第 7 章气体分子动理论

第7章气体分子动理论 玻耳兹曼：奥地利物理学家，统计物理学的奠基人之一。于1868年提出麦克斯韦-玻耳兹曼分布定律。在 1872年从非平衡态的分子动力学得到 H定理，这是经典分子动力论的基础。1877年提出热力学第二定律与微观几率态数 W的关系以及熵的统计解释。 1900年普朗克运用玻耳兹曼的理论得出 S＝k lnW 并证明了斯忒藩的实验结论 u ＝σT4（斯忒藩 - 玻耳兹曼黑体辐射公式），掀开了量子时代的帷幕。 Ludwig Boltzman (1844~1906)

热力学与统计物理学的异同 宏观理论（热力学）微观理论（统计物理学）热现象热现象研究对象物理量宏观量微观量出发点观察和实验微观粒子方法总结归纳逻辑推理统计平均方法力学规律优点普遍，可靠揭露本质缺点不深刻无法自我验证二者关系热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热力学本质

§7.1 气体分子动理论的基本概念 一、分子动理论的三个基本概念宏观物体是不连续的，由大量微观粒子——分子（或原子）所组成物质内的分子在不停地做无规则热运动，其剧烈程度与温度有关

布朗运动

f r O 分子间有相互作用力斥力 ( 平衡位置) 分子力表现为引力合力 r0 分子力表现为斥力势能引力 r0 分子有效直径

二、气体分子热运动服从统计规律 每个宏观点的气体分子数量巨大；气体分子间距很大，除碰撞外，分子间相互作用可忽略；气体分子间的相互碰撞是非常频繁的；一秒内一个分子大约要发生几十亿次 ( 109 ) 碰撞气体分子的微观力学量取值无法预测，气体的宏观量稳定；气体分子热运动服从统计规律

统计规律 大量偶然事件在整体上表现出来的规律性单个小球落入位置偶然事件少量小球按位置的分布规律不明显大量小球按位置的分布确定的规律伽尔顿板实验

随机试验： 　在相同条件下可重复进行；　每次试验有多种可能结果；　试验结果事先不可预测；　不同试验之间无关联。（随机试验的每一个可能结果称为一个随机事件。） • 　伽耳顿板实验中粒子落入的位置 • 　掷色子出现的点数 • 　气体分子的速率、动量、动能等

概率对随即变量 M进行抽样试验：ＭＭ１Ｍ２Ｍ３ … … Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … … M取 M i的概率。 ( N = ΔN1 + ΔN2 + ΔN3 + … )

例掷色子出现４的概率小球出现在第３个小槽

概率的归一化条件 ( N = ΔN1 + ΔN2 + ΔN3 +… )

平均值 ＭＭ１Ｍ２Ｍ３ … … Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … …

例掷色子出现的点数的平均值气体分子速率的平均值建立三维直角坐标系 Oxyz

z y O x 气体分子速率的平均值 … … Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … … vx v１x v２x v３x … … vy v１y v２y v３y … … vz v１z v２z v３z … …

气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等。气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等。

气体分子速率平方的平均值 … … z Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … … … … … … y O x … …

z y O x 即

z 气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等。 y O x

气体分子平动动能的平均值 z O x

Ep Ep Ep O O O r r r §7.２理想气体的压强一、理想气体的微观模型气体分子的性质相同，质量相等，相对于分子间距大小可忽略不计； r0 r0 理想气体分子一般物质分子刚性小球模型

除碰撞外分子间相互作用可忽略不计，气体分子在相邻两次碰撞间作匀速直线运动；除碰撞外分子间相互作用可忽略不计，气体分子在相邻两次碰撞间作匀速直线运动；所有的碰撞为完全弹性碰撞；每个分子频繁地发生碰撞，速度也因此不断变化；

二、压强形成的微观解释 单个分子与器壁碰撞冲力作用瞬间完成，大小、位置具有偶然性；大量分子（整个气体系统）与器壁碰撞冲力作用瞬间完成，大小、位置具有偶然性；压强是气体分子给容器壁冲量的统计平均量

y x O z 三、理想气体的压强公式建立三维直角坐标系 Oxyz c x, y, z方向规律相同，压强相同 b a 分析 x方向

x方向速度分量为 vix的分子 i与气体分子 j碰撞， y 互换　　由于气体分子是全同的，而且每次碰撞是弹性碰撞，因此气体分子间的碰撞对结果的影响可忽略。 A1 c x O b a z 可看作大量气体分子同时作来回运动却“没有”碰撞

x方向速度分量为 vix的分子 i与 A1碰撞，动量变化： y 对 A1的冲量： A1 c x 连续两次与 A1 发生碰撞的时间间隔为： O b a 2a / vix z Δt时间内与 A1 发生碰撞的次数：

Δt时间内分子 i对 A1 的冲量： y A1 c Δt时间内所有分子对A1的冲量： x O b a z

其中为气体分子数密度理想气体压强公式：

§7.3 温度的微观本质 一、温度与理想气体分子平均平动动能的关系理想气体的能量方程温度的微观本质

二、道尔顿分压定律 混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。混合气体的分子数密度证明：混合气体各组分温度相同混合气体的压强

§7.4 能量按自由度均分原理 一、自由度的概念确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。下列物体看作质点时，自由度为多少？看作刚体时又为多少？火车轮船飞机质点 1 2 3 刚体 1 ? ?

y x O 轮船（看作刚体）： (x, y) 确定质心： 3个自由度确定方向： θ y’ 海面 θ x’ O’ (x, y)

y’ y O’ x’ z’ x O z 飞机（看作刚体）： (x, y, z) 确定质心：确定转轴： 6 个自由度确定方向： (x, y, z)

y’ y O’ x’ z’ x O z 细棒： (x, y, z) 确定质心：５个自由度 (x, y, z) 确定方位：

气体分子的自由度： 分子模型自由度刚性单原子分子３刚性双原子分子５刚性多原子分子６

二、能量按自由度均分原理 或其中沿 x方向运动的平均平动动能沿 y方向运动的平均平动动能沿 z方向运动的平均平动动能

处于平衡态的理想气体（温度为 T），气体分子在每一个平动自由度上的平均能量为 kT / 2 原因：碰撞不同自由度上的能量相互转化不同自由度上的能量平均化

刚性双原子分子的动能 平动动能分子动能转动动能温度较高时，双原子气体分子不能看作刚性分子，分子平均能量更大，因为振动能量也参与能量均分

理想气体分子的平均能量 分子模型总平均能量自由度刚性单原子分子３kT/2 ３刚性双原子分子５kT/2 ５刚性多原子分子 3kT ６ i →气体分子的自由度

三、理想气体的内能 E 理想气体分子动能之和 1 mol 理想气体的内能：质量为 m、摩尔质量为 M的理想气体的内能：

理想气体的摩尔热容量

§7.5 麦克斯韦速率分布律

一、分布的概念 小槽宽度为 Δx 小球落入某个槽的概率：小槽宽度为 dx 小球落入某个槽的概率： ???

某一时刻理想气体分子的速率 v的分布： v v１ v２ v３ … … Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … … 速率为 vi的概率为：长时间“观测”理想气体分子的速率 v： v 0 ~ +∞ 连续分布速率为 v → v + dv的概率为： ???

速率分布函数 速率在 v附近的单位速率区间的分子数占分子总数的比率意义：速率分布函数的实质是相对概率，或者称为概率密度；速率分布函数的归一化条件

二、麦克斯韦速率分布律 μ 分子质量 T 热力学温度 k 玻耳兹曼常数

速率在 v ~ v + dv间的分子数占总分子数的比率：速率在 v1 ~ v2间的分子数占总分子数的比率：归一化条件： dv v1 v2

三、气体分子速率的三种统计平均值 平均速率气体分子的速率 v离散分布： v v１ v２ v３ … … Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … … 气体分子的速率 v连续分布：

对于理想气体:

方均根速率 气体分子的速率 v离散分布： … … Ｎ ΔＮ１ ΔＮ２ ΔＮ３ … … … … 气体分子的速率 v连续分布：

第 7 章 气体分子动理论