光波在介质中的传播规律受到介质折射率分布的制约，而折射率的分布又与其介电常量密切相关。晶体折射率可用施加电场 E 的幂级数表示，即

1. §2.3 光波在电光晶体中的传播 光波在介质中的传播规律受到介质折射率分布的制约，而折射率的分布又与其介电常量密切相关。晶体折射率可用施加电场E的幂级数表示，即 或写成 式中，γ和h 为常量，n0为未加电场时的折射率。在(2)式中， γE是一次项，由该项引起的折射率变化，称为线性电光效应或泡克耳斯(Pockels)效应；由二次项γE2引起的折射率变化，称为二次电光效应或克尔（Kerr）效应。对于大多数电光晶体材料，一次效应要比二次效应显著，可略去二次项。

2. 1.电致折射率变化 对电光效应的分析和描述有两种方法：一种是电磁理论方法，但数学推导相当繁复；另一种是用几何图形───折射率椭球体(又称光率体)的方法，这种方法直观、方便，故通常都采用这种方法。 在晶体未加外电场时，主轴坐标系中，折射率椭球由如下方程描述：

3. 式中，x，y，z为介质的主轴方向，也就是说在晶体内沿着这些方向的电位移D和电场强度E是互相平行的；nx，ny，nz为折射率椭球的主折射率。式中，x，y，z为介质的主轴方向，也就是说在晶体内沿着这些方向的电位移D和电场强度E是互相平行的；nx，ny，nz为折射率椭球的主折射率。 当晶体施加电场后，其折射率椭球就发生“变形”，椭球方程变为如下形式：

4. 比较 (3)和 (4)两式可知，由于外电场的作用，折射率椭球各系数 随之发生线性变化，其变化量可定义为 式中，γij称为线性电光系数；i取值1，…，6；j取值1，2，3。(5)式可以用张量的矩阵形式表式为：

5. = . (6)

6. 式中， 是电场沿 方向的分量。 具有 元素的矩阵称为电光张量，每个元素的值由具体的晶体决定，它是表征感应极化强弱的量。下面以常用的KDP晶体为例进行分析。 KDP（KH2PO4）类晶体属于四方晶系, 42m点群, 是负单轴晶体, 因此有 这类晶体的电光张量为: (7)

7. 而且 ,因此，这一类晶体独立的电光系数只有 两个。将(7)式代入(6)式,可得： 电光系数：γ63

8. 将(8)式代入(4)式，便得到晶体加外电场E后的新折射率椭球方程式:将(8)式代入(4)式，便得到晶体加外电场E后的新折射率椭球方程式: 由上式可看出, 外加电场导致折射率椭球方程中“交叉”项的出现, 说明加电场后,椭球的主轴不再与 x, y, z轴平行, 因此, 必须找出一个新的坐标系, 使(9)式在该坐标系中主轴化, 这样才可能确定电场对光传播的影响。为了简单起见, 将外加电场的方向平行于轴 z ，即 , 于是(9)式变成：

9. 为了寻求一个新的坐标系 (x’, y’, z’)，使椭球方程不含交叉项，即具有如下形式： (11)式中， x’, y’, z’为加电场后椭球主轴的方向，通常称为感应主轴； 是新坐标系中的主折射率，由于(10)式中的 x和y是对称的 , 故可将 x 坐标和 y 坐标绕z轴旋转α角，于是从旧坐标系到新坐标系的变换关系为：

10. y’ y x’ α x 将(12)式代入(10)式，可得： 令交叉项为零，即 ,则方程式变为 (14) 这就是KDP类晶体沿Z轴加电场之后的新椭球方程，如图所示。其椭球主轴的半长度由下式决定：

11. y y' x' 450 x 图1加电场后的椭球的形变

13. 由于γ63很小（约10-10m/V）,一般是γ63EZ <<， 利用微分式 即得到(泰勒展开后也可得) : 故

14. 由此可见，KDP晶体沿 Z（主）轴加电场时，由单轴晶变成了双轴晶体，折射率椭球的主轴绕z轴旋转了45o角，此转角与外加电场的大小无关，其折射率变化与电场成正比，(16)式的△n值称为电致折射率变化。这是利用电光效应实现光调制、调Q、锁模等技术的物理基础。

15. (14) 2.电光相位延迟 下面分析一下电光效应如何引起相位延迟。一种是电场方向与通光方向一致, 称为纵向电光效应;另一种是电场与通光方向相垂直, 称为横向电光效应。仍以KDP类晶体为例进行分析, 沿晶体Z轴加电场后，其折射率椭球如图2所示。如果光波沿Z方向传播，则其双折射特性取决于椭球与垂直于Z轴的平面相交所形成的椭园。在(14)式中，令 Z = 0，得到该椭圆的方程为:

16. nz=ne y

17. 这个椭圆的一个象限如图中的暗影部分所示。它的长、短半轴分别与 x’ 和 y’ 重合, x’ 和 y’ 也就是两个分量的偏振方向, 相应的折射率为 nx’ 和 ny’ 。 当一束线偏振光沿着z轴方向入射晶体, 且E矢量沿x方向，进入晶体(z=0)后即分解为沿x’和y’方向的两个垂直偏振分量。由于二者的折射率不同, 则沿x’方向振动的光传播速度快, 而沿y’方向振动的光传播速度慢, 当它们经过长度 L后所走的光程分别为 nx’L和ny’L, 这样, 两偏振分量的相位延迟分别为

18. 因此，当这两个光波穿过晶体后将产生一个相位差因此，当这两个光波穿过晶体后将产生一个相位差 式中的 V = Ez L是沿Z轴加的电压；当电光晶体和通光波长确定后，相位差的变化仅取决于外加电压，即只要改变电压，就能使相位成比例地变化。

19. p l c = = 0 ( 20 ) V l 2 g w g 3 3 2 n n 63 0 63 0 当光波的两个垂直分量Ex’ , Ey’的光程差为半个波长(相应的相位差为π)时所需要加的电压，称为“半波电压”，通常以 表示。由(19)式得到 半波电压是表征电光晶体性能的一个重要参数，这个电压越小越好，特别是在宽频带高频率情况下，半波电压小，需要的调制功率就小。半波电压通常可用静态法(加直流电压)测出，再利用(20)式就可计算出电光系数 值。下表 为 KDP型(42m晶类)晶体的半波电压和电光系数（波长＝0.55um）的关系。

20. 表1 KDP型(42m晶类)晶体的半波电压和 (波长＝0.5um)

21. 3.光偏振态的变化 根据上述分析可知，两个偏振分量间的差异，会使一个分量相对于另一个分量有一个相位差（△），而这个相位差作用就会(类似于波片）改变出射光束的偏振态。在一般情况下，出射的合成振动是一个椭圆偏振光，用数学式表示为： 这里有了一个与外加电压成正比变化的相位延迟晶体(相当于一个可调的偏振态变换器)，因此，就可能用电学方法将入射光波的偏振态变换成所需要的偏振态。

22. E x y’ x’ y 让我们先考察几种特定情况下的偏振态变化。 (1)当晶体上未加电场时， 则上面的方程简化为： 这是一个直线方程，说明通过晶体后的合成光仍然是线偏振光，且与入射光的偏振方向一致，这种情况相当于一个“全波片”的作用。

23. (2)当晶体上所加电场（ ）使 时，(21)式可简化为 这是一个正椭圆方程，当A1=A2 时，其合成光就变成一个圆偏振光，相当于一个“1/4波片”的作用。

24. x y’ x’ y E (3) 当外加电场Vλ/2使△ = (2n+1)π, (21)式可简化为 上式说明合成光又变成线偏振光，但偏振方向相对于入射光旋转了一个2θ角(若=450，即旋转了900，沿着y方向)，晶体起到一个“半波片”的作用。 综上所述，设一束线偏振光垂直于x’y’平面入射，且(电矢量E)沿X轴方向振动，它刚进入晶体（Z=0）即分解为相互垂直的 x’,y’两个偏振分量，经过距离L后分量为：

25. 25 y’分量为： 26 26 注意：ωc / c = 2π/λ 在晶体的出射面(z＝L)处，两个分量间的相位差可由上两式中指数的差得到(x’ 分量比y’分量的大） 注： V = EzL, ωc/c = 2π/λ

27. 图4示出了某瞬间 和 两个分量(为便于观察，将两垂直分量分开画出)，也示出了沿着路径上不同点处光场矢量的顶端扫描的轨迹，在z＝0处(a)，相位差 ，光场矢量是沿X方向的线偏振光；在e点处， ，则合成光场矢量变为一顺时针旋转的圆偏振光；在i点处， ，则合成光矢量变为沿着Y方向的线偏振光，相对于入射偏振光旋转了90o。如果在晶体的输出端放置一个与入射光偏振方向相垂直的偏振器，当晶体上所加的电压在0— 间变化时。从检偏器输出的光只是椭圆偏振光的Y向分量，因而可以把偏振态的变化变换成光强度的变化(强度调制)。

28. 何为电光晶体的半波电压？半波电压由晶体的那些参数决定？何为电光晶体的半波电压？半波电压由晶体的那些参数决定？ [答]：当光波的两个垂直分量Ex，Ey的光程差为半个波长（相应的相位差为）时所需要加的电压，称为半波电压。 （纵向应用 ） （横向应用 ，在略去自然双折射影响的情形下）