Module 12: Advanced Topics Options, Agency, Derivatives and Financial Engineering

1. Module 12: Advanced TopicsOptions, Agency, Derivatives and Financial Engineering • Opsjoner, funksjoner og prissetting • Binomialmodellen og Black-Scholes • Agentteori • Derivater • Swaps • Financial Engineering Module 12

2. Opsjoner • En opsjon gir eieren rett, men ikke plikt, til å selge eller kjøpe det underliggende objekt til en på forhånd avtalt pris, på (European) eller innen (American) en bestemt dato • Opsjonens verdi avhenger av verdien på ”det underliggende objekt” – contingent claim Module 12

3. Opsjoner • Opsjonsterminologi: • Call option = kjøpsopsjon (rett til å kjøpe) • Put option = salgsopsjon (rett til å selge) • Strike price eller exercise price = utøvelsespris, prisen man har rett men ikke plikt til å kjøpe eller selge det underliggende objekt for • Expiration date = utløpsdato/bortfallsdato • Writer = utsteder (selger) av opsjonen • Holder = kjøper (eier) av opsjonen Module 12

4. Norsk Hydro opsjoner 5.10.12 Module 12

5. Opsjoner på Oslo Børs • Antall: I det standardiserte markedet omfatter hver opsjonskontrakt 100 underliggende aksjer, og en handel kan minimum bestå av 10 kontrakter. Mao må man kjøpe/utstede opsjoner tilsvarende minimum 1000 aksjer. • Innløsningskursen: Den prisen som skal betales pr. aksje dersom kjøperen av opsjonen ønsker å innløse. Antall innløsningskurser er standardiserte og fastsettes utfra bestemte regler. Module 12

6. Opsjoner på Oslo Børs • Bortfall: En standardisert opsjon har en løpetid på 6 måneder (tid til bortfall). Hver tredje måned noteres det nye opsjoner, slik at det alltid kan handles opsjoner med to forskjellige bortfall. Bortfallsdatoen er alltid den tredje torsdagen i bortfallsmåneden Module 12

7. Hvordan realisere gevinst eller tap på opsjoner ? • Innløsning: Innløsning kan kun gjøres av kjøperen av en opsjon, og betyr helt enkelt at han ønsker å gjøre bruk av sin rett. Eier du en kjøpsopsjon betyr det at du kjøper opsjonens underliggende aksje til innløsningskursen av han som har utstedt opsjonen. Er det en salgsopsjon du eier, medfører innløsning at du selger opsjonens underliggende aksje til utstederen av opsjonen Module 12

8. Hvordan realisere gevinst eller tap på opsjoner ? • Stengning: Du kan når som helst i løpetiden selge opsjonen videre (stenge posisjonen) til noen som ønsker å overta rettigheten du sitter på . På samme måte kan du kjøpe tilbake solgte (utstedte) opsjoner og overlate plikten til å oppfylle avtalen til noen andre. Dette er den vanligste og enkleste måten å realisere gevinst eller tap på, og ca 90% av alle opsjoner omsettes videre på denne måten.. Module 12

9. Hvordan realisere gevinst eller tap på opsjoner ? • Bortfall: Både stengning og innløsning av en opsjon kan gjøres i hele opsjonens løpetid, t.o.m opsjonens bortfallsdag. Dersom du ikke har gjort noe med opsjonen innen Oslo Børs stenger på bortfallsdagen, vil opsjonen gå til automatisk innløsning dersom opsjonen har en realverdi på minimum 1% av innløsningskursen. Opsjoner uten realverdi bortfaller verdiløse og premien du i sin tid betalte for opsjonen er tapt. Hvis man ønsker det er det imidlertid mulig å reservere seg mot automatisk bortfall. Module 12

10. Hva er en opsjon verdt ? • Realverdi: Opsjonens realverdi bestemmes av forskjellen mellom innløsningskursen og aksjekursen. Realverdien er på den måten opsjonens indre verdi og er minsteprisen en investor må betale for opsjonen. For en kjøpsopsjon er realverdien til en hver tid aksjekursen minus innløsningskursen, mens realverdien for en salgsopsjon er innløsningskursen minus aksjekursen. Da opsjonen enten har verdi eller er verdiløs, kan realverdien aldri bli negativ. Module 12

11. Hva er en opsjon verdt ? • Tidsverdi: Opsjonens tidsverdi er den verdien en opsjon har utover realverdien, dvs forskjellen mellom realverdi og opsjonens markedskurs. Denne verdien reflekterer markedets prising av investorens sjanser til å tjene penger på opsjonen innen bortfallsdagen. Tidsverdien er størst i begynnelsen og reduseres mer og mer ettersom det nærmer seg bortfall. Fallet i tidsverdien akselererer når det kun er kort tid igjen av løpetiden, og på bortfall er den lik null. Hvis opsjonen da har verdi, er dette kun realverdi. Module 12

12. Eksempel: kjøpsopsjon Opsjonen er ITM – In The Money (men kan bli enda mer ITM senere) Ved aksjekurs under 1,25 er opsjonen OTM – Out of The Money, og ved kurs lik 1,25 ATM – At The Money Module 12

13. Kontantstrøm for kjøpsopsjonInnløsningskurs: 1.25 kjøper 0,25 1,25 1,50 Aksjekurs -0,25 selger Module 12

14. Opsjonens markedsverdi Module 12

15. Hva er opsjonen verdt - eller hva omsettes den for? • Viktig - opsjonen er minst verdt realverdi (intrinsic value), som regel mer • Hvis opsjonen er ATM - kan den bli ITM før utløpsdato • Selv om opsjonen er OTM nå - kan den bli ITM • Hvis opsjonen er ITM - kan den bli enda mer ITM før utløpsdato Module 12

16. Opsjonsprising Module 12

17. Myron S Scholes Module 12

18. Opsjonsprisingsmodeller • Black - Scholes modellen svært viktig bidrag til forståelse av opsjonsprising • Ble tatt i praktisk bruk praktisk talt dagen etter arbeidet ble publisert i 1973 • Sikret Scholes Nobelpris (Black er død) • Modellen er «grei» å bruke men meget komplisert å utlede • Enklere modell som et første utgangspunkt - binomialmodellen Module 12

19. Binomisk opsjonsmodell • Et binomisk utfall har vi når en variabel kun kan anta to verdier. I vår verden kan en aksjekurs enten gå opp eller ned • Vi kan finne opsjonsverdien enten med • Risikonøytral verdsetting • Replikerende portefølje Module 12

20. Black og Scholes gjennombruddet • Nøkkelen til å verdsette en opsjon er å låne penger og kjøpe en aksje, som gir en eiendel med samme avkastnings-egenskaper som en opsjon • Nettokostnaden ved å kjøpe ”opsjon-ekvivalenten” må tilsvare opsjons-verdien Module 12

21. Binomialmodellen - 1 • I lærebokas eksempel kan man kjøpe en kjøpsopsjon med innløsningskurs 1.25, kurs nå er 1.50, dvs. opsjonen er ITM • Anta at risikofri rente er 10 % • Anta at bare to ting kan finne sted • kursen øker med 100 % til 3.00 • kursen faller med 50 % til 0.75 • Hvilken ”payoff” gir opsjonen? Module 12

22. Binomialmodellen - 2 Anta at du låner 0,5303 til 10 % rente; og kjøper 77,78% av en aksje – hva blir payoff ? Module 12

23. Binomialmodellen - 3 • Hva er opsjonen verdt? • Payoff fra opsjonen og den låne-finansierte plasseringen er den samme, derfor må verdien være den samme Module 12

24. Binomialmodellen - 4 • Men – hvor i all verden fant jeg følgende: • hvor stor andel av en aksje må vi kjøpe ? • hvor mye må vi låne ? • dette finner vi enkelt ved hjelp av et formelsett Module 12

25. Binomialmodellen - 5 • Antall aksjer som trengs for å lage en kjøpsopsjon kalles ”option delta” og beregnes slik: Module 12

26. Binomialmodellen - 6 • Bare ett spørsmål gjenstår – hvor mye skal lånes? • Lånet er nåverdien av avviket mellom payoff fra opsjonen, og payoff fra 77,78 % av en aksje Module 12

27. Binomialmodellen – 7Legg inn tall i gule celler, modellen beregner resten Module 12

28. Binomialmodellen - 8Mer formell utledning • Vi innfører følgende symboler • S0 = nåværende aksjekurs = 1.50 • q = sannsynlighet for kursøkning = 0.6 • uS0 = ny aksjekurs hvis kursen øker = 3.00 • dS0 = ny aksjekurs hvis kursen faller = 0.75 • u = ”multiplier” oppadd, dvs. faktor kurs øker til = 2.0 • d = ”multiplier” nedad, dvs. faktor kurs faller til = 0.5 Module 12

29. Binomiske utfall uSo = 2.0 • 1.50 = 3.00 q=0,6 So = 1.50 1-q=0,4 dSo = 0.5 • 1.50 = 0.75 Module 12

30. Binomialmodellen, 9 • Litt flere notasjoner • C0 = nåværende markedsverdi på opsjonen (C = ”call”, dvs. kjøp) • Cu = opsjonens ”payoff” ved utløp hvis kursen stiger på den underliggende aksjen • Cd = opsjonens ”payoff” ved utløp hvis kursen faller på den underliggende aksjen • X = innløsningskurs for opsjonen Module 12

31. Payoff for kjøpsopsjon Cu = max(0,uS0 - X)= max (0, 3.00 - 1.25) = 1.75 q=0,6 Co Cd = max(0,dS0 - X)= max (0, 0. 75 - 1.25) = 0 1-q=0,4 Module 12

32. Binomialmodellen, 10 • Enda flere symboler • rf = risikofri rente (lån eller plassering) • Y = antall underliggende aksjer som må kjøpes (eller shortes, hvis negativ) • Z = plassering (hvis positiv), lån (hvis negativ) til risikofri rente Module 12

33. Binomialmodellen, 11 • Vi har følgende betingede payoff • Hvis kursen øker: YuS0 + Z(1 + rf) = Cu • Hvis kursen faller: YdS0 + Z(1 + rf) = Cd • Vi kan løse ligningene over for Y og Z Module 12

34. Payoff for porteføljen YuS0 + Z(1+rf)= 0,778 • 2,0 • 1,5 - 0,5303 • 1,1= 1.75 q=0,6 PorteføljeYS0 + Z YdS0 + Z(1+rf)= 0,778 • 0,5 • 1,5 - 0,5303 • 1,1= 0 1-q=0,4 Module 12

35. Opsjonsverdi • Opsjonsverdien er den samme som verdien til porteføljen • YS0 + Z = 0.7778 • 1,5 - 0.5303 = 0.6364 • C0 = 0.6364 (opsjonspremie) • Verdi ut over innløsningsverdi (realverdi)= 0.6364 - 0.25 = 0.3864 Module 12

36. Binomialmodellen – ExcelLegg inn tall i gule celler, modellen beregner resten Module 12

37. Flere perioder Module 12

38. Black and Scholes modellen • Den binomiske modellen utvides til å dekke ”mange korte perioder” - kontinuerlig C0 = S0[N(d1)] - X e-rft[N(d2)] d1 = [ln(S0/X)+rfT]/(T1/2)+0,5 (T1/2) d2 = d1 - (T1/2) Module 12

39. Black and Scholes – ExcelLegg inn tall i gule celler, modellen beregner resten Module 12

40. Black and Scholes • Legg merke til at følgende variabler inngår i modellen • S0 = kurs på underliggende aksje • X = innløsningskurs • rf = risikofri rente •  = standardavvik • T = tid før forfall Module 12

41. Eksempel – Norsk Hydro • 24. januar 2011 ble Statoil aksje omsatt for 141,80. Kjøpsopsjoner med innløsning 145 og bortfall 21. februar 2011 (24 dager) ble omsatt for 2,05. Risikofri rente 2,3 % p.a., standardavvik 20 % p.a. Module 12

42. Kan finnes med NORMSFORDELING i Excel Vi må finne N(d1) og N(d2) Module 12

43. Black and Scholes – ExcelLegg inn tall i gule celler, modellen beregner resten Module 12

44. Salgsopsjoner (put) • Salgsopsjoner gir retten til å selge noe • Payoff blir forskjellig fra kjøpsopsjoner • Hvis markedskurs er høyere enn innløsningskurs, er realverdien på salgs-opsjonen 0, motsatt er realverdien positiv hvis markedskursen er lavere enn innløsningskursen • Vi kan finne verdien på put opsjoner ved hjelp av ”put-call parity” Module 12

45. Kombinasjon av opsjoner • Anta at du kjøper en aksje og en salgs-opsjon på samme aksjen. Innløsnings-kurs er 1.25 • Hva blir din payoff på hvert av disse objektene isolert, og sammen? Module 12

46. Kombinasjon av opsjoner • La oss nå prøve noe annet: • Vi kjøper en kjøpsopsjon (call) • Vi kjøper et risikofritt papir (zero coupon bond), som vi antar gir 1.25 ved salg • Hvordan blir avkastningen på hvert av objektene, og samlet? Module 12

47. Kombinasjon av opsjoner • Vi har sett noe meget viktig, nemlig at en investor oppnår samme avkastning fra følgende • Kjøp en aksje og en salgsopsjon på samme aksje • Kjøp en kjøpsopsjon og et risikofritt papir (zero coupon bond) • Hvis payoff er den samme, må kostnaden være den samme Module 12

48. Kombinasjon av opsjoner • Vi har altså sett det interessante at • Pris på underliggende aksje + pris på salgs-opsjon = pris på kjøpsopsjon + nåverdi av innløsningskurs • Dette er en av de mest fundamentale sammenhenger innen opsjoner – put call parity Module 12

49. Put – call parity • Man kan kjøpe forsikring eller protective put på to måter • Kjøp en aksje og salgsopsjon på aksjen samtidig. Kostnaden er prisen på aksjen og prisen på salgsopsjonen • Kjøp en salgsopsjon og en zero coupon bond. Kostnaden er prisen på opsjonen pluss prisen på obligasjonen (som vi antar er lik nåverdi av innløsningskurs, 1.25 i vårt eksempel) • Sammenhengen holder bare når put og call har samme innløsningskurs og samme utløpsdag, samt at obligasjonen innløses på samme dag som opsjonskontrakten løper ut Module 12

50. Put – call parity • Vi fant at • Pris på underliggende aksje + pris på salgs-opsjon = pris på kjøpsopsjon + nåverdi av innløsningskurs • Vi kan omforme dette til: • Pris på salgsopsjon = pris på kjøpsopsjon + nåverdi av innløsningskurs – pris på underliggende aksje Module 12