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第 2 讲 曲线与方程

df. 第 2 讲 曲线与方程. 知识梳理 基础练习 能力提升. 一、知识梳理. 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. f ( x 0 ， y 0 ) = 0. 坐标系. 坐标法. 根据已知条件，求出表示平面曲线的方程. 通过方程，研究平面曲线的性质. Return. 二、基础练习. Return. 三、能力提升. 有且仅. 例 4 、已知直线 l 与椭圆. 有一个交点 Q ，且与 x 轴、 y 轴分别交于 R 、 S ，求以. 线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹. 方程。.

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第 2 讲 曲线与方程

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  1. df 第2讲 曲线与方程 知识梳理 基础练习 能力提升

  2. 一、知识梳理 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 f(x0，y0)=0

  3. 坐标系 坐标法 根据已知条件，求出表示平面曲线的方程 通过方程，研究平面曲线的性质

  4. Return

  5. 二、基础练习

  6. Return

  7. 三、能力提升

  8. 有且仅 例4、已知直线l与椭圆 有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以 线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹 方程。 分析：设切点为Q(acos，bsin)，则切线l的 方程是： ，可得R、S的坐标是R( ，0)、S(0， )，即动点P的坐标是P( ， )， 消去得： （x0，y0）。

  9. y B F O x D P A 的右焦点为 例5、如图，椭圆 F(c，0)，过点F 的一动直线m绕点F转动，并且交 椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点． （1）求点P的轨迹H的方程； （2）若在Q的方程中，令 ， ．设轨迹H的最高点和最低点分别为 为何值 M和N．当 时，MNF为一个 正三角形？

  10. 例6、已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在 x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最 大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两 点，△ABF2的面积最大值为12． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程。 练习、已知直线 与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线 上. （1）求此椭圆的离心率； （2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆 上，求此椭圆的方程。

  11. 例7、如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°， AB=2，AC= 。DO⊥AB于O点，OA=OB， DO=2， 曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持 | PA |+| PB |的值不变。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； （2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点 M、N且M在D、N之间，设 ， 试确定实数 的取值范围．

  12. 练习、已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线与直 线l：y=k(x+2)(k0)的交点M在x轴上，直线l与抛 物线C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分 线交x轴于点N(t，0). （1）求抛物线C的方程； （2）求实数t的取值范围； （3）若抛物线C的焦点和准线分别为椭圆Q 的左焦点和左准线，试求椭圆Q的短轴端点的轨迹 方程。

  13. 练习、如图，以A1，A2为焦点的双曲线E与半 径为c的圆O相交于C、D、C1、D1，连接CC1与OB 交于点H，且有： ，其中A1，A2，B 是圆O与坐标轴的交点， c为双曲线的半焦距。 （1）当 c=1时，求双曲线E的方程； （2）试证：对任意正实数c， 双曲线E的离心率 为常数．

  14. 练习、过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点 在x轴上且离心率为 的椭圆C相交于A、B两点， 直线y= x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一 点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的 方程。

  15. 例8、设点A和B为抛物线 y2=4px(p>0)上原点以 外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点 M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

  16. 例9、已知椭圆 ，直线l: ， P是l 上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上 且满足|OQ|·|OP|=|OR|²，当点P在l上移动时，求 点Q的轨迹方程。

  17. 参数的取值及范围问题 对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构 造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数 的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化 为函数的值域。

  18. 例1、在平面直角坐标系xoy中，已知三点 A(1，0)，B(1，0)，C(1， )，以A、B为焦 点的椭圆经过点C。 （1）求椭圆的方程； （2）设点D(0，1)，是否存在不平行于x轴的 直线l与椭圆交于不同两点M、N，使 ？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在， 请说明理由； （3）若对于y轴上的点P(0，n)（ ），存在 不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N， 使 ，试求n的取值范围。

  19. 练习、已知椭圆 的左焦点为F，O为坐 标原点。 （1）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切 的圆的方程； （2）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、 B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点 G横坐标的取值范围.

  20. 关于存在性问题 处理存在性问题，其一般方法都是先假设存 在，通过对条件的处理得出与其它条件想吻合或 相矛盾的结论，从而判断是否存在。 例1、向量 = (2 ，0)，O是坐标原点， =6。 动点 M满足： （1）求点 M的轨迹 C的方程； （2）是否存在直线 l过 D(0，2) 与轨迹 C交于 P、Q两点，且以 PQ为直径的圆过原点，若存 在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由。

  21. 练习、如图，直角梯形ABCD中，∠ ，椭圆F以 ，AD∥BC，AB=2，AD= ，BC= A、B为焦点且过点D， （1）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程； （2）若点E满足 ，是否存在斜率 的直线l与 两点，且 ， 若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由。 D A C B

  22. 练习、已知圆 ，定点N( ， 0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP 上，且满足 ， ， （1）求点G的轨迹C的方程； （2）过点（2，0）作直线l ，与曲线C交于A、 B两点，O是坐标原点，设 是否存在这 样的直线l ，使四边形OASB的对角线相等（即 |OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不 存在，试说明理由。

  23. 有关定点、定值、定向问题 对于这种“三定”问题，一般都是先按要求求出 包含目标在内的函数（广义），再讨论是否是“定” 的。

  24. ，F1，F2为 例、已知椭圆C： 其左、右两焦点，A为右顶点，l为左准线，过F1的 直线 与椭圆相交于P，Q两点，且有： （1）求椭圆C的离心率e的最小值； （2）若 ，求m的取值范围； （3）若 求证：M、N 点的纵坐标之积为定值。

  25. 练习、椭圆C的焦点在x轴上，它的一个项点 恰好是抛物线 的焦点，离心率等于 ， （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、 B两点，交y轴于M点，若 ， ， 求证：1+2为定值。

  26. 圆锥曲线中的最值问题 圆锥曲线中的最值问题，也是高考中的常考题 型，往往以最值为媒体，考查圆锥曲线的方程等。 关键有：一是目标函数的建立及实际问题中参数的 取值范围；二是函数最值的求法。技巧的把握有一 定难度，特别是多边形面积的灵活处理最为关键。 例1、已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2+ 3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1． （1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的 方程； （2）当ABC=600时，求菱形ABCD面积的最 大值。

  27. 例2、已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F2．过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的 直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P． （1）设 ； P点的坐标为(x0，y0)，证明： （2）求四边形ABCD的面积的最小值。

  28. 练习、如图，设 的左焦 F是椭圆 点，直线l为对应的准线，直线l与x轴交于P点，线 ． 为椭圆的长轴，已知 ，且 段MN （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：对于任意的割线PAB，恒有 ； （3）求三角形△ABF面积的最大值。

  29. Return

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