موضوع : دایره ها

2. موضوع: دایره ها هندسه ی 2 - فصل دوم

3. کتاب بزرگ طبیعت به زبان ریاضی نوشته شده است. الفبا ی این زبان مثلث ها دایره ها و سایر اشکال هندسی است. گالیله

4. دایره مکان هندسی نقطه ای از صفحه است که فاصله اش از نقطه ثابتی واقع در آن صفحه مقدار ثابتی باشد. نقطه ثابت مرکز دایره و مقدار ثابت اندازه شعاع دایره نامیده می شود. . M هم چنین میتوان گفت:دایره منحنی بسته ای است که فاصله تمام نقاط روی محیطش از نقطه ی ثابتی به نام مرکزبه یک فاصله است. r نام گذاری دایره ها:دایره ی cبه مرکز oوبه شعاع rرا به صرت زیر نام گذاری می کنیم:C(o.r)

5. تعاریف: شعاع:فاصله هر نقطه ی روی محیط دایره تامرکز دایره را شعاع دایره مینامیم.با(R)نشان میدهیم. قطر:وتری که از مرکز دایره گذشته و دایره را به دو قسمت برابر تقسیم میکند. با(R2)نشان میدهیم. کمان: قسمتی از محیط یک دایره راکمان دایره مینامیم مثل کمان AB:AB وتر:خطی که دو سر دایره بهم وصل میکن وتر دایره است مثل وتر AB B A O

6. R . . اگر نقطه Mدرون دایره باشد:آنگاهOM<R M O R .O .M اگر نقطه Mروی دایره باشدآنگاهOM=R M. اگر نقطهM خارج از دایره باشدآنگاهOM>R O. R

7. در این حالت هاخطdهمان خط المرکزین(خطی که ازمرکز دایره بر خط دایره عمود شده است )می باشد. 1-خط بر دایره مماس باشد(خط و دایره فقط یک نقطه تماس داشته باشند) d d=R حالتهای یک خط با دایره 2-خط و دایره متقاطع باشند(خط و دایره دونقطه تماس داشته باشند) d d<R 3-خط ودایره نقطه تماس ندارند(خط دایره را قطع نمیکند) d d>R

8. A B زاویه ی مرکزی:زاویه که راس آن مرکز دایره و اضلاع ان شعاع های دایره است. اندازه زاویه مرکزی برابر با کمان مقابل آن زاویه استO=ᴖAB͡^ O زاویه محاطی:زاویه ای که راسش روی دایره واضلاعش دو وتر دایره میباشد اندازه زاویه محاطی برابر نصف کمان روبرویش =͡^C A B .O زوایا در دایره C A زاویه ظلی:زاویه که راسش روی دایزه ویکی از اضلاع ان بر دایره مماس است. زاویه ضلی برابر نصف کمان روبرو=͡ ^ A .O B زاویه بین دو وتر:

9. اثبات:اندازه زاویه محاطی نصف کمان روبرو است فرض: B^ACزاویه محاطی است حکم: BC 2 توضیح رسم:از مرکز دایره به نقطه Cوصل میکنیم. مثلثAOCمتساوی الساقین است ^A=^C A 2^A B^OC= ^A+^Cزاویه خارجی مثلث AOC = ͡͡BC⁄2 BC B^OCزاویی مرکزی دایره O. C 2 B

10. اثبات:اندازه هر زاویه ظلی نصف کمان مقابل است. فرض:BTAزاویه ظلی است حکم::BAT=AB/2 توضیح رسم:قطری که از Aمیگذرد را رسم واز DبهB وصل میکنیم زاویه ABD محاطی به قطر برابر 90 درجه است. ADB+BAD=90 DAB+BAT=90 BAT=ADB BAT=AB/2 A T O. B D

11. A زاویه بین دو وتر که یکدیگر را در خارج ار دایره قطع کنند D M ͡ ^ M C زاویه بین دو وتر B A D زاویه بین دو وتر که یکدیگر را در داخل دایره قطع میکنند M C B

12. روابط طولی: -از دو وتر نابرابر ان وتری که به مرکز نزدیک تر است بزرگتر است و بالعکس -طول مماس های رسم شده ازهر یک نقطه باهم برابرند

13. A B از نقطه یmداخل دایره دو وتر دلخواه BB'وAA'رسم شده اند داریم:.MA.MA‘=BM.MB' M A' 'B اگر در شکل فوقMA=4وMB=3و6=MA`باشد مطلوب است اندازه وترBB`? 4.6=3. MB` MB`=8 BB`=MB+MB`=8+3=11

14. -4اگر ازیک نقطه یک مماس ویک قاطع نسبت به دایره رسم کنیم . قطعهای از خط مماس محصور بین آن نقطه ونقطه تماس واسطه ی هندسی دو قطعه قاطع است MT²=AM.A‘M T M A A' در شکل فوق اگرAM=4وA‘A=5باشد مطلوب است MT? پاسخ:MT²=4.9=36 MT=6

15. هر گاه همه ی اضلاع یک چند ضلعی بر محیط دایره مماس باشد نکته1»شرط لازم و کافی برا انکه چهار ضلعی محیطی باشد آن است که مجموع اضلاع مقابل دو به دو با هم برابر باشد نکته2»هر مثلث میتواند بر دایره محیط شود این دایره دایره محاطی مثلث نامیده میشود که مرکز دایره همان محل همرسی نیمساز های داخلی مثلث است شعاع دایره محاطی مثلث ABC از رابطه ذیل بدست می آیدR=S/P A C B دایره ای وجود دارد که از تمام رئوس این چندضلعی می گذرد »شرط لازم کافی برا انکه چهار ضلعی محاطی باشد آن است که زوایا مقابل دو به دو مکملباشد نکته2»هر مثلث میتواند بر دایره محاط شود این دایره دایره محیطی مثلث نامیده میشود که مرکز دایره همان محل همرسی عمود منصف های اضلاع مثلث است شعاع دایره محیطی مثلث ABC از رابطه ذیل بدست می آیدR=abc/4s A C B

16. در دایره C(O.R)مکان هندسی وسط تمام وتر های مساوی وبه طول مشخص I دایره ای است هم مرکز با آن دایره و به شعاعی برابر فاصله وتر تا مرکز آن دایره یعنی: C(O. -/4) مثال در دایره ای به شعاع 5 وسط وتر های 6 سانتی روی دایره ای به کدام شعاع با همین مرکز قرار دارد

17. (cardioid)دلگون:اگر دایره ای به شعاع 1واحد مماس بر دایره ای به شعاع 1واحد و حول آن بغلتد شکلی که یه نقطه از محیط دایره غلتان روی صفحه بوجود می آورد دلگون میگوییم (Nephroid)نفروید:اگر دایره ای به شعاع 1واحد مماس بر دایره ایبه شعاع 2واحد و حول آن بغلتد شکلی که یه نقطه از محیط دایره غلتان روی صفحه بوجود می آورد نفروید میگوییم

18. (Deltoid)دلتا گون:اگر دایره ای به شعاع 1واحد مماس بر دایره ای به شعاع 3واحد و درون آن بغلتد شکلی که یه نقطه از محیط دایره غلتان روی صفحه بوجود می آورد دلتا گون میگوییم (Astroid)ستاره گون:اگر دایره ای به شعاع 1واحد مماس بر دایره ای به شعاع 4واحد و درون آن بغلتد شکلی که یه نقطه از محیط دایره غلتان روی صفحه بوجود می آورد ستاره گون میگوییم

19. کمان در خور • قضیه: • مکان هندسی راس زاویه ای برابرaاست که ضلعهایش از دو نقطه ثابت می گذرند،کمان هایی از دو دایره مساوی است که از آن دو نقطه ثابت می گذرند و زاویه مرکزی رو به رو به وتر مشترک آن ها برابرa2 است .

20. مراحل اثبات : P 1-ابتدا دو نقطه ثابتAوB را در یک صفحه در نظرمیگیریم و به هم وصل می کنیم. a 2-وسط AB را پیدا کرده و عمود منصف آن را رسم کرده و آن را دلتا می نامیم . x F 3-روی خط دلتا نقطه ای مانند p در نظر گرفته و زاویه یxphرا به اندازه a جدا می کنیم. o (px نیم خطی می باشد که با زاویه ی a می سازد که اسم آن زاویه xph می باشد ). E' B 4-از نقطه A خطی موازی px رسم می کنیم تا خط را در نقطه ی o قطع کند. A H E 5-به مرکز o و شعاع OA دایره ای رسم می کنیم . O' 6-این دایره حتماً از نقطه ی Bخواهد گذشت و خط دلتا را در نقاط EوF قطع خواهد کرد. چرا؟... *اندازه کمان AEBبرابر a2 است XPH=AOH=a AOB=2a مرکزی AEB=2aطبق خاصیت موازی مورب F' کمان AFB مکان هندسی مورد نظر یعنی مکان هندسی راس زاویه ای برابرa می باشد که از دو نقطه ثابت AوB می گذرد.

21. P 7- از نقطه B خطی موازی PX رسم می کنیم تا خط دلتا را در نقطه O' قطع کند. a x F 8- به مرکز O' و شعاع O'B دایره ای رسم می کنیم و محل تقاطع این دایره را با خط دلتا ً E’وF’می نامیم. o کمان BF’Aهمان مکان هندسی میباشد که اگر هر نقطه روی این کمان انتخاب شود برابر a خواهد شد. E' B A H E O' F'

22. حالت هاي مختلف : M' M F اگرنقطه اي مانند M روي كمان AFB باشد قضيه ثابت است زيرا: زاويه M برابر است با نصف كمان AEB و برابر a است . M = AEB = a 2 M" o a B A H E اين قضيه در مورد M'و M" نيز صدق مي كند يعني : M = M' =M"= a

23. حالت هاي مختلف : F M N حال اگر نقطه ي ديگري مانند N وجود داشته باشد ۲ حالت اتفاق مي افتد: a o 1 (1 اگر N داخل دايره باشد: زاويه ي خارجي مثلث NMB برابر مجموع زواياي M و1B مي باشد در نتيجه زاويه N از a بزرگ تر شده و قضيه را نقض مي كند. a A B H E N = M + B1→ N > a

24. N حالت هاي مختلف : F M حال اگر نقطه ي ديگري مانند N وجود داشته باشد ۲ حالت اتفاق مي افتد: a o 1 2) اگر N خارج دايره باشد: زاويه ي خارجي مثلث MNB برابر مجموع زواياي N و B1 مي باشد در نتيجه زاويه N از a كوچك تر شده و قضيه را نقض مي كند. a A B H E M = N + a → N < a

25. باتشکر از همکاری شما: نگار عبدی یاسمن حریر چیان زهرا نصیر پرند هندی آزاد وبا سپاس فراوان از راهنمایی های بی دریغ دبیر ارجمند:خانم عباسی و بنده حقیرکه طراحی و اجرا ی پاور پونت را بر عهده داشتم:فاطمه مرزانی پایه سوم ریاضی دبیرستان خواجه عبدالله انصاری خدا نگه دار.......... پاییز92