계 량 분 석

1. 계 량 분 석 이 승 재 2011. 00. 00

2. 계량 분석 6주차 민감도 분석

3. 계량 분석 6주차 Outline • Simplex Method with Matrix & Vector (Algebra) • Sensitivity Analysis Simplex Method with Algebra ① Review and Standard LP form ② Solve Basic Feasible Solution(B.F.S.) ③ Enumeration Method ④ Simplex Method

4. 계량 분석 6주차 What is the Simplex Method? • Linear Program 의 해법을 구하기 위한 한 방법 • Feasible Solution Area를 찾고 최적 해 산출 →보통 꼭지점! • 적용을 위해 Standard Form으로 변형 요구! 6X1+4X2≤24 X1+2X2≤6 X1, X2≥0

5. 계량 분석 6주차 Standard LP Form • Composed of Objective Function & Constraints • 제약조건에서 경계선은 포함되어야! → (> 이나 <로는 Feasible Area 산출 불가능) • 부등호를 등호로 변환시켜야! → Put Surplus Variable(Sk)! Surplus Variable

6. 계량 분석 6주차 What is the Basic Feasible Solution? • “실행가능한기저해” • Feasible Area에서 극점에 해당하는 점

7. 계량 분석 6주차 Basic Concept about Algebra • Euclidian Space (유클리드 공간) →벡터의 합, 내적, 외적, 크기 등이 정의되는 공간 → n차원 유클리드 공간 : En y z 0 x 0 x y 2차원 유클리드 공간(x-y) 3차원 유클리드 공간(x-y-z)

8. 계량 분석 6주차 Example 1. 다음 벡터를 n차원 유클리드 공간에 나타내어라. a=(2,4) , b=(2,5,8) • Linear Combination(선형 결합) → 유클리드 공간에서, 벡터 V1, V2 …와 스칼라 K1, K2, … K1V1 + K2V2 + … = 벡터 V1, V2, … 의 선형 결합! → 이것을 이용하여 제약조건식의 벡터화 가능!! a1x1 + b1x2 + … + k1xk = Z1 a2x2 + b2x2 + … + k2xk = Z2 …… anx1 + bnx2 + … + knxk = Zn A1x1 + A2x2 + … + Akxk = B B, A1, A2, …, Ak∈En

9. 계량 분석 6주차 Example 2. 다음 식을 벡터화하여 표현하고, 유클리드 평면에 그려라. X + 3Y – Z = 4 2X – 2Y – 2Z = 2 • 선형 독립과 선형 종속 → 선형 독립: 벡터 a1, a2, … 가 있을 때 이 중 어떤 벡터도 나머지의 선형결합으로 X → 선형 종속: 어떤 벡터를 나머지의 선형결합으로 표현가능 『선형독립』⇄ ① A1x1 + A2x2 + … + Akxk = 0의유일한 해는 모든 x가 0 ⇄ ②|a1, a2, …, ak|≠ 0 → inverse 존재 『선형종속』⇄ ① A1x1 + A2x2 + … + Akxk = 0의 0이 아닌 근 존재 ⇄ ②|a1, a2, …, ak|= 0 → inverse가 존재하지 않음

10. 계량 분석 6주차 Example 벡터 a=(2,0), b=(2,2), c=(0,2)가 있을 때 ① 벡터 a와 b 여기서 유일한 근은 X=Y=0 → 선형 독립! ② 벡터 a, b, c (2,0) + (0,2) = (2,2) 한벡터를 나머지 벡터의 합으로 표현 →선형 종속!

11. 계량 분석 6주차 Example 3. 다음 벡터를 유클리드 공간에 나타내고, 선형 독립인지 종속인지 판단하여라.

12. 계량 분석 6주차 • Spanning Set → 임의의 벡터 b∈En에 대해 선형결합으로 표현할 수 있는 벡터들의 집합 즉, A1x1 + A2x2 + … + Akxk = B인 A1, A2, … - Span 존재여부의 조사 • 벡터 수 < 차원 수(유클리드 공간의) → 존재하지 않음 • 벡터 수 ≥ 차원 수 → if x 존재 = span 존재 if x 가 없으면 span도 존재하지 않음

13. 계량 분석 6주차 Example 4. 다음 벡터 중 spanning/non-spanning set를 구별하라. 벡터 A=(1,0), B=(0,1), C=(1,1), D=(2,2), E=(3,3) • Basis → a1, a2, …, ak가En의spanning set, but 하나라도 제거하면 나머지 vector들의 collection은 En을 not span하는 경우 collection a1, a2, …, ak는 En의 basis. (n차 유클리드 공간에서 Basis는 n개 존재) - Basis 존재여부의 조사 • 벡터 수 ≠ 차원 수(유클리드 공간의) → 존재하지 않음 • 벡터 수 = 차원 수 → Collection이 선형 독립이면 Basis 존재!

14. 계량 분석 6주차 Example 5. 다음 Spanning Set중 Basis를 구하라. <(1,0), (0,1), (1,1)>, <(2,2), (3,3)>, <(1,0), (1,1)> Basic Feasible Solution 제약 조건 식을 행렬로 변환!!!!

15. 계량 분석 6주차 Example 6. Summary About B.F.S. • Basic Solution(기저해) (XB : basic variable, XN : non-basic variable) 4. Degenerate Basic Solution ; → XB의 component중 적어도 하나가 zero인 X XB: degenerate basic variable) 5. Non-degenerate Basic Feasible Solution : XB>0 인 X 6. Basic Solution의 최대 가능수 = nCm → Basic Feasible Solution의 수 ≤ nCm 2. Basic Feasible Solution : XB≥0 인 X 3. Basic Infeasible Solution : XB에 negative가 존재하는 경우

16. 계량 분석 6주차 Solve Basic Feasible Solution

17. 계량 분석 6주차 Problem 1. 다음 제약조건 하에서 B.F.S.를 구하여라. Relationship between B.F.S. and E.P • B.F.S.는 Feasible region의 Extreme • point에 대응 2. 한 점이 B.F.S. ⇄ 그 점은 Extreme point • B.F.S.의 수 ≥ extreme point의 수 → B.F.S. : E.P = n : 1인 경우가 존재한다! Enumeration Method Simplex Method 1. 모든 BFS를 열거 →objective value를 optimal하게 하는 BFS를 찾는 방법 2. BFS의 수 ≤ nCm 이지만 n과 m이 큰 경우 계산량이 많아짐 3. Feasible region이 unbounded인 경우 →unbounded solution을 찾지 못함 • 한 꼭지점으로부터 개량된 objective value를 • 갖는 꼭지점을반복적으로 탐색해가면서 최종적 • 으로 최적값을 갖는 점 탐색 2. 최적해를 탐색하기 위해 일부의 extreme point를 사용 3. feasible region이 empty인지, optimal solution이 unbounded인지 여부를 알려줌

18. 계량 분석 6 주차 Sensitivity Analysis • Assumption and limitation of LP • Definition and Meaning • Graphical Sensitivity Analysis • Algebraic S.A. - Changes in the R.H.S. - Objective Function. ⑤ Limit of S.A. and Application in Trans.

19. 계량 분석 6 주차 Assumption and limitation of LP

20. 계량 분석 6 주차 Definition and Meaning • Parameter의 변화에 따른 O.S.의 변화 파악 • 불확실한 모수에 대한 대체값의 범위를 넘어서는 구간 에 대한 추정치를 확고히하는 것 → LP의 한계점을 보완!! 확실성, 비례성을 가정하였으나 오차 수반 현실상황에 대한 가정이 미흡 <Example> If 민감도 분석의 결과 : 변수의 ±10% 변화까지는 최적해가 변하지 않음 →변수의 ±1% 변화까지 최적해가 불변인 것 보다 덜 민감함!!

21. 계량 분석 6주차 Graphical Sensitivity Analysis → 그래프를 이용한 민감도 분석 16 • 두 가지 Case 1. 자원의 활용도(우변)가 변함에 따라 최적해에 미치는 영향 → Feasibility Range!! 2. 단위 이익과 비용의 변화(O.F.의 변수)가 최적해에 미치는 영향 → Optimality Range!! 8 우변이 Optimum Solution에 미치는 영향 • 제약조건의 우변 변화 → O.S에 미치는 영향 분석 • 그래프 상으로 나타내면 우변의 변화 → 자원or용량의 변화 → Y절편 변화 • Y절편의 변화를 통해 (Feasible Area는 변화) → 주어진 자원or용량의 최소, 최대값을 분석!! → Feasibility Range산출 !! 2.67 4 8

22. 계량 분석 6 주차 Example 7. 오뚜기 식품에서는 라면과 과자를 만든다. 기계 1에서는라면 하나를 만들 때 2시간, 과자 하나를 만들 때 1시간이 소요된다. 그리고 기계 2에서는 각각 1시간, 3시간이 소요된다. 한편 이익은 개당 30원, 20원이 생긴다. 그리고 각 기계는 8시간 이상 가동할 수 없다. 이 때, 기계 1과 기계 2의 Feasilibity Range를 구하여라. Sol. 1. 문제의 조건을 식으로 나타낸다. 2. 문제의 최대값 및 그 변수의 값을 구한다.. Max. Z = 30x1 + 20x2 x1 = 3.2 x2 = 1.6 일때 Z = 30*3.2+20*1.6 = 128 8 2.67 1.6 3.2 4 8

23. 계량 분석 6 주차 3. Dual Price계산 → 용량이 1단위 바뀔 때 마다 증가 or 감소하는 비용 In this problem, 기계 1의 Dual Price는 4. 기계 1의 최소, 최대 용량 산출 기계2 용량 = Constant 기계 1의 최소 용량 = 빨간 원 최대 용량 = 갈색 원 16 8 Feasible Range → Dual Price가 유효한 범위!!! 2.67 따라서 2.67hr < 기계1용량 < 16hr 8 4

24. 계량 분석 6 주차 5. 기계 2의 최소, 최대 용량 산출 기계1 용량 = Constant 기계 2의 최소 용량 = 빨간 원 최대 용량 = 갈색 원 16 8 따라서 4hr < 기계2용량 < 24hr 2.67 4 8 24

25. 계량 분석 6 주차 O.F의 변수가 O.S.에 미치는 영향 • 목적함수의 변수의 변화 • → O.S에 미치는 영향 분석 • 그래프 상으로 나타내면 변수의 변화 → Z의 기울기 변화 • Z의 기울기 변화를 통해 → 기울기가 변하여도 O.S가 변하지 않는 범위 분석!! → Optimality Range산출 !!

26. 계량 분석 6 주차 Example 8. Example 7.에서 Optimality Range를 구하여라. Sol. 1. 목적함수를 일반형으로 나타낸다. Slope 2. 제약조건 식을 이용하여 기울기의 범위를 구한다. C가 O.S가 되기 위해서는 Z 기울기는 -1/3 이상 -2 이하!!

27. 계량 분석 6 주차 3. 앞에서 구한 범위를 이용하여 Optimality Range를 구한다 Algebraic S.A. - Changes in the R.H.S. - Objective Function C가 O.S가 되기 위해서는 Z 기울기는 0.333 이상 2 이하!! → 일반적인 LP를 이용한 민감도 분석 • 앞의 그래프를 이용한 분석과 내용 및 구하는 값은 같음 → Dual Price, Feasibility Range 산출!! • But 그래프를 이용하지는 않음 (변수가 많아지면 부적절) → 일반적인 LP의 Solution을 이용하여 분석 If C2 = 20 (Constant) → C1은 1/3 X 20 이상 2 X 20이하! → 6.67 이상 40 이하! If C1 = 30 (Constant) → C2는 30 X 3 이하, 30/2 이상! → 15 이상 90 이하! Optimality Range → O.F의 한 변수가 일정할 때 다른 변수가 변해도 O.S가 일정한 범위

28. 계량 분석 6주차 Example 9. 오뚜기 식품에서는 라면과 과자를 만든다. 기계 1에서는라면 하나를 만들 때 2시간, 과자 하나를 만들 때 1시간이 소요된다. 그리고 기계 2에서는 각각 1시간, 3시간이 소요된다. 한편 이익은 개당 30원, 20원이 생긴다. 그리고 각 기계는 8시간 이상 가동할 수 없다. 이 때, 기계 1과 기계 2의 Feasilibity Range를 구하여라. Sol. • Solve Optimum Solution. (x1 = 라면, x2=과자) Formulation Tableau

29. 계량 분석 6주차 Sol. • Solve Optimum Solution. (x1 = 라면, x2=과자 자세한 계산과정은 생략) Formulation Optimum Tableau 2. Determination of Dual Prices (s1, s2 are slack variables) Constraints 앞의 Optimum Tableau& 위 식 → slack variable의 감소 = 작업 가능한 시간의 증가 Z=128+14*(-s1)+2*(-s2) 위 식에서 알 수 있는 점 ①기계 1의 가동 가능시간이 1시간 증가 → 이익이 14원 증가! ② 기계 2의 가동 가능시간이 1시간 증가 → 이익이 2원 증가! 식을 다시 정리하면 Z=128+14*(-s1) (기계 1 time 증가) +2*(-s2) (기계 2 time 증가)

30. 계량 분석 6주차 3. Determination of the Feasibility Ranges. Starting Tableau Let C1, C2 = 기계 1,2에 할당된 작업 시간의 변화량 Formulation Solve Optimum Solution 비음제약조건 Solve Feasibility Range with Optimum Solution 위의 Optimal tableau를 통하여 다음을 알 수 있다.

31. 계량 분석 6주차 Solve Optimum Solution 1. 기계 1의 운영시간이 8분에서 8+C1분으로 변화 (C2=0) 2. 공장 2의 시간이 8분에서 8+C2분으로 변화 (C1=0) 정리하면 Feasible Range → Dual Price가 유효한 범위!!!

32. 계량 분석 6주차 Example 11. KT&G에서는 공장 3개를 이용하여 레종, 디스, 88을 생산한다. 각 공장의 하루 제한 시간은 430분, 460분, 420분이고, 각 담배의 1갑 당 이익은 3원, 2원, 5원이다. 또한 레종1갑을 만들 때 드는 시간은 각각 1분, 3분, 1분이고, 디스는2원, 0원, 4원이고, 88은 1원, 2원, 0원이다(상대적으로). 이 때, 각 담배의 Dual Price와 각 공장의 Feasibility Range를 구하여라. • Solve Optimum Solution. (x1 = 레종, x2=디스, x3=88, 자세한 과정은 생략) Sol. Tableau Formulation Optimum Tableau

33. 계량 분석 6 주차 2. Determination of Dual Prices (x4, x5, x6 is slack variables) Constraints 앞의 Optimum Tableau& 위 식 → slack variable의 감소 = 작업 가능한 시간의 증가 앞 식을 다시 정리하면 Dual Prices!!!! 위 식에서 알 수 있는 점 ①공장 1의 가동 가능시간이 1분 증가 → 이익이 1원 증가! ② 공장 2의 가동 가능시간이 1분 증가 → 이익이 2원 증가! ③ 공장 3의 가동 시간 → 이익에는 영향을 주지 않는다!

34. 계량 분석 3 주차 Dual Price의 경제적 의의 (이 문제에서의) ① 공장 3의 Dual Price = 0 (아무리 생산 시간을 늘려도 경제적 이익 X) ② 공장 1과 2에 더 많은 생산 시간을 배정하면 이익은 상승한다. ③ 더 많은 자원을 배분할 때, 공장 2에 우선권을 주는것이 좋다! → Dual Price가 더 크므로(2배) 이익도 그만큼 더 늘어난다! Summary

35. 계량 분석 6 주차 3. Determination of the Feasibility Ranges. Let D1, D2, D3 = 공장 1,2,3에 할당된 작업 시간의 변화량 Starting Tableau Formulation Solve Optimum Solution Optimal tableau를 통하여 다음을 알 수 있다. 비음제약조건 Solve Feasibility Range with Optimum Solution

36. 계량 분석 6 주차 Solve Optimum Solution 1. 공장 1의 운영시간이 430분에서 430+D1분으로 변화 (D2, D3=0) 2. 공장 2의 시간이 460분에서 460+D2분으로 변화 (나머지는 일정) 정리하면 3. 공장 3의 시간이 420분에서 420+D3분으로 변화 (나머지는 일정) Feasible Range → Dual Price가 유효한 범위!!!

37. 계량 분석 3 주차 Caution!!! → Feasibility Range안에 들지 않는 D값을 넣어도 비음조건만 만족하면 Feasible Solution이 될 수 있음!!! → But 이 경우에 Optimal Objective Value는 바뀐다!!! <Example> D1 = 30(F.R. 위반), D2 = -12, D3 = 100인 경우 But Z=1350 + 1(30) + 2(-12) + 0(100) = 1356 (Z값이 바뀌었음!!)

38. 계량 분석 6주차 Example 11. KT&G에서는 공장 3개를 이용하여 레종, 디스, 88을 생산한다. 각 공장의 하루 제한 시간은 430분, 460분, 420분이고, 각 담배의 1갑 당 이익은 3원, 2원, 5원이다. 또한 레종1갑을 만들 때 드는 시간은 각각 1분, 3분, 1분이고, 디스는2원, 0원, 4원이고, 88은 1원, 2원, 0원이다(상대적으로). 이 때, 각 담배의 Optimality Range를 구하여라. • Formulate to Standard LP Form. (x1 = 레종, x2=디스, x3=88, 자세한 과정은 생략) 2. Put ‘d’ Value. Let d1, d2, d3 = 각 담배의 판매 이익의 변화량 Maximize Z = (3+ d1)x1 + (2+ d2)x2 + (5+ d3)x3 Z 열을 제외한 나머지 열은 원래의 Optimal Tableau와 동일 → d1, d2, d3의 도입은 문제의 Optimality에만 영향!!

39. 계량 분석 6주차 3. Solve Optimality Range Optimality Conditions를 구하기 위해 다음의 세 가지 경우 수행 비음조건에 의해 Optimality Conditions는 ① Set d2=d3=0 ② Set d1=d2=0 Optimality Range → O.F의 한 변수가 일정할 때 다른 변수가 변해도 O.S가 일정한 범위 ③ Set d1=d3=0

40. 계량 분석 6주차 Problem of Sensitivity Analysis • Selection Bias → 분석자가 민감도 분석에 포함될 변수와 대체값을 임의로 선택. • Arbitrary → 변이가 어느 정도일 경우 받아들일 수 있는가에 대한 기준이 없음. 3. 불확실한 모수를 한번에 하나씩 변화 →모수간의 상호관계를 놓치게 됨! (다른 변수와 상호작용할 위험) → 이러한 문제를 보완하기 위해 확률적인 민감도 분석 기법 등장 (monte Carlo simulation method)