Download
1 / 23
230 likes | 426 Views
Wstęp do Teorii Gier. Aukcje – model symetrycznych niezależnych i prywatnych wartości. Każdy gracz zna tylko swoją wycenę obiektu Ocena wycen pozostałych graczy opiera się na następujących założeniach, które są wiedzą wspólną: Rozkłady wycen graczy są losowane z tego samego rozkładu
E N D
Aukcje – model symetrycznych niezależnych i prywatnych wartości • Każdy gracz zna tylko swoją wycenę obiektu • Ocena wycen pozostałych graczy opiera się na następujących założeniach, które są wiedzą wspólną: • Rozkłady wycen graczy są losowane z tego samego rozkładu • Rozkłady wycen różnych graczy są niezależne • Gracze są neutralni względem ryzyka
Aukcje jako gra Bayesowska • Zbiór graczy • Zbiór typów (wycen) • Zbiór akcji • Oceny (beliefs): • Wyceny przeciwników są niezależnie losowane z rozkładu F • Dystrybuanta F jest ściśle rosnąca i ciągła • Funkcja wypłat: Gdzie P(a) to cena płacona przez zwycięzcę, jeśli a jest profilem ofert
Aukcja drugiej ceny • Oferta równa mojej prywatnej wycenie słabo dominuje wyższe oferty • Oferta równa mojej prywatnej wycenie słabo dominuje niższe oferty
Aukcja pierwszej ceny • Najwyższa oferta wygrywa, cena wynosi tyle co najwyższa oferta • Czy opłaca się złożyć ofertę równą swojej wycenie? • Jeśli wygrasz, zysk wyniesie zero • Co stanie się jak złożysz niższą ofertę? • Jeśli wygrasz, zysk będzie dodatni • Ale szanse na wygraną są niższe • Optymalna oferta musi wyważyć pomiędzy tymi dwoma efektami • Złożenie oferty niższej niż Twoja wycena znane jest jako „bid shading”
Przykład z rozkładem jednostajnym • Jest n graczy • Ty jesteś graczem 1 i Twoja wycena wynosi v>0 • Oceniasz, że wyceny innych graczy są losowane niezależnie z rozkładu jednostajnego na przedziale [0,1] • Oceniasz, że inni gracze używają strategii • Twoja oczekiwana wypłata, jeśli złożysz ofertę b wynosi: • Teraz trzeba to zmaksymalizować ze względu na b
Aukcja pierwszej ceny • Liczymy pierwszą pochodną z • Otrzymujemy: • Zatem: • Która aukcja przyniesie więcej przychodu organizatorowi? • Aukcja drugiej ceny • Gracze składają oferty równe ich wycenom • Przychód - druga najwyższa oferta • Aukcja pierwszej ceny • Gracze składają oferty niższe niż ich wycena • Przychód – najwyższa oferta
Modifiedbattle of sexes TwotypesDaisy Donald is not surewhether: Daisyis a goodmood and wants to meethim Or Daisyisangryathim and wants to avoidhim DaisyknowsDonald’stype
Modifiedbattle of sexes Donald knowsfromexperiencethat Daisywants to go out withhimwithprobability ½ (playingthegame on theleft) Daisydoes not want to go out withhimwithprobability½ (playingthegame on theright)
Modifiedbattle of sexes In order to make a gooddecision, Donald has to form beliefsaboutthe action of eachtype of Daisy Afterevaluatingtheseactions, Donald will be able to calculatetheexpectedvaluefromeach of his actions and will chooseoptimally For example, if Donald believesthatirrespective of hermoodDaisychoosesSoccer, then his expectedpayoffsare as follows: Donald’spayofffromchoosingSoccer: 0.5*2+0.5*2=2 Donald’spayofffromchoosingBallet: 0.5*0+0.5*0=0
Modifiedabttle of sexes Anotherexample: if Donald believesthatDaisyin a goodmoodchoosesSoccer and Daisyin a badmoodchoosesBalletthen: Donald’spayofffromchoosingSoccer: 0.5*2+0.5*0=1 Donald’spayofffromchoosingBallet: 0.5*0+0.5*1=0.5 A BayesianNashequilibrium for thisgame:: Donald’s action isoptimalgiventheactions of bothtypes of DaisygivenDonald’sbeliefaboutDaisy’stype The action of eachtype of DaisyisoptimalgiventheDonald’s action
Modifiedbattle of sexes In eachcell: The first number – Donald’spayoff Thesecondnumber – Daisyin a goodmoodpayoff The third number – Daisyin a badmoodpayoff BayesianNashEquilibrium (S,(S,B)) GivenDonald’sbeliefs and actions of bothtypes of Daisy, Donald isplayingthebestresponse GivenDonald’s action, bothtypes of Daisyareplayingbestresponse
Modifiedbattle of sexes Interpretation of equilibriumifDaisyisin a goodmood: Daisywants to meet Donald and choosesSoccer Donald choosesSoccer and believesthatifDaisyisin a goodmoodshechoosesSoccer and ifsheisin a badmoodshechoosesBallet Interpretation of equilibriumwhenDaisyis a badmood: Daisydoes not want to meet Donald and choosesBallet DoanaldchoosesSoccer and believesthatisDaisyis a goodmoodshechoosesSoccer and ifsheis a badmoodshechoosesBallet
Modifiedbattle of sexes 2 Daisyknowsfromexperiencethat: Donald wants to meether (goodmood) withprobability 2/3 (playing top game) Donald avoidsher(bad mood) withprobability 1/3 (playingbottomgame)
Modifiedbattle of sexes 2 Before we hadtwotypes of Daisy and hencetwostates Now we havetwotypes of Daisy and twotypes of Donald, hencefourstates Donald does not knowDaisy’stype but knows his owntype Daisydoes not knowDonald’stype but knowsherowntype
Modifiedbattle of sexes 2 Interpretation of equilibrium: BothDaisy and Donald make a plan what to do beforetheyrealizewhattypetheyare Eachtype of Donald choosesoptimal action given action of Daisy and his beliefsaboutMarge Eachtype of Daisychoosesoptimal action given action of Donald and herbeliefsabout Donald
Reguła Bayesa • Reguła Bayesa: • Prawdopodobieństwo warunkowe: • Monty Hall: • Wybiera drzwi 1
Prawdopodobieństwo warunkowe Bayes • Prawdopodobieństwo zdarzenia pod warunkiem innego zdarzenia • Prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia w zależności od zajścia którejś z rozłącznych możliwości • Prawdopodobieństwo zajścia hipotezy pod warunkiem zajścia skutku
ParadoxMontyHall’a • http://www.math.ucsd.edu/~crypto/Monty/montybg.html
Przykład z testowaniem wirusa HIV • Prawdopodobieństwo, że dana osoba jest zakażona wirusem HIV w danej populacji jest 0,1% • Test się myli w 1% przypadków, jeśli osoba jest zakażona (sensitivity= 99%) • Test się myli w 5% przypadków, jeśli osoba jest niezakażona (specificity = 95%) • Jakie jest prawdopodobieństwo, że dana osoba jest zakażona pod warunkiem, że test wskazał „positive”? • Jakie jest prawdopodobieństwo, że dana osoba nie jest zakażona pod warunkiem, że test wskazał „negative”?
