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操作探究型问题

操作探究型问题. 第 41 讲┃操作探究型问题. 操作探究型问题是通过动手测量、作图 ( 象 ) 、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合理猜想和验证．常见类型： (1) 操作设计问题； (2) 图形剪拼； (3) 操作探究； (4) 数学建模．解题策略：运用观察，操作，联想，推理，概括等多种方法．. 第 41 讲┃操作探究型问题. 探究一 折叠剪拼操作探究型问题. 例 1 [2013· 北京 ] 阅读下面材料：

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操作探究型问题

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  1. 操作探究型问题

  2. 第41讲┃操作探究型问题 操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合理猜想和验证．常见类型：(1)操作设计问题；(2)图形剪拼；(3)操作探究；(4)数学建模．解题策略：运用观察，操作，联想，推理，概括等多种方法．

  3. 第41讲┃操作探究型问题 探究一 折叠剪拼操作探究型问题 例1 [2013·北京]阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图41－1①所示，在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNPQ的面积． 图41－1

  4. 第41讲┃操作探究型问题 小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图41－1②)． 请回答： (1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙，不重叠)，则这个新的正方形的边长为________； (2)求正方形MNPQ的面积； a

  5. 第41讲┃操作探究型问题 图41－2

  6. 第41讲┃操作探究型问题 例题分层分析 (1)△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形，拼成一个新的正方形怎么拼？边长多少？动手试试． (2)要求正方形MNPQ的面积，可以利用转化思想，外面的4个小三角形的面积和恰好等于正方形MNPQ的面积． (3)依图41－1②的作法补全图41－2，外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积！

  7. 第41讲┃操作探究型问题 解题方法点析 此类问题按照要求把一个图形先分成若干块，然后拼接成一个符合条件的图形，常常利用平移、旋转、轴对称等变换进行作图．

  8. 第41讲┃操作探究型问题

  9. 第41讲┃操作探究型问题 提示：模仿小明的操作，向正三角形外面补出三个“尖角三角形”，如下图． 这样，外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积！

  10. 第41讲┃操作探究型问题 探究二 中心对称操作探究问题 例2 [2013·陕西]问题探究 (1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； (2)如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)，使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由． 图41－3

  11. 第41讲┃操作探究型问题 问题解决 (3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＋CD＝BC，点P是AD的中点，如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

  12. 第41讲┃操作探究型问题 例题分层分析 (1)如何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部分？利用两条直线如何把一个圆分成四个相等的部分呢？利用了圆的什么性质？ (2)利用两条直线如何把一个正方形分成四个相等的部分呢？利用了正方形的什么性质？如果正方形内有一点M，要求其中一条直线必须过点M，如何分割呢？ (3)把正方形改为菱形呢？ 解题方法点析 平行四边形，矩形，菱形都是中心对称图形．过对称中心的每一条直线都把这些图形分成两个全等的图形．

  13. 第41讲┃操作探究型问题 (1)如图所示． (2)如图，连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分．理由如下： 解

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  17. 第41讲┃操作探究型问题 探究三 平移旋转操作探究问题 例3 [2013·山西改编]数学活动——求重叠部分的面积． 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图41－4，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G. 求重叠部分(△DCG)的面积． 图41－4

  18. 第41讲┃操作探究型问题 求重叠部分(△DCG)的面积． (1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图41－5，你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗？请写出解答过程． 图41－5

  19. 第41讲┃操作探究型问题 例题分层分析 (1)为求△DCG的面积，需要研究该三角形的边角的特征； (2)当将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，此时G点是AH的中点吗？△DGH的面积与△DAH的面积之间是倍分关系吗？ 解题方法点析 此类问题通过平移、旋转等动态过程创建了一个探究问题的情景和一个思维空间．解答中常常需要分类讨论、自主探究、叙述推理．关键是掌握好平移前后，旋转前后的图形是全等形．平移前后，每一个点移动的方向相同、距离相等；旋转前后图形上每一点的旋转角度都相同．

  20. 第41讲┃操作探究型问题 例题分层分析 (1)为求△DCG的面积，需要研究该三角形的边角的特征； (2)当将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，此时G点是AH的中点吗？△DGH的面积与△DAH的面积之间是倍分关系吗？ 解题方法点析 此类问题通过平移、旋转等动态过程创建了一个探究问题的情景和一个思维空间．解答中常常需要分类讨论、自主探究、叙述推理．关键是掌握好平移前后，旋转前后的图形是全等形．平移前后，每一个点移动的方向相同、距离相等；旋转前后图形上每一点的旋转角度都相同．

  21. 第41讲┃操作探究型问题 解

  22. 第41讲┃操作探究型问题

  23. 第41讲┃操作探究型问题

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