Analyse fréquentielle

1. Analyse fréquentielle Cours 6.3

2. Passe-haut • Highpass filter • Contrast (Sharpening) • Exemple de filtres • Idéal • Butterworth • Gaussien

3. Passe-haut • Exactement la fonction contraire des filtres passe-bas : Filtre Passe-haut Filtre Passe-bas

4. Passe-haut idéal 0|1 • Coupe toutes les basses fréquences après une distance D0 du centre • Distance du centre (M/2, N/2)

5. Passe-haut idéal 0|1 • D0est la fréquence de coupure (cutoff) 2-D Section radiale 3-D

6. Passe-haut idéal 0|1

7. Passe-haut idéal ½|1 • Coupe 1/2 basses fréquences après une distance D0 du centre • Distance du centre (M/2, N/2)

8. Passe-haut idéal ½|1

9. Passe-haut idéal ½|1 Rayon : 15, 30, et 80 pixels

10. Passe-haut idéal • Phénomène de réverbération (contour)

11. Passe-haut Butterworth • Coupe graduellement les basses fréquences selon la sélection de D0 et de l'exposant n

12. Passe-haut Butterworth D0 est choisie pour H(u,v) = 0.5

13. Passe-haut Butterworth D0 : 15, 30, et 80 pixels, n = 2

14. Passe-haut Butterworth • Phénomène de réverbération (contour)

15. Passe-haut Gaussien • Coupe graduellement les basses fréquences selon la sélection t

16. Passe-haut Gaussien H(u,v) = 0.607 quand D(u,v) = D0

17. Passe-haut Gaussien D0 : 15, 30, et 80 pixels

18. Passe-haut Gaussien • Aucun phénomène de réverbération (contour)

19. Passe-haut Gaussien

20. DFT et les dérivées • On multiplie l’image par la dérivée du filtre utilisé • Tout comme on fait une convolution d’une image avec la dérivée du filtre dans le domaine spatial

21. FFT • Implantation directe de la DFT • Beaucoup trop cher  Améliorer les performances • Quelques propriétés de la DFT • Séparabilité • Découpage fréquentiel en base 2 • Découpage spatial en base 2 • Et pour la IFFT?

22. FFT : Séparabilité • La DFT2D revient à 2 DFT1D • DFT de l’image originale sur chaque ligne • DFT sur l’image précédente sur chaque colonne Transformation 1D sur les lignes Transformation 1D sur les colonnes

23. FFT2D : Séparabilité

24. FFT1D : base 2 fréquentielle • Si on omet la constante, la DFT1D s’écrit • Si N est pair, la somme se découpe en deux moitiés

25. FFT1D : base 2 fréquentielle • Si l’on considère séparément les valeurs paires et impaires de k, la DFT1D de N points s’écrit en termes de 2 DFT1D de (N/2) points.

26. FFT1D : base 2 fréquentielle • Pour k=2k’ (k’=0..N/2-1) pair, on a • Ou encore

27. FFT1D : base 2 fréquentielle • Pour k=2k’+1 impair on a • Ou encore

28. FFT1D : Algorithme DIF function F = DIF( N, f ) % f est un tableau de taille N=2^p global T if N==1, F = f; else% calcule 2 sous transformations M = N/2; % taille des ss transformations for n = 0:M-1 % effectue les 2 ‘butinages’ fp(n+1) = f(n+1)+f(n+1+M); % ss ens pair fi(n+1) = (f(n+1)-f(n+1+M))*T(N,n); % ss ens impair end Fp = DIF(M,fp); % k pair Fi = DIF(M,fi); % k impair for k = 0:M-1 F(2*k+1) = Fp(k+1); % k pair F(2*k+2) = Fi(k+1); % k impair end end

29. FFT1D : base 2 spatiale • Si on omet la constante, la DFT1D s’écrit… toujours 

30. FFT1D : base 2 spatiale • Si N est pair, la somme se découpe en deux moitiés • Où

31. FFT1D : Algorithme DIT function F = DIT( N, f ) % f est un tableau de taille N=2^p global T if N==1, F = f; else% calcul 2 ss transformations M = N/2; % taille des ss transformations for n = 0:M-1 fp(n+1) = f(2*n+1); % n pair fi(n+1) = f(2*(n+1)); % n impair end Fp = DIT(M,fp); % n pair Fi = DIT(M,fi); % n impair for k = 0:M-1 % effectue M DIT ‘butinage' x = Fi(k+1)*T(N,k); % tripatouillage des impairs F(k+1) = Fp(k+1)+x; % ss ens sup F(k+1+M) = Fp(k+1)-x; % ss ens inf end end

32. FFT1D : Algorithmes • Pour des raisons d’implantation DIT est majoritairement préféré à DIF

33. FFT et son inverse