Rekurencje – przykład klasyfikacji

1. Rekurencje – przykład klasyfikacji • Klasyfikować równania rekurencyjne możemy ze względu na: • Sposób, w jaki połączone są wyrazy, • Rodzaj współczynników, • Ilość użytych wyrazów poprzednich.

2. Rekurencje – przykład klasyfikacji • Klasyfikować równania rekurencyjne możemy ze względu na: • Sposób, w jaki połączone są wyrazy, • Rodzaj współczynników, • Ilość użytych wyrazów poprzednich.

3. Rekurencje

4. Rekurencje – rozwiązania dokładne – I rząd

5. Rekurencje – rozwiązania dokładne – I rząd

6. Rekurencje – rozwiązania dokładne – I rząd

7. Rekurencje – rozwiązania dokładne – I rząd

8. Rekurencje – rozwiązania dokładne – I rząd

9. Rekurencje – rozwiązania dokładne – rekurencje liniowe wyższych rzędów

10. Rekurencje – rozwiązania dokładne – rekurencje liniowe wyższych rzędów Przykład. (a) Schemat postępowania

11. Rekurencje – rozwiązania dokładne – rekurencje liniowe wyższych rzędów

12. Rekurencje – rozwiązania dokładne – rekurencje liniowe wyższych rzędów Komentarz: Rozwiązanie jawne rekurencji (7) jest zdeterminowane przez warunki początkowe, z których wyznaczamy współczynniki kombinacji liniowej opisującej ogół rozwiązań. Mając tę samą zależność rekurencyjną i zmieniając tylko warunki początkowe, możemy zmienić charakter rozwiązania, uzyskując ciąg stały, wykładniczy lub naprzemienny.

13. Rekurencje – rozwiązania dokładne – rekurencje liniowe wyższych rzędów Rozważmy teraz rekursję, którą otrzymamy z (7) poprzez dodanie do prawej strony ciągu Otrzymana wówczas rekurencja nazywa się niejednorodną. Problem: Jak znaleźć rozwiązanie szczególne rekurencji niejednorodnej? Jeśli jest ciągiem stałym, to są gotowe twierdzenia.

14. Rekurencje – rozwiązania dokładne – rekurencje liniowe wyższych rzędów

15. Rekurencje – rozwiązania dokładne – rekurencje liniowe wyższych rzędów Rekurencje – rozwiązania dokładne – rekurencje liniowe wyższych rzędów

16. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – podstawianie Metoda podstawiania polega na odgadnięciu oszacowania, a następnie wykazaniu, że jest ono trafne. Kroki postępowania:

17. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – podstawianie Przykład Odgadujemy, po wyliczeniu kilku pierwszych wyrazów, że Robimy podstawienie 2k=n i otrzymujemy Stosujemy zasadę indukcji matematycznej, aby udowodnić to rozwiązanie dla n będących potęgami dwójki. Ćwiczenie - tablica

18. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – iteracja Metoda iteracyjna polega na tym, że przekształcamy rekurencję w sumę, a następnie korzystamy z różnych technik szacowania sum.

19. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – iteracja Przykład Jak długo musimy powtarzać ten proces, zanim osiągniemy warunki początkowe?

20. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – iteracja

21. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna Metoda rekurencji uniwersalnej stosowana jest do rekursji postaci T(n)=aT(n/b)+f(n), (10) gdzie a≥1, b>1, f jest pewną funkcją nieujemną określoną na podzbiorze liczb naturalnych. Rekursja (10) opisuje czas działania algorytmu, który dzieli problem rozmiaru n na apodproblemów o rozmiarze n/b. Każdy z apodproblemów jest rozwiązywany rekurencyjnie w czasie T(n/b). Koszt dzielenia problemu oraz łączenia rezultatów częściowych jest opisany funkcją f.

22. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna Ważne twierdzenie!!

23. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna Schemat dowodu:

24. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – dowód (I część)

25. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – dowód (I część)

26. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – dowód (I część)

27. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – dowód (I część)

28. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – dowód (I część)

29. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – dowód (I część)

30. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – dowód (I część)

31. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – dowód (I część)

32. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – dowód (II część)

33. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – dowód (II część)

34. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – dowód (II część)

35. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – dowód (II część)

36. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – dowód (II część)

37. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – przykład Przykład

38. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – uwagi.

39. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – uwagi.

40. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – uwagi. Pokażemy teraz przykład prawdziwości ostatniej uwagi. Przykład ten wpada w lukę między przypadkami 2 i 3.

41. Rekurencje Rekurencje – rozwiązania asymptotyczne – rekurencja uniwersalna – uwagi. Uwaga końcowa: