дифференциальные уравнения второго порядка

1. дифференциальные уравнениявторогопорядка • { задача Коши - геометрическая интерпретация дифференциального уравнения второго порядка - приемы интегрирования дифференциальных уравнений 2-го порядка - уравнение погони – примеры }

2. Задача Коши Дифференциальное уравнение второго порядка может иметь вид F(x,y,y’,y’’) = 0или y’’ = f(x,y,y’). Общим решением уравнения является функцияy = j (x, C1, C2), существенно зависящая от двухпроизвольных постоянных и обращающая данное уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных. Частное решение получается при закреплении постоянных С1, С2 . Задача отыскания решения дифференциального уравнения удовлетворяющего заданным начальным условиям y(x0 ) = y0, y’(x0) = y’0 называется задачей Коши. Теорема Если функция f- правая часть дифференциального уравненияd2y/dx2 =f(x,y,dy/dx) непрерывна в некоторой замкнутой трехмерной области D:oxyy’и имеет в этой области ограниченные частные производнуюдf/дy,дf/дy’,то каждой внутренней точке области D соответствует, и притомединственное, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

3. Задача Коши Геометрически это означает, что через каждую точку M0(x0,y0, y’0)области Dпроходит одна и только одна интегральная криваярассматриваемого уравнения. Данная теорема называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения Y’ M0(x0,y0, y’0 ) D y o P0(x0,y0) x

4. Пример @ Решить дифференциальное уравнение второго порядка, при заданных начальных условиях f ’y = 0 f ’y’ = 1/x Решение y M(1,1) C2 = tgjo = 1 o x

5. Геометрическая интерпретация ДУ второго порядка Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка F(x,y,y’,y’’)=0.. Этим уравнением для каждой точки M(x,y) определяется связь между координатами точки, через которую проходит интегральная кривая, производной функции dy/dx- угловым коэффициент касательной к интегральной кривой, и, через вторую производную, кривизной кривойk. y = j(x) y’ = dj/dx

6. Приемы интегрирования ДУ второго порядка Метод понижения порядка Тип I Тип II

7. Приемы интегрирования ДУ второго порядка Метод понижения порядка Тип III Тип IV

8. Пример @ Решить дифференциальное уравнение Решение

9. Уравнение погони Определить траекторию преследования цели ракетой, если цель движется вдоль прямой, а скорости цели и ракеты равны между собой. Если точка Aдвижется вдоль заданной кривой, а точка Pпреследует её, причем вектор направления движения точки Pвсегда направлен на точку A, и скорости движения точек постоянны, то траектория точки Pназывается кривой погони. Такая задача впервые была решена французским математиком Pierre Bouguerв 1732 году, впоследствии задачи такого класса исследовались английским математиком Boole. P A

10. Уравнение погони Уравнение кривой погони выводится при условии, что вектор касательной к траектории в точке Pвсегда параллелен линии, соединяющей Aи P P Пусть точка Aдвижется вдоль оси y, тогда уравнение её движения: A Уравнение движения точки Pв параметрической форме:

11. Уравнение погони Последнее уравнение может быть переписано в следующем виде

12. Уравнение погони Последнее уравнение допускает понижение порядка

13. Уравнение погони Начальные условия: в момент времени t = 0точка Pнаходится в точке плоскости M0и имеет скорость V = 1 P После подстановки этих величин в общее решение получаем частное решение A

14. Кривые погони при разных способах движения цели A C B D