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超 声 层 析 成 像 的 理 论 与 实 现

浙江大学博士论文答辩. 超 声 层 析 成 像 的 理 论 与 实 现. 答辩人 : 刘 超 指导教师 : 汪元美 教 授 浙江大学生物医学工程系 二○○三年九月二日. 英国从事超声成像的专家 P. N. T Wells 在 2000 年的文章 《 超声成像技术的现状与未来 》 一文中指出：“在最近的十几年里，有关超声成像技术的研究在医学成像领域至少占百分之二十五以上的份额，并且这种趋势还在继续增长。”

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超 声 层 析 成 像 的 理 论 与 实 现

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  1. 浙江大学博士论文答辩 超 声 层 析 成 像 的 理 论 与 实 现 答辩人: 刘 超 指导教师: 汪元美 教 授 浙江大学生物医学工程系 二○○三年九月二日

  2. 英国从事超声成像的专家P. N. T Wells在2000年的文章《超声成像技术的现状与未来》一文中指出：“在最近的十几年里，有关超声成像技术的研究在医学成像领域至少占百分之二十五以上的份额，并且这种趋势还在继续增长。” • Wells还指出：“目前成功地应用于医学领域的超声成像设备大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根据超声散射波的信息，定量地生成人体内部的结构图，是超声应用技术的研究者追求的新目标。” “未来的超声成像技术应该是制造出不需成像专家或医学专家才能识别的反映客观现实真实图像的超声成像设备，即使是这种设备是不完美的。”

  3. 主要内容 • 一. 超声层析成像技术的发展历史 • 二. 超声层析成像技术的基本模型及方法 • 三. 问题的不适定性及其正则化 • 四. 模型噪声的判断方法——Picard准则 • 五. 静态正则化技术在超声层析技术中的应用 • 六. 迭代正则化技术在超声层析技术中的应用 • 七. 总结与展望

  4. 一. 超声层析成像的发展历史 • 1. 折射系数层析成像方法 • 2. 衰减系数层析成像方法 • 3. 射线跟踪方法 • 4. 透射式衍射层析成像及反射式衍射 层析成像方法 • 5. 基于精确场描述的层析成像方法

  5. 1.折射系数层析成像方法 Refractive-index tomography

  6. 2.超声衰减系数层析成像Attenuation tomography • 衰减系数 • 综合衰减系数

  7. 3.射线跟踪方法Ray Tracing Method

  8. 前向散射场 傅里叶变换 物体 入射波 空域 频域 4. 透射式衍射层析成像及反射式衍 射层析成像方法

  9. 从不同方向照射物体时,前向散射场数据的傅里叶变换从不同方向照射物体时,前向散射场数据的傅里叶变换

  10. 5. 基于精确场描述的层析成像方法

  11. 二. 超声层析成像技术的基本模型 及方法 • 1. 波动方程及其解 非齐次亥姆霍兹方程(Helmholtz Equation)

  12. 全场方程(Total Field Equation)(第二类Fredholm积分方程) 散射场方程(Scattering Field Equation) 探测器方程(Detector Equation)

  13. 2. 积分方程的离散化─矩量法

  14. 向量形式:

  15. 3. 波动方程的近似 • ① Born近似 Born逆解O 应满足的条件:

  16. ② Rytov近似 应满足的条件:

  17. 4. 基本方法 • Born迭代算法(BI) • 变形Born迭代方法(DBI) • Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法

  18. 由全场方程 确定全场 求 由散射场方程 求散射场,并计算 由方程 求改变量 Born迭代算法(BI) 求Born逆解O

  19. 由全场方程 确定全场 求 根据最新求得的Ok改变散射方程的系数矩阵D 由散射场方程 求散射场,并计算 由方程 求改变量 变形Born迭代算法(DBI) 求Born逆解O

  20. Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法 代入

  21. 三.问题的不适定性及其正则化 • 适定性问题是指： 对于连续算子方程Kx=y，如果解x满足： (1). 存在； (2). 唯一； (3). 连续地依赖于数据y。 否则，即上述三个条件有一个不满足，则称其为不适定的（Ill-posed）。

  22. 离散不适定问题(Discrete Ill-Posed Problem) 对于线性方程组Ax=b或最小二乘问题: 若:(1). 矩阵A的条件数非常大，或者说矩 阵A的最大奇异值和最小奇异值之比 非常大； (2). 矩阵A的奇异值逐渐下降趋于零。

  23. Tikhonov正则化 L=In，x0=0时，称为Tikhonov正则化的标准形式,其解可表示为:

  24. 四.模型噪声的判断方法: Picard准则 • 离散Picard准则： 若方程组Ax=b的傅里叶系数 趋于零的速度在平均意义下快于矩阵A的奇异值趋于零的速度的话，则称该方程组满足离散Picard准则(条件)。 最小二乘解: Tikhonov正则化解:

  25. 受噪声污染和无噪声污染的Picard图 污染严重 污染较轻

  26. 对比度为10％时 对比度为20％时 对比度为30％时 A

  27. 五. 静态正则化技术 • 1.截断奇异值分解正则化方法 Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) • 2.截断完全最小二乘正则化方法 Truncated Total Least Squares (TTLS)

  28. 1.截断奇异值分解正则化方法(TSVD) 对于线性方程组Ax=b或最小二乘问题 最小二乘解: Tikhonov正则化解: TSVD正则化解:

  29. 正则化参数的选取方法 • 离差原理(Discrepancy Principle)方法 • 广义交叉验证(GCV)方法 • L曲线(L-Curve)方法 由L曲线方法确定k’ 减小时 采用一维搜索的方法确定更精确的k 增加时

  30. A B C D E 对比度为10％时 对比度为20％时 对比度为30％时 TSVD方法的数值仿真结果 原始图像

  31. 迭代过程的相对误差和相对残差曲线

  32. 迭代过程的相对误差和相对残差曲线

  33. 2.截断完全最小二乘正则化方法 最小二乘问题： 满足： 完全最小二乘问题： 满足：

  34. 截断完全最小二乘的步骤 1. 首先，计算增广矩阵(A，b)的奇异值分解： 2．确定截断参数k≤min(n，rank(A，b))使得： 3. 记q=n-k+1,将矩阵分块 4.则完全最小二乘问题的解为：

  35. TTLS方法的数值仿真结果 原始图像 对比度为10％时 对比度为20％时 对比度为30％时

  36. 迭代过程的相对误差和相对残差曲线

  37. 六. 迭代正则化技术 1.求解最小二乘问题的共轭梯度方法(cgls) 2. LSQR方法

  38. 1.求解最小二乘问题的共轭梯度 方 法(cgls) 将共轭梯度法应用于法方程 相当于在Krylov子空间： 产生的序列xk，使得：

  39. cgls方法的解可表示为: 其中： 是 的k-1次多项式，其系数的确定 依赖于：(1).方程的右侧项b的特征； (2).矩阵A的奇 异值的分布； (3).迭代的次数

  40. 迭代次数增加，残差变化不大，但解的范数受影响较大迭代次数增加，残差变化不大，但解的范数受影响较大

  41. 正则化参数对迭代的影响

  42. A B C D E cgls方法的数值仿真结果 原始图像 对比度为10％时 对比度为20％时 对比度为30％时

  43. 迭代过程的相对误差和相对残差曲线 • 图5.15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30％时的 • 相对残差(RRE)曲线，cgls迭代次数为10

  44. LSQR迭代方法 Lanczos Lanczos三对角过程 应用于 Golub和Kahan(1965) 将矩阵A双对角化 应用于 Paige和Saunders(1982) 线性方程组Ax=b和

  45. LSQR方法的优点: 1. 速度快 2. 对不适定性问题数值稳定 3. 从迭代过程很容易求得数值分析的数值

  46. A B C D E LSQR方法的数值仿真结果 原始图像 对比度为10％时 对比度为20％时 对比度为30％时

  47. 七. 总结与展望 • 首先利用Picard理论，分析了超声层析成像问题的中的模型噪声问题，给出了入射波的确定方法、以及正则化方法的适用范围的判断方法。 • 采用了两类四种正则化方法对超声层析成像问题中的不适定性问题进行了研究，通过对正则化参数选择的修正，完成了较大对比度物体的成像问题。 • 结论：静态正则化方法数值稳定，但速度慢；迭代正则化方法速度快，但数值稳定性不如静态方法。

  48. 今后需要进一步研究的工作 1. 前向散射问题的研究（波动方程的精确程度）2. 离散化方法 有限元法、边界元法 矩量法中基函数的确定3. 正则化问题 基于非对成方程的Krylov子空间方法

  49. 谢 谢！

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