壓 v1, v2, v3值。 答：-51.94 2-32

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