数学实验

数学实验 实验十六迭代式与不动点兰州城市学院数学系

实验十六迭代式与不动点 【实验目的】 1.了解迭代的基本概念。 2.了解不动点的基本概念。学习、掌握MATLAB软件有关的命令。

实验十六迭代式与不动点 【实验内容】计算数列的极限。【实验准备】 1.迭代的基本概念 2.不动点的基本概念 3.压缩映像原理 4.迭代的MATLAB命令 MATLAB中主要用for,while等控制流命令实现迭代。

实验十六迭代式与不动点 练习1计算数列的极限。可用for语句，for循环允许一组命令以固定的或预定的次数循环。for循环的一般形式为 • for x=表达式1：表达式2：表达式3 • 语句体 • end 其中表达式1的值为循环的初值，表达式2的值为步长，表达式3的值为循环的终值。如果表达式2省略，则默认为1。

实验十六迭代式与不动点 本练习中，相应的MATLAB代码为 >>clear; >>x=3 >>for i=1:10 >>x=sqrt(x) >>end 可算得迭代数列的前10项：7321，1.3161，1.1472，1.0711，1.0349，1.0173，1.0086，1.0043，1.0021，1.0011 可见此数列的极限为1。

实验十六迭代式与不动点 本练习也可用while语句，while循环一般用于事先不能确定循环的情况。while 循环的一般形式为 • while表达式 • 语句体 • end 只要表达式的值为1（真），就执行while 与end之间的语句体，直到表达式的值为0（假）时终止该循环。通常，表达式的值为标量，但对数组值也同样有效，当数组的所有元素都为真时，才执行while和end之间的语句体。

实验十六迭代式与不动点 本练习中，相应的MATLAB代码为 >>n=0; eps=1.0e-5; x=3; >>while abs(x-sqrt(x))>eps >>x=sqrt(x); n=n+1 >>end >>x, n 结果为x=1.0000,n=16。这说明迭代到第16次后，数列的前后两项之间的误差小于，数列收敛到1。

实验十六迭代式与不动点 练习2利用迭代法求解方程。先画出函数的图形，观察函数的图形可以看出，在区间[1，2]方程有唯一正根。迭代格式1 方程变形为，先用for语句,初值设为1.5，相应的MATLAB代码为

实验十六迭代式与不动点 >>clear; >>x=1.5; >>for i=1:10; >>x=(x+1)^(1/3); >>end 可算得迭代数列的前10项： 1.3572，1.3309，1.3259，1.3249，1.3248，1.3247，1.3247，1.3247，1.3247，1.3247

实验十六迭代式与不动点 可见迭代格式收敛，方程的根约为1.3247。进一步，如果要控制计算误差，比如要使得计算误差小于，可用while语句，相应的MATLAB代码为： >>n=0;eps=1.0e-5;x=1.5; >>while abs (x-(x+1)^(1/3))>eps >>x=(x+1)^(1/3);n=n+1; >>end >>x,n

实验十六迭代式与不动点 计算结果为x=1.3247,n=6,说明只需进行6次迭代，就可达到所要求精度。

实验十六迭代式与不动点 迭代格式2 方程变形为，用for语句，初值设为1.5，相应的MATLAB代码为 >>clear; >>x=1.5; >>for i=1:10; >>x=(x+1)/x^2 >>end 可算得迭代数列的前10项： 1.111，1.7100，0.9268，2.2433，0.6445，3.9590，0.3164，13.1504，0.0818，161.5755 可见迭代格式是不收敛的。

实验十六迭代式与不动点 迭代格式3 方程变形为，用for语句，初值设为1.5，相应的MATLAB代码为 >>clear; >>x=1.5; >>for i=1:10 >>x=1/(x^2-1) >>end 可算得迭代数列的前10项： 0.8000，-2.7778，0.1489，-1.0227，21.8055，0.0021，-1.0000，1.1256e+005,7.8922e-011,-1 可见此迭代格式也是不收敛的。

实验十六迭代式与不动点 例子表明，迭代格式是否收敛的关键是迭代函数的选取。迭代函数选取恰当，迭代过程会迅速地收敛到不动点，否则，若迭代函数选择不当，收敛速度可能很慢，甚至导致迭代发散。

【练习与思考】 【练习与思考】 1.用构造线性迭代数列（1）在什么条件下，迭代对任意初值都收敛？（2）影响收敛性的主要因素是什么？它与的一阶导数有什么关系？（3）收敛速度的快慢由什么量决定？

数 学 实 验

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