第 9 章 IIR 数字滤波器设计

1. 第9章IIR 数字滤波器设计

2. 主要内容 • 预备知识 • 双线性变换 • 低通IIR滤波器设计 • 高通、带通、带阻IIR数字滤波器设计 • IIR滤波器的谱变换 • 用Matlab进行数字滤波器设计

3. 引言: 数字滤波器设计的基本概念 数字滤波器： 输入、输出均为数字信号，通过一定的运算关系改变 输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的器件。

4. 引言: 数字滤波器设计的基本概念 • 数字滤波器设计 • 根据信号分析的结果和任务的要求, 确定数字滤波器的性能指标. • 求一个因果稳定的LTI的H(z)去逼近此性能要求. • 寻找一个算法来实现H(z) • 利用通用计算机或专用设备具体实现.

5. 引言: 数字滤波器设计的基本概念 • 根据信号分析的结果和任务的要求, 确定数字滤波器的性能指标.

6. % signal and noise signal_frequency=50; t=0:0.001:0.08; signalyin=cos(2*pi*signal_frequency*t); subplot(221); plot(signalyin); signal_noise=signalyin+0.2*randn(size(signalyin)); subplot(222); plot(signal_noise);

7. fre_signal=abs(fft(signalyin)); subplot(223); plot(fre_signal); fre_s_noise=abs(fft(signal_noise)); subplot(224); plot(fre_s_noise);

8. 引言: 数字滤波器设计的基本概念 • 数字滤波器设计 • 根据信号分析的结果和任务的要求, 确定数字滤波器的性能指标. • 求一个因果稳定的LTI的H(z)去逼近此性能要求. • 寻找一个算法来实现H(z) • 利用通用计算机或专用设备具体实现.

9. 引言: 数字滤波器设计的基本概念 2、 求一个因果稳定的LTI的H(z)去逼近此性能要求. 技术指标: 在什么频率范围内保持, 在什么频率范围内压制, 及其程度 技术指标: 实际上: 第九、十章的内容就是这部分内容

10. 9.1.1 数字滤波器指标 • 通常，需要设计的数字滤波器的幅度或相位（延时）响应是确定的。 • 在有些情况下，可能会指定滤波器的单位抽样响应或是阶跃响应。 • 在大多数实际应用中, 关键问题是用一个可实现的传输函数去逼近给定的滤波器幅度响应指标。

11. 9.1.1 数字滤波器指标 • 在本章中，我们将仅讨论幅度逼近问题。 • 在这里我们指出四种基本的理想滤波器类型，它们的幅度响应分别如下图所示：

12. 9.1.1 数字滤波器指标 • 这些理想滤波器都是不可实现的。 • 实际上, 数字滤波器在通带和阻带的幅度响应指标以一定容限的允许误差来表征。 • 另外，过渡带就是通带和阻带间的部分。

13. 9.1.1 数字滤波器指标 • 例如, 给定理想低通滤波器的幅度响应 |G(ej)|如下图所示：

14. 9.1.1 数字滤波器指标 通带0 p 阻带s  p: 通带截止频率 s: 阻带截止频率 p: 通带波纹 s: 阻带波纹

15. 9.1.1 数字滤波器指标 • 数字滤波器的指标通常是由单位为 dB的损益函数给出，即 p:峰值通带波纹 s: 最小阻带衰减

16. 9.1.1 数字滤波器指标 • 归一化的数字低通滤波器幅度响应指标如下图所示：

17. 9.1.1 数字滤波器指标 • 这里, 假设通带幅度响应的最大值为1。 • 最大通带幅度偏离是通带幅度的最小值。 -通带幅度的最小值 - 最大阻带幅度

18. 9.1.1 数字滤波器指标 • 对于归一化的指标, 增益函数的最大值和衰减函数的最小值是 0 dB。 • 最大通带衰减表示如下： • 对于 p<<1, 可以看出：

19. 9.1.1 数字滤波器指标 • 在实际应用中, 通带截止频率 Fp和 阻带截止频率 Fs都以 Hz为单位。 • 对于滤波器的设计, 归一化的截止角频率一弧度为单位表示如下：

20. 9.1.1 数字滤波器指标 • 例9.2:令 通带截止频率Fp=7 kHz, 阻带截止频率Fs= 3 kHz, 抽样率FT=25 kHz • 确定相应的归一化截止角频率：

21. 9.1.2 滤波器类型的选择 • 设计滤波器的目的是设计一个满足给定频率响应指标的因果传输函数H(z)。 • 在设计IIR 数字滤波器时,IIR传输函数可表示为 z-1的实有理分式 H(z) 必须是一个稳定的传输函数， 同时为了降低计算的复杂度，它必须具有最低阶数 N。

22. 9.1.2 滤波器类型的选择 • 在设计 FIR 数字滤波器时, FIR 传输函数 可表示为z-1的实系数多项式: • 为降低计算的复杂度，H(z)的阶数N必须尽可能小。 • 若需要设计一个线性相位响应, FIR滤波器的系数必须满足约束:

23. 9.1.2 滤波器类型的选择 • FIR 滤波器的优势： • (1) 可以进行准确的线性相位设计, • (2) 其结构具有稳定的量化滤波器系数。 • FIR 滤波器的缺点 ： • 在很多情况下，满足相同幅度指标的FIR滤波器的阶数比IIR滤波器的阶数要高得多。相比来看，FIR滤波器有较高的计算复杂度。

24. 9.1.3 数字滤波器设计的基本方法 IIR数字滤波器的通用设计方法 ： (1) 将数字滤波器的设计指标转化成模拟低通原型滤波器的设计指标。 (2) 确定模拟低通滤波器的传输函数 Ha(s) (3) 将 Ha(s)转换成所需要的数字滤波器传输函数 G(z)

25. 9.1.3 数字滤波器设计的基本方法 这种方法之所以得到广泛应用，原因主要如下: (1) 模拟逼近技术已经很成熟。 (2) 它们通常能产生闭式的解。 (3) 模拟滤波器的设计有大量的图表可查。 (4) 很多应用中需要模拟滤波器的数字仿真。

26. 9.1.3 数字滤波器设计的基本方法 模拟传输函数表示为： —下标 “a” 特指模拟域 由Ha(s)可得到数字滤波器的传输函数为：

27. 9.1.3 数字滤波器设计的基本方法 • 将模拟传输函数 Ha(s)变成所需的数字IIR传输函数 G(z)的基本思路就是： • 要把s域映射到z域，使数字滤波器能保持模拟滤波器的基本频率响应特性。 • 因此，映射函数必须满足以下要求： • （1）s平面的虚轴(j )必须映射到z平面的单位圆上。 • （2）稳定的模拟传输函数能变换成稳定的数字传输函数。

28. 9.1.3 数字滤波器设计的基本方法 • FIR 滤波器的设计基于对指定幅度响应的直 • 接逼近, 并且通常要求其具有线性相位响应 • 因此要设计一个长度为 N+1的 FIR滤波器， • 可以利用冲击响应序列{h[n]}或其频率响应 • H(ej)的(N+1) 个样本来进行 • 设计FIR 滤波器的一般方法: • (1) 加窗傅里叶级数法 • (2) 频率抽样法 • (3) 基于计算机的最优化法

29. 9.2 IIR滤波器设计的双线性变换法 • 从s平面到z平面的双线性变换为： • 以上变换将s平面的一个点映射到z平面的一 • 个点，反之亦然。 • 数字传输函数G(z)和Ha(s)之间的关系为：

30. 9.2 IIR滤波器设计的双线性变换法 • 数字滤波器的设计有三个步骤: • （1）对指定的数字滤波器指标进行双线性逆变化，得到其对应的模拟滤波器的指标。 • （2）设计 Ha(s) • （3）通过对满足模拟原型滤波器指标的数字传输函数 Ha(s)进行双线性变换而得到 G(z) • 参数T对G(z)并无影响，为了简化滤波器的设计过程，一般选取T = 2

31. 对于 有： 9.2 IIR滤波器设计的双线性变换法 • 当 T=2 时，其对应的双线性逆变换为： 因此,

32. 9.2 IIR滤波器设计的双线性变换法 • 从s平面到z平面的映射如下所示：

33. 9.2 IIR滤波器设计的双线性变换法 令：

34. 9.2 IIR滤波器设计的双线性变换法 • 映射的非线性程度很高 • s平面的整个负虚轴从 = -  到 =0映射到单位圆从z = -1到 z = 1 的下半部分 • 而s平面的整个正虚轴从 =0到 = 映射到单位圆从z=1到 z=-1的上半部分

35. 9.2 IIR滤波器设计的双线性变换法 • 映射的非线性导致了频率轴的失真，称为频率畸变。 • 畸变的效果如右图所示：

36. 9.2 IIR滤波器设计的双线性变换法 • 数字滤波器的设计分为以下几个步骤： • (1)将临界频带频率 (p, s)预先加以畸变， • 从而找到它们的等效模拟频率 (p, s)。 • (2)设计模拟原型滤波器 Ha(s)。 • (3)对 Ha(s)进行双线性变化，得到所需的数 • 字滤波器传输函数 G(z) 。 • 只能用于设计幅度响应为分段常数的数字滤波器。 • 经变换之后，模拟滤波器的相位响应将无法保持。

37. 9.2.2 低阶数字滤波器的设计 • 例如 ：考虑 对上式进行双线性变换，则可以得到一阶巴特沃兹低通数字滤波器的传输函数

38. 9.2.2 低阶数字滤波器的设计 • 化简后为： 式中，

39. 9.2.2 低阶数字滤波器的设计 例如 ：二阶带阻模拟滤波器的传输函数为： 其中 |Ha(j0)| = 0 |Ha(j0)| = |Ha(j)| = 0 • 0称作陷波频率。 • 当 |Ha(j2)| = |Ha(j1)| =1/2时 B = 2 - 1就是是3-dB 陷波带宽

40. 9.2.2 低阶数字滤波器的设计 • 此时有 这里

41. 9.2.2 低阶数字滤波器的设计 • 例如 ： 二阶数字陷波滤波器设计： 抽样频率为 400 Hz 陷波频率为 60 Hz, 3-dB 陷波带宽为 6 Hz • 因此 0 = 2(60/400) = 0.3  Bw = 2(6/400) = 0.03  • 由以上各参数可得  = 0.90993  = 0.587785

42. 9.2.2 低阶数字滤波器的设计 因此 其增益响应和相位响应如下图所示

43. 9.3 低通IIR数字滤波器的设计 例如-巴特沃兹低通数字滤波器的设计： 通带截止频率 p =0.25, 阻带截止频率 s = 0.55, 通带波纹不超过0.5 dB, 最小阻带衰减是 15 dB

44. 9.3 低通IIR数字滤波器的设计 • 将数字截止频率预弯折为模拟截止频率

45. 9.3 低通IIR数字滤波器的设计 • 由巴特沃兹表达式可得滤波器阶数N为 • 选定 N = 3 • 利用以下式子确定滤波器的截止频率c

46. 9.3 低通IIR数字滤波器的设计 • 三阶归一化低通Butterworth传输函数:

47. 9.3 低通IIR数字滤波器的设计 相应的幅度和增益响应如下图所示：

48. 9.4 高通、带通和带阻IIR数字滤波器的设计 • 第一种方法： • 预畸所求数字滤波器GD(z)的数字频率指标， • 从而得到一个等价的模拟滤波器HD(s)的频率指标 • (2) 将 HD(s)的频率指标转换成原型低通滤波器 • HLP(s)的频率指标。 • (3) 设计模拟低通滤波器 HLP(s) • (4)用步骤2中频率变换的逆变换将传输函数 HLP(s) • 转换为HD(s) 。 • (5)对传输函数 HD(s)进行双线性变换 ，从而得到所求的数字IIR传输函数GD(z)

49. 9.4 高通、带通和带阻IIR数字滤波器的设计 第二种方法： (1)预畸变所求数字滤波器 GD(z)的数字频率指标，从而得到一个等价的模拟滤波器HD(s)的频率指标。 (2)将HD(s)的频率指标转换成原型低通滤波器HLP(s)的频率指标。 (3)设计模拟低通滤波器 HLP(s) (4)对传输函数 HLP(s) 进行双线性变换 ，将其转换成IIR数字滤波器的传输函数GLP(z) 。 (5)将 GLP(z) 转换成所求的数字传输函数 GD(z) 。

50. 9.4 高通、带通和带阻IIR数字滤波器的设计 例9.3高通IIR数字滤波器的设计 • 切比雪夫1 型IIR 数字高通滤波器的设计 • 指标: FP=700 Hz, FS=500 Hz, αp=1 dB, αs=32 dB, FT= 2 kHz • 确定归一化截止角频率为：