第二章 Z 变换

第二章 Z 变换 2.1 Z变换的性质 2.2 Z变换与拉普拉斯变换的关系

若则其中a,b为任意常数， 2.1 Z变换的性质这些性质表示离散序列在时域和Z域间的关系（一）线性性质

双边Z变换： x(n)是双边序列 若则（二）位移性质证明：根据双边Z变换的定义

（二）位移性质 同理：令 k=n+m,则上式变为

（二）位移性质 1、若x(n)是双边序列，其单边Z变换为：左移证明：单边Z变换的位移性质

（二）位移性质 令则

（二）位移性质 右移 2、若x(n)是单边序列，其单边Z变换为：

（二）位移性质 例 4.3-2 求周期序列 x(n)的Z变换解：若周期序列x(n) 的周期为N，即令x1(n)表示x(n）的第一个周期，因为x1(n)是有限长序列，所以其Z变换为

（二）位移性质 周期序列x(n)用x1(n)表示，为 x(n)的Z变换为

（二）位移性质 例：已知单边Z变换其中an是双边序列求 an-1u(n), an-1u(n-1) 的单边Z变换。解：设则 1、由单边Z变换公式

（二）位移性质 即 2、anu(n)是单边序列，所以an-1u(n-1)的Z变换为

若则证明：（三）Z域微分（序列线性加权） x(n)是有始序列对上式两边求导，得

（三）Z域微分（序列线性加权）

（三）Z域微分（序列线性加权） 例：已知求n·u(n)的Z变换解：

若则证明：（四）Z域尺度变换（序列指数加权）

（四）Z域尺度变换（序列指数加权） 同理：在Z域反褶，则时域中函数在正负之间交替跳跃

若x(n)是单边序列，且 则（五）初值定理

若x(n)是单边序列，且 则（六）终值定理终值定理使用的条件 1、只有在n时x(n)收敛的情况，才能用它来确定x(n)的值。 2、X(z)的收敛半径应小于或等于1

若则其中（七）时域卷积定理 return

或 2.2 Z变换与拉普拉斯变换的关系一、Z平面与S平面的映射关系将s用直角坐标表示， z用极坐标表示，将上两式代入Z平面与S平面的映射关系式，得

所以： 1、|z|与（复变量s的实部）的关系（S平面的虚轴）（Z平面的单位圆） S平面与Z平面的映射关系如下：

（S的右半平面） （Z平面的单位圆外部）（S的左半平面）（Z平面的单位圆内部） S平面平行于虚轴的直线 Z平面的圆，半径为

S平面与Z平面的映射关系

2、与（复变量s的虚部）的关系 （S平面的实轴）（Z平面的正实轴）（S平面的平行于实轴的直线）（Z平面的始于原点，辐角为=0T的辐射线） S平面到Z平面的映射是多值映射因为在S平面上沿虚轴移动，对应于Z平面上沿单位圆周期性地旋转

在S平面沿虚轴每平移2/，则对应在Z平面上沿单位圆转一周在S平面沿虚轴每平移2/，则对应在Z平面上沿单位圆转一周

拉氏变换F(s) Z变换X(z) 拉氏变换的原连续函数 f(t) 离散信号 f(n) 二、Z变换与拉普拉斯变换的关系拉氏反变换 Z变换抽样

二、Z变换与拉普拉斯变换的关系 已知拉氏变换F(s)，则原连续函数为将f(t)以周期T进行抽样对f(nT)进行Z变换

二、Z变换与拉普拉斯变换的关系 对f(nT)进行Z变换

和式收敛于 当即

这个积分可用留数来计算，即 Si是F(s)的极点。当F(s)有一单阶极点Si时

当F(s)有N个单阶极点时 作业：4-1（1，3，9）、4-4（1，3，11）、4-5、 4-6、4-9、4-10（1） return

1.连续信号 ，该信号拉普拉斯变换收敛域为（）。 (A) (B) (C) (D) 2．已知信号f(t)的频带宽度为Δω，所以信号y(t)=f(4t-9) 的频带宽度为（）。 (A) (B) (C) (D) 1．对带宽为20KHz的信号进行抽样，其最大允许的抽样间隔（奈奎斯特间隔） =（25us ）s，信号的带宽为（40kHz ）KHz,，其奈奎斯特频率 =( 80kHz ）KHz 。

第二章 Z 变换

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