气 体 动 理 论 习 题

1. 气 体 动 理 论 习 题 杨 振 宁

2. 气体动理论习题 气体动理论习题 6-1 6-2 6-4 6-3 6-5 6-6 6-7 6-8 6-9 6-10 6-11 6-12 6-13 6-14 6-15 6-20 6-16 6-17 6-18 6-19 6-22 6-23 6-24 6-25 6-21 6-26 习题总目录 目录

3. 6-1 有一水银气压计，当水银柱为0.76 m高时，管顶离水银柱液面为0.12m。管的 截面积为2.0×10-4 m2。当有少量氮气混入 水银管内顶部，水银柱高下降为0.60m。此 时温度为270C，试计算有多少质量氮气在 管顶？（氮气的摩尔质量为0.004kg/mol, 0.76m水银柱压强为1.013×105Pa） 目录 结束

4. h d h 解： P = m 1 2 R P V = T ( )×1.33×105 Pa = 0.76 0.60 M 0.04×0.16×1.33×105×5.6×10-4 V 0.28×2.0×10-4 = 5.6×10-4 m3 = = 8.31×300 ( ) 273+27=300 K T = 0.004 kg/mol = M M P V m = R T =1.92×10-5kg 目录 结束

5. 6-2 一体积为1.0×10-3 m3 的容器中， 含有4.0×10-5 kg的氦气和4.0×10-5 kg的 氢气，它们的温度为 300C，试求容器中混 合气体的压强。 目录 结束

6. 解： 4.1×10-3kg/mol = He的摩尔质量 M 1 2.0×10-3kg/mol = M H2的摩尔质量 2 m R 4.0×10-5×8.31×303 T 1 P = = 273+30=303 K T = 1 M V 4.0×10-3×1.0×10-3 1 = 2.52×104Pa m R 4.0×10-5×8.31×303 T 2 P = = 2 M V 2.0×10-3×1.0×10-3 2 = 5.04×104Pa + P = = 7.56×104Pa P P 1 2 目录 结束

7. 6-3 一封闭的圆筒，内部被导热的不漏 气的可移动活塞隔为两部分。最初，活塞位 于筒中央，圆筒两侧的长度 l1= l2。 当两侧 各充以T1、p1，与T2、p2的相同气体后，问 平衡时活塞将在什么位置上（ 即 l1/l2 是多 少）？已知 p1=1.013×105Pa, T2= 680K, p2 = 2.026×105Pa, T2 =280K。 目录 结束

8. m m 解： R R 1 2 = = T T P l P l 1 2 1 1 2 2 M M = l l 1 2 m T P l 1 2 1 1 = ( ) m T P l 2 1 2 2 m P 1×280 7 T 平衡时： 1 = 1 2 = = m 34 2×680 T P 2 1 2 ´ ´ ´ m T P l ´ ´ 1 T T 2 = 1 1 = 1 2 ´ ´ ´ m ´ T P l m l 7 2 1 2 2 1 1 = = ´ ´ P = P ´ m 34 l 2 1 2 2 目录 结束

9. 6-4 20个质点的速率如下： 2个具有速率v0, 3个具有速率2v0, 5个具有速率3v0, 4个具有速率4v0, 3个具有速率5v0, 2个具有速率6v0, 1个具有速率7v0。 试计算: (1)平均速率； (2)方均根速率； (3)最概然速率。 目录 结束

10. Σ v N i i v = N v = v v 2 2 2v 6v 15v 16v 15v 12v 7v + + + + + + 2v02 +3(2v0)2 +5(3v0)2 +4(4v0)2 +3(5v0)2 +2(6v0)2 +(7v0)2 = 0 0 0 0 0 0 0 20 20 Σ N v 3v0 = i i 3.99v0 = p = N 解： 目录 结束

11. 6-5 计算在300K温度下，氢、氧和水银 蒸汽分子的方均根速率和平均平动动能。 目录 结束

12. 解：(1) 32×10-3 kg/mol = M o 2 kT ×1.38×10-23×300 E = = k 2×10-3 kg/mol = M H 2 = 6.21×10-21 J 0.20×10-3 kg/mol = M 3 3 Hg v v v 2 2 2 2 2 3 R T 3×8.31×300 = = 1934m/s 2×10-3 M v 3×8.31×300 2 = = 484m/s o 32×10-3 2 = H 3×8.31×300 2 = 193m/s 0.20 = Hg (1)平均平动动能 目录 结束

13. 6-6 求速度大小在vp与1.01vp之间的气 体分子数占总分子数的百分比. 目录 结束

14. 4 Δ n n x e -x Δ x = 2 2 π v Δ v x Δ x Δ v 0.01 v = = = 0.01 Δ x v v = p p p ∵ ∴ v v = p x 1 = 4 e -1 ×0.01 = 83% = π 式中 4 Δ n n x e -x Δ x = 2 2 π 解：将麦克斯韦速率分布公式改写为： 目录 结束

15. 提示： 2 1 - 2 x = ò e dx 0 . 847 p 0 ∞ 2 - 2 x = ò e dx 1 p 0 6-7 求(1)速度大小在0与vp之间的气体分 子的平均速率;(2)速度大小比vp大的气体分子 的平均速率。 目录 结束

16. v ò p v d N v 令 d v v d v 0 x x = = = v p v ò p p d N 0 v v v 2 2 ò p ( ( ) ) d v 3 e v v v 2 2 p p 0 = v ò p d v 2 e v 0 ò 1 v -x 2 v ò 1 d x 2 e v -x 2 d x 3 e x p p 0 = = 0 ò 1 ò 1 -x 2 -x 2 d x e d x 2 e x 1 1 1 0 0 + e e v v 0.705 = = p π p 1 0.84 e 2 解：(1) 目录 结束

17. ( ( ) ) 1 1 0 e e v = p π 1 0 1 0.84 e ò ∞ 2 v -x 2 v ò ∞ d x 2 e v -x 2 d x 3 e x p p 0 = = 0 ò ∞ v ò ∞ 1.4 -x 2 = -x 2 d x e d x 2 e x p 0 0 (2)同理 目录 结束

18. 1 m v p 2 6-8 遵守麦克斯韦速率分布的分子的最概然能量Ep等于什么量值？它就是 吗？ 目录 结束

19. 解：设每个分子的质量为m ，则一个分子的 动能为： d d N 0 E m v = E = 2 d E d E 3 E 2 N T k kT e d E d 2 E N = π E ( ( ( ( ) ) ) ) 1 1 d 3 E N 2 N T k kT e 2 E E = 2 2 π d E 1 E E 1 e e 0 T T k k = E E kT 即： 根据麦克斯韦能量分布函数 最可几能量可由 得到 目录 结束

20. ∴ ( ) 1 1 而分子速率为 时，它具有的能量为： v 2 2 p kT E = p 1 E E 1 1 e 1 2 e 0 kT T T k k = E E 2 kT ( ) kT m v 2 m = E = = p m 2 2 ¹ E p 目录 结束

21. 6-9 设N个粒子的系统的速率分布函数为： 为常量 k d d v ( k ) N = > v > 0， V v 0 v d ( > ) N V = v (1)画出分布函数图； (2)用N和V定出常量K； (3)用V表示出算术平均速率和方均根速率。 目录 结束

22. k d v d = N v v ò ò k N v d d N = v 0 0 (2) k v = N N d N k v = v d v v k ò k v v d v ∴ v v 0 2 = = 2 ò N d N 0 v v O (3) v 1 ò k d 1 v v 2 2 0 = = 3 ò N d v N 0 解：(1)分布函数如图 目录 结束

23. 6-10 设氢气的温度为3000C ,求速度大 小在3000m/s到3010m/s之间的分子数n1 与速度大小在vp到vp+10m/s之间的分子数 n2之比。 目录 结束

24. 解： + 300 = 573K = 273 T 4 Δ n n x e -x Δ x = 2 2 π ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) 2×8.31×573 2 R T v 2182 m/s = = = p 0.002 M H 2 4 3000 3000 10 2 Δ n n 2 e = 2182 π 1 2182 2182 4 2182 2182 10 2 Δ n n 2 e = 2182 π 2 2182 2182 速率在3000-3010m/s之间的分子数为： 速率在vp-vp+10 m/s之间的分子数为： 目录 结束

25. ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ∴ 4 3000 3000 10 2 Δ n n 2 e = 2182 π 1 Δ n 2182 2182 3000 e 1 2 0.78 = = 3000 Δ n 2182 2 4 2182 2182 10 e 2 2 2182 Δ n n 2 e = 2182 π 2 2182 2182 目录 结束

26. 6-11 求氢气在 300K 时 分 子 速 率 在 vp-10m/s 与 vp+10m/s 之间的分子数所 占的百分比。 目录 结束

27. Δ n 4 解： x e -x Δ x = 2 2 π n 2×8.31×300 1579 m/s = = 0.002 2 R T v = p M H 2 Δ n 4 1579-10 1579-10 2 20 2 ( ) e = 1579 π n 1579 1579 1.05% = 目录 结束

28. 1 1 1 ∞ ( ( ) ) ò -bu 2 提示： udu ( v e ) = v b 2 0 6-12 试求温度为T，分子质量为m的气体 中分子速率倒数的平均值 它是否等于 ？ 目录 结束

29. 解： 2 k 8 k T T v 2 = = π π m m 1 1 ∞ ò v d f v = v v 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) k 2 m v 1 m ∞ π 3 ò e k v v 4 2 d 2 = T 2 π v 2 T 0 2 m v m ∞ π 3 ò e k v v 4 2 d 2 = T π 2 k T 0 π 2 m 4 1 1 m 2 1 1 k = T π 3 2 = ∴ ¹ 4 π 2 π = 2 v k π T v v 2 k 2 m T 结束 目录

30. 6-13 1mol氢气，在温度为270C时，它 的分子平动动能和转动动能各为多少？ 目录 结束

31. ×8.31×300 R = E = T k = 3.74×103 J 3 3 2 2 ´ 8.31×300 R = E = T k 2.49×103 J = 解： 平动动能 转动动能 目录 结束

32. 6-14 求上升到什么高度时，大气压强减 到地面的75%，设空气的温度为00C，空气 的摩尔质量为0.0289kg/mol。 目录 结束

33. 解： μ g g M h h e e P R P = k = P T T 0 0 M g h P ln = 8.31×273 R P T ln 0.75 2.3km = = 0 28×10-3×9.8 R T P ln h = M g P 0 目录 结束

34. 6-15 求压强为1.013×105Pa、质量为 2×10-3kg、容积为1.54×10-3m3的氧气的 分子的平均平动动能。 目录 结束

35. 解： m R P V = T M P V M k w T = T = 3 3 m R 2 2 = 3×102 K = 6.2×10-21 J 32×10-3 = 1.013×105×1.54×10-3× 2×10-3×8.31 = ×1.38×10-23×3×102 目录 结束

36. 6-16 容器内储有1mol的某种气体，今 从外界输入2.09×102J的热量，测得其温 度升高10K，球该气体分子的自由度。 目录 结束

37. i 解： Δ R Δ T Δ E = 2 E 2 i = R Δ T 2×2.09 ×102 » 5.03 5 = = 8.31×10 目录 结束

38. π 4 v 2 d v A v v 0 > > d N F N = N 0 v v > F 3 1 ( ) 3 w m v 2 E = = 5 2 5 F F 6-17 导体中共有N个自由电子。电子气 中电子的最大速率vF叫费米速率。电子的速 率在 v→v+dv 的概率为: 式中A为常量。(1)由归一化条件求A；(2)证 明电子气中电子的平均动能 此处EF 叫做费米能。 目录 结束

39. 解：(1) 3 N π v π 4 v 2 d v A = A d 4 v 2 d v π N A 4 v v 0 π A > > ò ò 4 F v 3 v 3 1 d = = = N F N N N F = F 0 N N 0 v v > F 1 3 由归一化条件： 求得归一化系数 目录 结束

40. (2) E F v ò v d v f v v 2 = 2 F 0 ( ( ( ( ) ) ) ) d N 1 1 d N v v d f v ò = m v 2 m v 2 w = = F N 2 2 N 0 1 π 4 v A 1 π 1 ò v m 4 d v A = 4 F v 5 m = 2 N 0 2 5 F N 3 1 1 π 1 3 N 4 m m v 2 v 5 = = F π 5 2 4 2 v 3 5 F 3 N F = 5 平均平动动能为： 目录 结束

41. 6-18 无线电所用的真空管的真空度为 1.33×10-3 Pa，试求在 270C时单位体积 的分子数及分子平均自由程。设分子的有 效直径为3.0×10-10 m。 目录 结束

42. 1.33×10-3 = 1.38×10-23×300 P n 3.22×1017 个/m3 = = k T 1 l = π 2 d 2 n 1 = 2 ×3.04×(3.0×10-10)2×3.2×1017 = 7.84m 解： 目录 结束

43. 6-19 在标准状态下氦气(He)的黏度 η =1.89×10-5 Pa.s，又Mmol =0.0040 kg/mol,v =1.20×103 m/s,试求； (1)在标准状态下氦原子的平均自由程。 (2)氦原子的半径。 目录 结束

44. 解：(1) ρ n v l = 4×10-3 ρ 0.178 kg/m3 = = 22.4×10-3 1 3 3 n l = ρ v 3×1.89×10-5 = 0.178×1.2×103 2.6×10-7 m = 目录 结束

45. (2) k T l = π 2 d 2 p k T d = π l 2 p 1.79×10-10 m = d 0.89×10-10 m r = = 2 1.38×10-3×273 = 1.41×265×10-7×3.14×1.013×105 目录 结束

46. 6-20 设氮分子的有效直径为10-10 m, (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞次数； (2)如果温度不变，气压降到1.33×10-4 Pa, 则平均碰撞次数又为多少？； 目录 结束

47. 1.013×105 解：在标准状态下N2 的平均速度为 8 k T v = = π 1.38×10-23×273 M 8 R T = 454 m/s = π P M n 2.69×1025 个/m3 mol = = k T 8×8.31×273 = 3.14×0.028 1 l = π 2 d 2 n 1 = 2 ×3.14×(10-10)2×2.69×1025 = 8.39×10-7 m 目录 结束

48. v 454 0.71次/s = z = = 8.39×10-7 设气压降低后平均碰撞次数为 l ´ z z ´ P ´ = 5.42×108 次/s = P z P ´ z ´ z = P 1.33×10-4×5.42×108 = 1.013×105 目录 结束

49. 6-21 这些温度00C和压强1.0×105 Pa 下，空气的密度是1.293 kg/m3, 求黏度。 v =4.6×102 m/s， λ=6.4×10-8 m， 目录 结束

50. 解： h ρ l v = 1 1 3 3 ×1.293×6.4×10-8×4.6×102 = = 1.27×10-5 Pa.s 目录 结束