Secciones cónicas

1. Secciones cónicas • Circunferencia: • Forma canónica de la ecuación de una circunferencia • Forma general de la ecuación de una circunferencia • Cálculo de los elemento de una circunferencia • Ecuación de la recta tangente a una circunferencia • Problemas relacionados con la geometría plana y espacial.

2. Secciones cónicas: Circunferencia Definición: Conjunto de puntos en el plano cartesiano que se encuentran a una distancia fija r, de un punto fijo La distancia fija r es denominada longitud del radio y el punto fijo es el centro de la circunferencia.

3. Recordatorio: Distancia entre dos puntos de un segmento de recta Forma canónica de la ecuación de una circunferencia Por definición de circunferencia La distancia del punto al punto se define como:

4. Resolviendo la forma canónica Se obtiene la forma general de la ecuación de la circunferencia: • Forma general de la ecuación de una circunferencia

5. Ejemplos: • Ejemplo de la ecuación de una circunferencia • Determine la ecuación de la circunferencia centrada en el punto y cuya longitud del radio es 3. • Determine la ecuación general de la circunferencia de centro y que contiene • Determine la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto y es tangente a la recta

6. 2) Determine la ecuación general de la circunferencia de centro y que contiene

7. 3) Determine • La forma canónica de la ecuación de la circunferencia dada la forma general b) La gráfica de la circunferencia

8. AUTOEVALUACIÓN ( CUADERNO) • Obtenga la forma canónica de la ecuación para cada circunferencia dada en su forma general. Grafique cada circunferencia: • a) • b) • c) • d) • e)

9. 4) Determine la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto y es tangente a la recta

10. AUTOEVALUACIÓN ( CUADERNO) • Determine la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto y es tangente a la recta

11. Autoevaluación (cuaderno) 5) Obtenga la forma canónica de la ecuación para cada circunferencia dada en su forma general: • a) • b) • c) 6) Determine la ecuación general de la circunferencia centrada en el punto y cuya longitud del radio r. Realizar la gráfica

12. Deber N°03 • 1) Determine la distancia entre los siguientes pares de rectas 2) Obtenga la forma canónica de la ecuación para cada circunferencia dada en su forma general. Grafique cada circunferencia: a) b) c) d) e)

13. Recordatorio • Ecuación de la circunferencia en su forma general • Si se divide todo para A

14. Resolución de problemas • 1) Determine la ecuación general de la circunferencia que contiene a la siguiente terna de puntos:

15. 2) Determine la ecuación general de la circunferencia que contiene a la siguiente terna de puntos:

16. Autoevaluación en clase • 3) Determine la ecuación general de la circunferencia que contiene a la siguiente terna de puntos: • 4) Determine la ecuación general de la circunferencia que contiene a la siguiente terna de puntos:

17. Ecuación de la recta a una circunferencia • Caso II : Fuera de la circunferencia

18. Ecuación de la circunferencia cuyo centro se encuentra sobre una recta L

19. Ejemplo: Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(0,6) y B(1,5) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta

20. Problemas en clase: • 1) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(-1,-3) y B(-5,3) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta

21. 2) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(0,0) y B(6,2) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta 3) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(8,2) y B(12,-2) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta

22. 3) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(8,2) y B(12,-2) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta

23. Sección cónica: Parábola

24. Definición: Parábola El conjunto de todos los puntos P(x,y) en el plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija L. El punto es denominado foco de la parábola; la recta L es la directriz de la parábola. • Elementos de la parábola: • Vértice • Recta directriz • Parámetro p • Lado recto =4p

25. Forma canónica de la ecuación de una parábola (Caso I) • i) Parábola centrada en el origen dirigida hacia arriba Datos V(0,0) F(0,p) Recta directriz: Lado recto

26. Forma canónica de la ecuación de una parábola (Caso II) • i) Parábola centrada en el origen dirigida hacia abajo Datos V(0,0) F(0,-p) Recta directriz: Lado recto

27. Forma canónica de la ecuación de una parábola (Caso III) • i) Parábola centrada en el origen dirigida hacia abajo Datos V(0,0) F(p,0) Recta directriz: Lado recto

28. Forma canónica de la ecuación de una parábola (Caso IV) • i) Parábola centrada en el origen dirigida hacia abajo Datos V(0,0) F(-p,0) Recta directriz: Lado recto

29. Ejemplo: • 1) Determine la ecuación en la forma canónica de una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo foco es

30. 2) Determine la ecuación en la forma canónica de una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo foco es

31. Autoevaluación (en el cuaderno) • Para cada literal encuentra la ecuación en su forma canónica de una parábola con vértice en el origen de coordenadas y con foco . • b • c) • d

32. Problema 3: Determine las coordenadas del foco, y obtenga la ecuación de la recta directriz de la parábola con vértice en el origen y que pasa por los puntos P y Q

33. Problema 4: Determine las coordenadas del foco, y obtenga la ecuación de la recta directriz de la parábola con vértice en el origen y que pasa por los puntos P y Q

34. Problema 5: Encontrar la ecuación en su forma canónica de una parábola cuyo vértice y cuyo foco es .

35. Problema 6: Encontrar la ecuación en su forma canónica de una parábola cuyo vértice y cuyo foco es .

36. Autoevaluación en clase • Para cada literal, encontrar la ecuación general de la parábola dado su vértice y foco a) b)

37. Ecuación en la forma canónica de la parábola con vértice cualquiera Caso I • Parábola dirigida hacia arriba Caso II • Parábola dirigida hacia abajo Caso III • Parábola dirigida hacia arriba Caso IV • Parábola dirigida hacia arriba

38. Problema 1: Encontrar la ecuación de la parábola en su forma canónica cuyo vértice es y la recta directriz es

39. Problema 2: Encontrar la ecuación de la parábola en su forma canónica cuyo vértice es y la recta directriz es

40. Problema 3: Encontrar la ecuación de la parábola en su forma canónica cuyo foco es F y la recta directriz es 0

41. Autoevaluación en clase • 1) Para cada literal, determine la gráfica y ecuación de la parábola en su forma canónica dado el valor del vértice y la recta directriz a) b) • 2) Para cada literal, determine la gráfica y ecuación de la parábola en su forma canónica dado el valor del foco y la recta directriz a) F b) F

42. Reconociendo los elementos de la parábola, complete la tabla a continuación:

43. Ecuación de la parábola en su forma general • Caso I y II Caso III y IV

44. Problema 1: Determine la ecuación de la parábola en su forma general, dada la ecuación en su forma canónica Problema 2: Determine la ecuación de la parábola en su forma general, dada la ecuación en su forma canónica

45. Problema 3: Determine la ecuación de la parábola en su forma canónica dada la ecuación en su forma general

46. Problema 4: Dada la ecuación de la parábola en su forma general Determine:a) La ecuación de la parábola en su forma canónicab) Vérticec) Distancia del vértice al focod) Focoe) Recta directrizf) Valor del lado recto

47. Autoevaluación en claseDada la ecuación de la parábola en su forma general, determine la ecuación en su forma canónica, vértice, foco, lado recto y la ecuación de la directriz

48. Secciones cónicas: Elipse Definición. Conjunto de todos los puntos en el plano cartesiano, tales que la suma de sus distancia a dos puntos fijos, denominados focos es una constante.

49. Elementos de la elipse

50. Elementos de la elipse • Vértices V1 y V2 • Focos F1 y F2 • Centro de la elipse • Eje menor: 2b • Eje mayor: 2a • Distancia focal: 2c • Semieje menor: b • Semieje mayor: a • Semidistancia focal: c