Maxwell Equations in Plasma

1. 2007.05.01-02 Maxwell Equations in Plasma 0. Self consistent field in plasma １．Physical meaning of Maxwell equations 2. Derivation of Maxwell eqs.

2. 電磁場と荷電粒子、荷電流体 • 単一粒子、流体の電磁場中での運動 qは電荷(-e,+Ze)、vは粒子（電子、イオン）の速度 Ve,iは（電子、イオン）流体の巨視的流れ、enは電荷密度 電荷をもつ粒子、流体には電磁力が作用する。　プラズマ全体の流体運動 は２式を足し合わせたものである。

3. 電磁場中の分布関数の発展方程式 ここで、E,Bは外部から与えられた電磁場。右辺は衝突項であり、 速度空間の流れのdivergenceとして与えられる。 もし外部電磁場が無いとすると左辺の第３項をなくすことができる。 外部からの電磁場は衝突による流れには寄与せず“外場”の元での 位相空間の運動を支配する。

4. 衝突とEntropy S増大 （配布資料を参照のこと） 分布関数の時間変化は １）確定的な外場における運動による変化 ２）ランダムな衝突による時間変化 によってもたらされている。 従って、エントロピーの時間変化も両者の寄与があるはず。

5. 外場の元での確定的な運動の寄与 空間微分の項の寄与は０

6. 速度空間における勾配の項の寄与も０ 結論として、外場の元での確定的な運動あるいは自由運動は エントロピー増大には寄与しない

7. ランダムな衝突がエントロピーを増大させる • プラズマにおける衝突を 　　　　大多数の微小角散乱　b~lDebye>>Lp-p 中くらいの散乱　　　　　 b＜lDebye 　　　　希な大角散乱　　　　　　b~Lp-p と分類すると • すべての散乱がエントロピー増大に寄与？ • プラズマ自身が作る電磁場の効果は？

8. プラズマ中のプラズマが作る電場 • 自分の作る電場＋全員が寄与して遮蔽電場を作る 小角散乱はどれを変化させるのか？ その他の散乱はどれを変化　両者を変化させるのか？ 電場は １）粒子間距離より遙かに長くデバイ長以下程度の平均場 （これはすべての粒子の協同効果として創世されたもの） と ２）粒子のランダムな運動、即ち“衝突”を」引き起こす 　揺らぎ成分である。

9. プラズマ自身の作る平均電場の記述（無衝突、且つ外場は無いとする）プラズマ自身の作る平均電場の記述（無衝突、且つ外場は無いとする） ここで、<>は巨視的な平均場に対応した、平均ポテンシャル、 平均電荷密度であり、分布関数と密接に結びついた量である。

10. プラズマ自身の作る平均磁場の記述（無衝突、且つ外場は無いとする）プラズマ自身の作る平均磁場の記述（無衝突、且つ外場は無いとする） ここで、<>は巨視的な平均場に対応した、平均電流密度、 平均drift速度であり、分布関数と密接に結びついた量である。

11. プラズマの協同効果による平均場はエントロピーの増大に寄与しないプラズマの協同効果による平均場はエントロピーの増大に寄与しない プラズマ粒子の協同効果で産み出され、lDの規模で平均される平均場（自己無撞着場self-consistent field）は外場同様エントロピーの増大を引き起こさない。したがって、collisionless-小角散乱による分布関数の時間発展はそれ自身では統計力学平均値に近づかない。

12. Maxwell eqs.の物理的意味と表現 I) Newton eq. は質点（その性質は　質量を持つ、あるいは　電荷を持つ　等）の運動を記述する。 光速で運動する光子の巨視的記述にはどうするか？その導出に先立ってベクトルの意味を考察する。 Maxwell eqs. 例） 非圧縮性流体（圧縮、膨張しない流体）の定義

13. Divergence ２次元(x,y)平面で任意のベクトルXを考え、 １）　 divergenceが０ ２）　 divergenceが０でない ３）　 divergenceが正、あるいは負　でない にベクトルがどのような特徴があるかを考える。 １） 2) Vectorの図 Vectorの図

14. 湧き出しなし Ｐは湧き出している

15. Q 3次元で積分表示を行えば？ D 次元：　電束密度　D[C/m2]、Q[C] 電束密度の表面積分は 電気力線の総和　即ち電荷の総和 に等しい

16. 3次元で積分表示を行えば　ＩＩ？ B 次元：　磁束密度　　Vs /m2Tesla 磁力線の湧き出しは無く、 磁束密度の表面積分は０に等しい。 即ち、閉じた領域内に“磁荷”に相当する ものは存在しない。 ０

17. Rotation Z軸の周りの反時計方向の回転 を表している。 vectorPは原点から放射状に 外に向かって出ており、回転 していない。

18. Vector 公式と物理概念 １）　Fを任意のスカラー関数として、 答えは何か？またその理由は？ ２）　Ａを任意のベクトルとして、 答えは何か？またその理由は？

19. Maxwell eqs. 物理的意味(II) Eの次元,単位は？ V/m: 力学的な力 N/C Bの次元,単位は？ Vs/m2: Dの次元,単位は？ C/m2=As/m2: Hの次元,単位は？ A/m: jの次元,単位は？ A/m2= C/s/m2:

20. のベクトル方向は？ 電気力線に回転を与えるのは磁束密度の時間変化 “回転した電気力線”は“発散のない磁力線”の時間変化

21. 磁場の回転は面を横切る電荷あるいは 電束密度の時間変化によってもたらされる。 磁力線の回転は電荷の時間変化と電荷の流れによって 与えられる。

22. 電荷の連続の式 記述されるベクトルの“発散的性質”を調べる 磁力線の回転は電荷の時間変化と電荷の巨視的流れVによって 与えられる。

23. Maxwell eq. の導出 • 粒子の運動　　　Lagrange eq. (Newton eq.) L=T(v2)-U(r)　　　粒子の性質は質量m • 場と粒子の相互作用（粒子と粒子の相互作用） Lagrange eq.(Maxwell eq.) 　　　　　相互作用に関して粒子の性質は　電荷e　で表現 • 場の記述　　　　Lagrange eq.(Maxwell eq.) 　　　　　粒子の軌道は固定　場のポテンシャル変分 最小作用(Js)の変分原理 Landau 場の古典論　3章、４章参照

24. 4元位置ベクトル：　r 空間成分 時間成分 C: light velocity 相対論に拡張した作用S[Js]の表現とLagrange

25. 場の性質：４元ポテンシャルA 空間成分 時間成分 粒子と場の相互作用は　粒子の性質　eと場の性質Aを用いて 注：作用の次元を確かめよ

26. 粒子と場の相互作用 ここでVは４元速度ベクトルの空間成分

27. 場と粒子の相互作用の作用積分 （ただし、粒子の運動は固定されている。） • 場のＬａｇｒａｎｇｅ　　=>　場のエネルギーの次元 • 重ね合わせが可能 • スカラー量 こうして、場の作用は

28. Maxwell eq. の導出　（Ｉ） Lagrange eqが相対論や電磁場との相互作用においても正当で ある（こうしたときの運動も作用を最小にする）と考える。 1st term

29. 2nd term ベクトル公式 を利用すると、第１項は　ｖとｒは独立変数であることを考慮して

30. 1st term を使うと ここで 2nd term 結局, 場における粒子の運動方程式は 注：右辺の次元を確かめよ

31. ここで　以下の場の強さを導入した 注：次元を確かめよ

32. この２つの式とベクトル恒等式を用いてMaxwell eq.を求める ベクトル恒等式

33. 積分表現　Ｉ 磁束の時間微分に負の符号 をつけたもの 起電力

34. 積分表現　ＩＩ 即ち、任意の閉曲面を通る 磁束は０である。 あるいは　磁荷　というものは 存在しない。

35. 電荷の連続の式 粒子質量、粒子密度の保存則は以下のようであった。　 ここで、電荷の保存も同様に考えると　 注)　積分形で表現せよ 即ち　Maxwell eq. は巨視的 物理量の保存則の基礎としても 用いることができる 注２)rjを分布関数を用いて表現せよ

36. 場の方程式 の導出　（ＩＩ） 場と粒子の相互作用の作用Sp-fと自由運動の作用Spの合計の 作用の変分が０で有ることから粒子の運動方程式を決定した。 この過程で、粒子に作用する相互作用の源である場を記述する Maxwell eq.の第１の組が導かれた。 場の方程式を決定するには、場自身の作用Sfを決定する必要 があり、それに粒子の運動を固定した場の相互作用Sp-fを加えて 場のLagrangeを導き、粒子の軌道の変分の代わりに、場のポテンシャルの変分に対して作用が0という要請から場の方程式を決定する。

37. 点荷の集合系と場の相互作用 点電荷の系から、分布電荷とその運動が電流を形成している系へ拡張 し、相互作用密度の空間積分の表現へと書き改める。

39. Ｅ D Q • 場のＬａｇｒａｎｇｅ　　=>　場のエネルギーの次元 • 重ね合わせが可能 • スカラー量 電気力線とは単位長さあたり E/2のエネルギーを蓄えている 電場の持つエネルギー密度 注）ここではGauss 単位を用いている

40. Ｅ D Q • 場のＬａｇｒａｎｇｅ　　=>　場のエネルギーの次元 • 重ね合わせが可能 • スカラー量 電気力線とは単位長さあたり E/2のエネルギーを蓄えている 電場の持つエネルギー密度 注）ここではGauss 単位を用いている

41. 場のＬａｇｒａｎｇｅ　　=>　場のエネルギーの次元場のＬａｇｒａｎｇｅ　　=>　場のエネルギーの次元 • 重ね合わせが可能 • スカラー量 B 磁力線の有するエネルギー密度は F=(E,H) ここで、Fは電磁場に関する４元テンソル表現とする こうして、場の作用は3次元表現を書けるとする。

42. Contravariant E-M tensor

43. Covariant E-M tensor

44. 電磁場を４元ポテンシャルを用いて以下の４元テンソル電磁場を４元ポテンシャルを用いて以下の４元テンソル 現わすことにすると、作用は と書ける。

45. 場の方程式IIの導出 この変分を調べるが、電流は粒子の運動が与えられているとして、 場のポテンシャルのみを変化させる。 dA （この関係を利用する） つぎの電磁場テンソルの変分 から

46. I,kを入れ替え の関係を使う

47. ここで、空間全体を考慮しているので、座標の無限遠ではここで、空間全体を考慮しているので、座標の無限遠では ポテンシャルは０とする。ただし、時間積分の２点ではポテンシャルの 変分は０である。 即ち場の方程式は

48. 以上より、２組の方程式が得られる。 注）これらの式の次元を確かめよ

49. 積分表現　ＩＩＩ 任意の閉曲線の回りの 磁場の循環 閉曲線で囲まれた面を通過する 変位電流と真電流の総和に 4p/cを掛けたもの 注）　次元を考えよ

50. 積分表現　ＩＶ 任意の閉曲面を通過する 全電束 閉曲面で囲まれた体積中の 総電荷に4pを掛けたもの 注）　次元を考えよ