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Uma Apresentação do Sistema GAP – Laboratório II

Uma Apresentação do Sistema GAP – Laboratório II. Professores : Osnel Broche Cristo e Anliy Sargeant Monitor: Junior Assis Barreto Bernardes. Listas: Revisão. gap> L : [6,8,9];; # Elementos entre colchetes e separados por vírgula.

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Uma Apresentação do Sistema GAP – Laboratório II

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Presentation Transcript

  1. Uma Apresentação do Sistema GAP – Laboratório II Professores: Osnel Broche Cristo e AnliySargeant Monitor: Junior AssisBarretoBernardes

  2. Listas: Revisão gap> L : [6,8,9];; # Elementos entre colchetes e separados por vírgula. gap> Append(L, [2]);; # Concatena a segunda lista passada no final da primeira. gap> Add(L, true); # Adiciona o elemento no final da lista. gap> L[3]; # Acesso a determinada posição da lista. 9

  3. Listas: Revisão gap> List([1,2,3], x -> x^3); [1,8,27] gap> Length(L); # Retorna a quantidade de elementos da lista. 5 gap> Position(L, 8); # Retorna a posição que o elemento passado ocupa na lista. 2

  4. Conjuntos • Os conjuntos são definidos no GAP como listas densas (sem buracos) e sem repetições, cujos elementos obedecem uma certa ordem que, no caso dos números inteiros, deve ser crescente. gap> IsSet([1,2,3,4]); true gap> IsSet([1,,2,,3,4]); false

  5. Conjuntos gap> IsSet([3,2,1]); false gap> IsSet([1,2,2,3]); false gap> AsSet([1,,3,2,,]); [1,2,3] gap> IsSet([“a”, “b”, “c”]); true gap> IsSet([“c”, “b”, “a”]); false

  6. Conjuntos • Conjuntos Heterogêneos: gap> IsSet(["a",4,true,3,0,false,8/9,"b",-6]); false gap> AsSet(["a",4,true,3,0,false,8/9,"b",-6]); [ -6, 0, 8/9, 3, 4, true, false, "a", "b" ]

  7. Conjuntos • Existem funções para adicionar e remover elementos obedecendo as restrições dos conjuntos: gap> S := [2,3,7,11];; gap> AddSet( S, 5 ); gap> S; [ 2, 3, 5, 7, 11 ] gap> RemoveSet(S,7); gap> S; [ 2, 3, 5, 11 ]

  8. Álgebra dos Conjuntos • As operações União, Interseção e Diferença já estão definidas no sistema. gap> B := [1,2,3];; gap> A := [1,5,6];; gap> Union (A,B); [1, 2, 3, 5, 6] gap> Intersection (A,B); [1] gap> Difference(A,B); [5, 6] gap> Difference(B,A); [2, 3]

  9. Álgebra dos Conjuntos • Quando as listas passadas não estão nas condições necessárias para representarem conjuntos, o próprio sistema faz uma conversão interna para executar as operações: gap> C := [1,2,,,3,3,,2];; gap> D := [,1,,1,,,5,6,5,6];; gap> Union(D,C); [1, 2, 3, 5, 6] gap> Intersection(D,C); [1] gap> Difference(D,C); [5, 6] gap> Difference(C,D); [2, 3]

  10. Álgebra dos Conjuntos gap> P := [-7, 1, true, "b", "o"]; [ -7, 1, true, "b", "o" ] gap> Q := [0, false, true, "o"]; [ 0, false, true, "o" ] gap> Union(P,Q); [ -7, 0, 1, true, false, "b", "o" ] gap> Intersection(P,Q); [ true, "o" ] gap> Difference(P,Q); [ -7, 1, "b" ] gap> Difference(Q,P); [ 0, false ]

  11. Relações entre Conjuntos • Igualdade gap> [1,2,3] = [3,2,1]; false gap> IsEqualSet([1,2,3],[3,2,1]); true gap> IsEqualSet([1,2,3],[1,2,2,3]); true gap> IsEqualSet([1,2,3],[1,2,3,4]); false gap> IsEqualSet(["a",true,8],[8,true,"a"]); true Gap> IsEqualSet([1,2,,3],[1,2,3]); true

  12. Relações entre Conjuntos • Subconjunto gap> IsSubset(Rationals,Integers); #Obs: A ordem é se o segundo é subconjunto do primeiro. true gap> IsSubset([1,2,3,4], [2,3,5]); false gap> IsSubset([1,2,3],[2,1]); true gap> IsSubset([1,2,,2,3,4,,,5,],[2,1]); true gap> IsSubset([1,2,,2,3,4,,,5,],[2,1,2,,5]); true

  13. Relação Especial • Pertinência (Entre elemento e conjunto) gap> 3 in Integers; true gap> 2/8 in Integers; false gap> 1 in [1,2,3]; true gap> [1] in [1,2,3]; false gap> [1] in [[1],[2],[3]]; true gap> 1 in [[1],[2],[3]]; false

  14. Relações • Uma relação binária em A é definida como um subconjunto do produto cartesiano de A com A: gap> A := [1,2,3]; gap> Cartesian(A,A); [ [ 1, 1 ], [ 1, 2 ], [ 1, 3 ], [ 2, 1 ], [ 2, 2 ], [ 2, 3 ], [ 3, 1 ], [ 3, 2 ], [ 3, 3 ] ] gap> IsBinaryRelation([[1,1],[2,2],[3,3]]); Error, no method found! For debugging hints type ?Recovery from NoMethodFound Error, no 1st choice method found for `IsEndoGeneralMapping' on 1 arguments called from <function>( <arguments> ) called from read-eval-loop Entering break read-eval-print loop ... you can 'quit;' to quit to outer loop, or you can 'return;' to continue

  15. Relações • A função IdentityBinaryRelation(n) gera a relação dada pelo diagonal do conjunto dos inteiros de 1 até n: gap> R1 := IdentityBinaryRelation(3); <equivalence relation on <object> gap> Source(R); #Conjunto gap> <object> gap> List(Source(R)); [1 ,2 ,3] gap> List(UnderlyingRelation(R)); #Elementos [ Tuple( [ 1, 1 ] ), Tuple( [ 2, 2 ] ), Tuple( [ 3, 3 ] ) ]

  16. Relações • A função IdentityBinaryRelation também pode ser aplicada a outros conjuntos: gap> R2 := IdentityBinaryRelation(Integers); IdentityMapping( Integers ) gap> Source(R2); Integers gap> List(Source(R2)); Error, resulting list would be too large (length infinity) called from …

  17. Relações • A função EmptyBinaryRelation(n) gera a relação vazia no conjunto dos inteiros de 1 até n: gap> R3 := EmptyBinaryRelation(4); Binary Relation on 4 points gap> List(Source(R3)); [ 1, 2, 3, 4 ] gap> List(UnderlyingRelation(R3)); [ ]

  18. Relações • A função EmptyBinaryRelation também pode ser aplicada a outros conjuntos: gap> R4 := EmptyBinaryRelation(Rationals); <general mapping: Rationals -> Rationals > gap> Source(R4); Rationals gap> List(Source(R4)); Error, resulting list would be too large (length infinity) called from gap> List(UnderlyingRelation(R4)); [ ]

  19. Relações • A função BinaryRelationByElements(A, R) gera a relação R do conjunto A: gap> A := [1,2,3];; gap>BinaryRelationByElements(A,[[1,1],[2,2],[3,3]]); Error, <S> and <R> must be domains called from GeneralMappingByElements( d, d, elms ) called from <function>( <arguments> ) called from read-eval-loop Entering break read-eval-print loop ... you can 'quit;' to quit to outer loop, or you can 'return;' to continue

  20. Relações • Como definir relações no sistema usando a função BinaryRelationByElements(A, R) ? • Primeiramente deve-se definir o conjunto A , para o sistema o domínio A usando a função Domain: gap> A := Domain([1,2,3]);;

  21. Relações 2) Depois define-se os elementos da relação R, isto é os pares de elementos relacionados por R, para o sistema as tuplas usando a função Tuple: gap>R := [Tuple([1,1]),Tuple([2,2]),Tuple([3,3])]; 3) Por fim, define-se a relação em si: gap> RR := BinaryRelationByElements (A, R);

  22. Relações: Propriedades gap> IsReflexiveBinaryRelation(R1); true gap> IsReflexiveBinaryRelation(R2); true gap> IsReflexiveBinaryRelation(R3); false gap> IsReflexiveBinaryRelation(R4); false gap> IsReflexiveBinaryRelation(RR); true

  23. Relações: Propriedades gap> A := Domain(["a","b"]); <object> gap> R :=[Tuple(["a","b"])]; [ Tuple( [ a, b ] ) ] gap> R5 := BinaryRelationByElements(A,R); <general mapping: <object> -> <object> > gap> IsBinaryRelation(R5); true gap> IsReflexiveBinaryRelation(R5); false

  24. Relações: Propriedades gap> IsTransitiveBinaryRelation(R1) true gap> IsTransitiveBinaryRelation(R1) true gap> IsTransitiveBinaryRelation(R3) true gap> IsTransitiveBinaryRelation(R4) true gap> IsTransitiveBinaryRelation(RR) true gap> IsTransitiveBinaryRelation(R5); true

  25. Relações: Propriedades gap> IsSymmetricBinaryRelation(R1); true gap> IsSymmetricBinaryRelation(R2); true gap> IsSymmetricBinaryRelation(R3); true gap> IsSymmetricBinaryRelation(R4); true gap> IsSymmetricBinaryRelation(RR); true gap> IsSymmetricBinaryRelation(R5); false

  26. Relações: Propriedades gap> B := Domain(["a","b"]); <object> gap> R :=[Tuple(["a","b"]), Tuple(["b","a"])]; [ Tuple( [ a, b ] ), Tuple( [ b, a ] ) ] gap> R6 := BinaryRelationByElements(B,R); <general mapping: <object> -> <object> > gap> IsBinaryRelation(R6); true gap> IsSymmetricBinaryRelation(R6); true

  27. Relações: Propriedades gap> IsAntisymmetricBinaryRelation(R1); true gap> IsAntisymmetricBinaryRelation(R2); true gap> IsAntisymmetricBinaryRelation(R3); true gap> IsAntisymmetricBinaryRelation(R4); true gap> IsAntisymmetricBinaryRelation(RR); true gap> IsAntisymmetricBinaryRelation(R6); false

  28. Funções (Mappings) • Função é um caso particular de relação. Assim, está definida analogamente no sistema: gap> S := Domain([1,2,3]); <object> gap> R := Domain([1,2,3,4,5]); <object> gap> elms := [Tuple([1,5]),Tuple([3,4])]; [ Tuple( [ 1, 5 ] ), Tuple( [ 3, 4 ] ) ] gap> F := GeneralMappingByElements(S,R,elms); <general mapping: <object> -> <object> >

  29. Funções (Mappings) • Outra maneira de definir: gap> B := Domain([1,2,3]); gap> G := MappingByFunction(B,Integers,x->x^2); MappingByFunction( <object>, <object>, function( x ) ... end ) gap> UnderlyingRelation(G); <object> gap> List(last); [ Tuple( [ 1, 1 ] ), Tuple( [ 2, 4 ] ), Tuple( [ 3, 9 ] ) ]

  30. Funções: Propriedades gap> IsSurjective(F); false gap> IsSurjective(G); false gap> IsInjective(G); true gap> IsInjective(F); true gap> IsBijective(F); false gap> IsBijective(G); false

  31. Funções: Propriedades gap> F := Domain([-1,-2,-3]); <object> gap> H := MappingByFunction(Integers,F,x -> x^2); MappingByFunction( <object>, <object>, function( x ) ... end ) gap> IsInjective(last); false gap> IsBijective(H); false

  32. Funções: Propriedade gap> A := Domain(["a","b","c"]); <object> gap> B := Domain(["a","b","c"]); <object> gap> R :=[Tuple(["a","b"]), Tuple(["b","a"]), Tuple(["c","c"])]; [ Tuple( [ a, b ] ), Tuple( [ b, a ] ), Tuple( [ c, c ] ) ] gap> F2 := GeneralMappingByElements(A,B,R); <general mapping: <object> -> <object> >

  33. Funções: Propriedades gap> List(UnderlyingRelation(F2)); [ Tuple( [ a, b ] ), Tuple( [ b, a ] ), Tuple( [ c, c ] ) ] gap> IsInjective(F2); true gap> IsSurjective(F2); true gap> IsBijective(F2); true

  34. Funções (Programação) • gap> cubo := x -> x^3; function( x ) ... end gap> cubo(5); 125 • function ([argumentos f, argumentos g]) local identicador local f, identicador local g; instruções; end;

  35. Funções (Programação) • gap> fat := function(n) > local f,i; # Variaveis locais > f := 1; > for i in [1 .. n] do > f := f*i; > od; > return f; # Retorno da função. > end;

  36. Funções (Programação) • gap> fatorial := function(n) > if n = 0 then > return 1; > else > return n*fatorial(n-1); #Chamada recursiva, também presente no GAP. > fi ; > end;

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