第二讲 初 等 函 数

1. 第二讲 初 等 函 数

2. 教学任务： 了解：1、了解反函数、复合函数、初等函数 的概念； 2、会列简单应用问题的函数关系式。 掌握：1、熟练掌握函数的定义域和函数值的 2、掌握六类基本初等函数的主要性质和图形

3. 重点：基本初等函数的主要性质和图形。 难点：复合函数 教学时数：2 教学方法：面授 教学内容提要：

4. 一、反函数 由 y=f(x)（反解）→x=f–1(y)=φ(y), 是y=f(x)的反函数。 因习惯上将x表示自变量，y表示因变量，故 反函数又记为 y=φ(x)，或y=f–1(x) 注：1、反函数的定义域D→原函数的值域R 反函数的值域R→原函数的定义域D

5. 很显然，y=√x-1的定义域为x≥1，或 x∈[1 +∞)；值域是y≥0，或y∈[0 +∞), 解出 x=y2+1,其 D和 R均为（-∞，+∞), 则 y=x2+1为原y=√x-1 的反函数, 其 定义域D为[0 +∞)，值域R为[1，+∞), 而不是（-∞，+∞)

6. 2、原函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称 例 y=x2 (x ≥ 0) 解： 反解y=x2得x=√y (∵x≥0 故舍掉x=-√y ) 即 反函数为y=√x x≥0, y≥0 y=x2与y=√x 的图形见右图，关于y=x对称 y y= x2 (1,1) y=√x

7. 3、求反函数的步骤： ① 由y=f(x)反解得 x=φ(y) ② x→y，则 y=φ(x) ③确定反函数的定义域---原函数定义域、值域 为现在反函数的值域、定义域

8. 例求函数y=lg3x 的反函数 解：由题知 x∈(0 +∞), y∈(-∞,+∞) 反解得 3x=10y， x= 10y 即 y= 10x x∈(-∞,+∞), y∈(0 +∞) 为原函数的反函数。

9. 二、基本初等函数 下面结合图形分析常见的五类基本初等函数的主要性质,其他的书上没有列，可以不作要求。要求记忆。

10. 1、常量函数y=c(c—常数) 过(0,c)点 , 平行于x轴 。 y y = c 0 x

11. 2、幂函数y=xα(α—任何实数) y=x2 y=x3 (1,1) 0 x 0 x y=x

12. 3、指数函数y=ax(a>0,a 1常数) 过(0,1)点,a>1↑ a<1↓ 是非奇偶函数无奇偶性 4、对数函数y=logax (a>0,a 1常数) 过(1,0)点, a>1↑ a<1↓ 是非奇偶函数,无奇偶性 指数函数与对数函数互为反函数。 y y=2x y=log2x O （1，0） x

13. 5、 三角函数 ① y=sinx y=cosx 由图可以看出，y=sinx 和y=cosx的图形是 一样的，只是在 x 方向相差 。其中a=　　。 在主值区间[ - ， ]内 sinx是奇函数， 单调递增 cosx是偶函数 无单调性 y cosx sinx -a o a x

14. 周期都是2π，x方向图形延伸到无穷 y方向图形介于-1—1之间， 有界函数 ≤1 即 -1<sinx <1 ≤1 即 -1<cosx <1

15. ②y=tanx,y=cotx 由图得知 x=0, tanx=0 x= ,cotx=0 在主值区间都是奇函数， 周期都是π，无界函数 tanx单调递增， cotx单调递减 y o x

16. 掌握这几类基本初等函数，关键在于熟悉 图形，抓住几个方面的性质： ① 定义域--x轴方向图象延伸区域（范围） ② 值域--y轴方向图象延伸区域 ③ 函数单调性---图象上升、下降或平行于x轴 ④ 函数奇偶性---是否对称于y轴或原点

17. ⑤过特殊点---包括与x、y轴的交点。 y=f(x)的特殊点是(0,f(0))和(f–1(0),0)。 ⑥ 周期性。 ⑦ 有界性。 同学们可以根据以上七条列一个表，从这 几条上熟记图形特点，对以后的学习很重要。

18. 三、复合函数 微积分中较常见，因而也是很重要的函数。 设 f(x)=sinx，x=t+1，则f(t)=f[sin(t+1)] 就是一个复合函数。

19. --设y=f(u)，u=g(x),则 称y=f(g(x))为f和g的复合函数，其中 u称为中间变量。中间变量越多函数就 越复杂。 复合函数

20. 注： ①复合函数分解为基本初等函数---任何一 个复合函数均可看作由若干个基本初等函数复合 而得。故分解是一个十分重要的运算，是基础。 对于较复杂的函数，不会分解就无从求其定义域 及作其他运算，大家要多做练习,熟练掌握。

21. 例 y=a-sin√x可分解为 y=au u=-t t=sinz z=√x 通常，我们将复合函数分解为 基本初等函数 或 简单函数（基本初等函数经过四则运算而得） 分解的原则是：从外到内，逐层分解。

22. 例 y=lnsin(x2+1)可分解为 y=lnu u=sinv v=x2+1 y=(arctanex)2可分解为 y=u2 u=arctanv v= ex y= ecos 可分解为 y=eu u=cosv v=

23. ②复合函数不是任意两个函数都可复合而得。 如y=arcsinu 和 u=2+x2就不能复合。 实际上，对于定义域(-∞,+∞)内任一x，均 有u≥2，所以u不可能落在 y=arcsinu 的定义域（ ≤1)，从而y=arcsin u无定义，不能复合。

24. 一般地，必须外函数y=f(u)的定义域D(u) 和内含函数u=g(x)的值域 R(u)有交集时，方可 复合。 ③复合函数定义域求法举例

25. 例 求函数y=arcsin 的定义域 解：y=arcsinu, u= 要求 ≤1 , 即 ∣∣≤1 因此有 -1≤x≤2 于是得出y=arcsin 的定义域为[-1,2]。

26. 从上例我们可以看到： 求复合函数的定义域可以分为三步: ①将其分解为基本初等函数或简单函数 ②求出所有外函数和内含函数的定义域 ③求它们的交集

27. 例 求y=√16-x2 + 的定义域 解: y = y1+y2 D = D1∩D2

28. y1的定义域D1为16-x2≥0, 即∣x∣≤4 得 D1; -4<x<4 或(-4,4) y2 = 的定义域D2为x 0 , 或(-∞,0）或(0,+∞)

29. D1 则 y=y1+y2 的定义域为 D=D1∩D2 由图可以看出D为(-4,0)，或(0,4)。 D2 -4 0 4 x

30. 四、初等函数 初等函数---由基本初等函数经过有限次 四则运算以及有限次的复合步骤能用一个式子 表达的函数.

31. 例如f(x)=2x2+3x+5 f(x)= f(x)=ln(1+earctanx) 等,都是初等函数。

32. 注: ①运算及复合只限于有限次,即确定的次数. 如y=xx x∈(0, 1)不是初等函数,因为x在 (0, 1)取值不确定,这是一个幂指函数. 设 -1<x<1 , 则函数 y=1+x+x2+x3+…+xn+… 不是初等函数(无限次和)

33. ②运算是指四则运算和复合运算 ③能由一个式子表示 如分段函数 y = x-1 x>0 x+1 x≤0 就不是初等函数.

34. 作业： P11 1——（3（4）；5