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第二十章 曲线积分

第二十章 曲线积分. §1 第一型曲线积分. §2 第二型曲线积分. §2 第二型曲线积分. 第二型曲线积分的定义 第二型曲线积分的计算 两类曲线积分的联系. (. =. ,. F. (. x. ,. y. ). P. (. x. ,. y. ). Q. (. x. ,. y. ). ). (1) 常力 ，质点沿直线从. A 移到 B ， 所作的功. 1 、第二型曲线积分的概念. 1 ）、实例 : 变力沿曲线所作的功.

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第二十章 曲线积分

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  1. 第二十章 曲线积分 §1 第一型曲线积分 §2 第二型曲线积分

  2. §2 第二型曲线积分 第二型曲线积分的定义 第二型曲线积分的计算 两类曲线积分的联系

  3. ( = , F ( x , y ) P ( x , y ) Q ( x , y ) ) (1) 常力 ，质点沿直线从 A 移到 B， 所作的功 1、第二型曲线积分的概念 1）、实例:变力沿曲线所作的功 设一质点在 xoy 面内从点 A沿光滑曲线 L移动到点B,在移动过程中，这质点受到力 的作用，其中 在 L上连续， 求在上述移动过程中变力 所作的功 W。

  4. (2) 是变力，且质点沿曲线 L移动。 D yi i D xi i x h ( , ) i i ( h ) = x , x h F ) P ( , Q ( , ) i i i i 分割 用任意分割T，将曲线L分成n个有向小弧 其中M0＝A，Mn=B 取近似 其中 为第i个有向小弧 Mn-1 Mi C 的弦， 为Ai的坐标 Mi-1 M3 M2 在第i个有向小弧上任取一点 M1 在此点取

  5. 质点在力F作用下，沿第i个小弧从Ai-1到Ai所作的功的近似值质点在力F作用下，沿第i个小弧从Ai-1到Ai所作的功的近似值 作和 取极限 ||T||表示小弧段的最大长度

  6. 定义1 设函数 P (x,y)与 Q(x,y) 定义在 平面有向可求长度曲线 L: 对 L的任一分割 T 它把 L分成 n个小曲线段： 其中 M0 = A， Mn = B . 记各小曲线段 的弧长为 分割 T的细度 分点 Mi的坐标为 ( xi , yi), 并记 在每个小曲线段 上任取一点 若极限

  7. 存在且与分割T及点(ξi,ηi)无关，则称此极限为函数 P(x, y), Q(x, y),沿有向曲线 L的第二型曲线积分，也称为对坐标的曲线积分， 记为 或 也记为 或 简记为

  8. 沿封闭曲线L的第二型曲线积分表示为 L L取正向 边界曲线C的正向:当观察者沿曲线行走时,封闭曲线围成的区域D 总在他的左边. L1 L2

  9. 向量形式的第二型曲线积分： 若记 则记 沿有向曲线 L 于是，力 对质点所作的功为

  10. 类似地, 沿空间有向可求长度曲线 L的第二型曲线积分记为 其中

  11. 第二型曲线积分与曲线 L的方向有关，对同一曲线， 当方向由 A到 B改为由 B到 A时，每一小曲线段的 方向都改变，从而小曲线段的投影 也随之 改变符号，故有 而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的 乘积，它与曲线 L的方向无关. 这是两类曲线积分的 一个重要区别. 第二型曲线积分与曲线的方向有关.

  12. 第二型曲线积分的性质： 1. 若第二型曲线积分 存在，则 其中 为常数.

  13. 2. 若 L可分成 k 条有向光滑曲线弧 则 说明: • 第二型曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! • 定积分是第二类曲线积分的特例.

  14. 二、第二型曲线积分的计算 设曲线L的参数方程为 1）曲线L光滑，即 x(t),y(t)在以a及b为端点的闭区间上具有一阶连续导数, 且 2）当参数t单调地由a变到b时,点M (x , y )从L的起点A沿曲线L运动到终点B , f(x,y) 上有定义且连续, 3）设 在有向曲线L(A,B) 存在， 则 第二型曲线积分

  15. 存在， 则 第二型曲线积分 且

  16. 曲线L： 把x,y的参数形式代入积分 注意: a b ; 定积分的下限 不一定要小于上限

  17. 特殊情形 (1) L: y=y(x) ，终点为b 起点为a 则 = L : dx dx ,

  18. x=x(y) (2)曲线L： ,y起点为c ，终点为d,则

  19. 第二型曲线积分的计算公式 1. 曲线L: 2. 曲线L y=y(x) ，终点为b, x起点为a 则 x=x(y) 3.曲线L： ,y起点为c ，终点为d,则

  20. 二、第二型曲线积分的计算 在有向光滑曲线 上连续, t =α对应曲线 L的起点 t =β对应于曲线 L的 终点，则

  21. 例1 计算 其中 L分别 沿如图所示路线 ⑴ 直线 AB 解 直线 AB 的参数方程为 所以

  22. 例1 计算 其中 L为 ⑵ ACB (抛物线：y = 2( x – 1)2 + 1 ) 解 抛物线 ACB 的方程为 y = 2( x – 1)2 + 1 所以

  23. 例1 计算 其中 L为 ⑶ ADBA (三角形周界) 解 直线 AD 的参数方程为 所以 直线 DB 的参数方程为 所以

  24. 被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同. 沿直线 BA 的线积分： 所以

  25. 这里 L： 例2 计算 ⑴ 沿抛物线 y = 2x2 , 从 O 到 B ⑵ 沿直线段 OB: y = 2x ; ⑶ 沿封闭曲线OABO 解 ⑴ ⑵ ⑶ 被积函数相同，起点和终点也相同，但积分结果相同.

  26. 2）计算 a b t , 起点 终点

  27. 对空间有向光滑曲线 L: 参数 t =α对应曲线 L的起点 t =β对应于曲线 L的 终点，则

  28. 例3计算第二型曲线积分 解 = =

  29. 解ⅰ） =

  30. = = ⅱ） = = 注：这里不同路径积分值不同．

  31. 例3 计算第二型曲线积分 L是螺旋线：x = a cos t , y = a sin t , z = b t 从 t = 0 到 t =π上的一段.

  32. 例4. 设在力场 作用下, 质点由 沿L移动到 其中L为 试求力场对质点所作的功. 解: (1) (2) L的参数方程为

  33. 其中曲线C：x=cost,y=sint,z=t, 例8．求 从t=0到 解

  34. 练习4 解 AB 所在直线的方向向量 直线方程： 参数方程：

  35. 三、两类曲线积分的联系 设L为从A到B的有向光滑曲线， 以弧长 s为参数， 的参数方程为 其中 l为曲线L的长度. 设曲线L上每一点的切线方向 指向弧长增加的一方. 则L切向量的方向余弦为

  36. （可以推广到空间曲线上 ） (4) 两类曲线积分之间的联系： 其中

  37. 可用向量表示 有向曲线元；

  38. 两类曲线积分之间的联系 其中， 为在G点的切线GT的方向余弦为 注：1） 表示沿曲线方向的切线GT与x轴、y轴，z轴 正向的夹角，当曲线改变方向时，切线方向也改变，从而方向余弦也变号。 2）P、Q、R及方向余弦均为（x,y,z)的函数

  39. 简记为：

  40. 2、XY平面上，两类曲线积分的关系 规定：法线的正向与切线的正向按右手螺旋系 记 为x轴的正向与法线的正向的夹角 y T 在XY 平面上， x

  41. y T x

  42. y T x XY 平面上，两类曲线积分的关系式： 其中， 为切线与x轴正向的夹角 其中， 为法线与x轴正向的夹角

  43. a b M ( x , y ) , L上点 处的切向量的方向角为 补例 将 化为第一类曲线积分 2 = C y x o ( 0 , 0 ) A ( 1 , 1 ) . 其中 是沿 从点 到点 的弧段 解 其切向量为 y A y=x2 M o x

  44. 作业：393页 6

  45. 于是两类曲线积分有如下联系 即 其中 是曲线 L 切向量的方向余弦.

  46. 在三维空间上，有 其中 是曲线 L 切向量的方向余弦.

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